兰州交通大学：《电磁场与电磁波》课程教学资源（试卷习题）试题1-10（答案）

《电磁场与电磁波》试题（1)参考答案 二、简答题（每小题5分，共20分） 山，答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 (3分) 飘分形式5=-爱6 (2分) 12.答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这 定理称为唯一性定理。 (3分) 它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。 13.答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 (3分) 群速v与相速v的关系式为： (2分) 1、0h '。do 4.答位移电流：，-曾 位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使 麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。 三、计算题（每小题10分，共30分） 15.按要求完成下列题目 (1)判断矢量函数B=-ye,+x2,是否是某区域的磁通量密度？ (2)如果是，求相应的电流分布。 解：(1)根据散度的表达式 尝警是 (3分) 将矢量函数B代入，显然有 7.B=0 (1分) 故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 (1分) (2)电流分布为：

1 《电磁场与电磁波》试题（1）参考答案 二、简答题 （每小题 5 分，共 20 分） 11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3 分） 其积分形式为： dS t B E dl C S         = −   （2 分） 12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一 定理称为唯一性定理。 （3 分） 它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。 13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 （3 分） 群速 g v 与相速 p v 的关系式为：   d dv v v v p p p g − = 1 （2 分） 14．答：位移电流： t D J d   =   位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使 麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。 三、计算题 （每小题 10 分，共 30 分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数 x y B y e ˆ xze ˆ 2 = − +  是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 解：（1）根据散度的表达式 z B y B x B B x y z   +   +    =  （3 分） 将矢量函数 B  代入，显然有   B = 0  （1 分） 故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （1 分） （2）电流分布为：

J=VxB (2分) 40 (2分) 2 成++] 1分) 16.矢量A=2ex+e,-3e.,B=5e-3说，-e,求 (1)A+B (2)A.B 解：(1)A+B=7e,-2e,-4e (5分) (2)A.B=10-3+3=10 (5分) 17.在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 E=传，3E。-,46k (1)试写出其时间表达式： (2)说明电磁波的传播方向： 解：(1)该电场的时间表达式为：E(,)=Re(Ee) (3分) E(=,1)=(e,3E-e,4Eo)cos(ot-k=) (2分) (2)由于相位因子为e:,其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。(5分) 四、应用题（每小题10分，共30分） 18。均匀带电导体球，半径为a,带电量为Q。试求 (1)球内任一点的电场 (2)球外任一点的电位移矢量 解：(1)导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有： D.ds=0 (3分) 故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 (1分) E=0 r<a (1分)

2  ( )  （ 分） （ 分） （ 分） ˆ 2 ˆ 1 1 2 0 ˆ ˆ ˆ 2 1 0 2 0 x z x y z xe y z e y x z x y z e e e J B = − + + −       = =       16．矢量 x y ez A = 2e ˆ + e ˆ − 3ˆ  ， x y z B = 5e ˆ −3e ˆ − e ˆ  ，求 （1） A B   + （2） A B    解：（1） x y z A+ B = 7e ˆ − 2e ˆ − 4e ˆ   （5 分） （2） A B = 10 − 3 + 3 = 10   （5 分） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ( ) jkz x y E e E e E e − = 0 − 4 0 ˆ 3 ˆ  （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 解：（1）该电场的时间表达式为： ( ) ( ) j t E z t Ee    , = Re （3 分） E(z t) (e E e E ) ( t kz) , = ˆ x3 0 −ˆ y 4 0 cos  −  （2 分） （2）由于相位因子为 jkz e − ，其等相位面在 xoy 平面，传播方向为 z 轴方向。 （5 分） 四、应用题 （每小题 10 分，共 30 分） 18．均匀带电导体球，半径为 a ，带电量为 Q 。试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量 解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有：  = 0  S D dS   （3 分） 故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 （1 分） E = 0 r  a （1 分） 

(2)由于电荷均匀分布在r=a的导体球面上，故在r>a的球面上的电位移矢量的大小处 处相等，方向为径向，即D=D。e,由高斯定理有 4D.ds=o (3分) 免 4m2D。=0 (1分) 整星可得：D=,=品r>a (1分) 19.设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），求 (1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）： (2)设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 解：建立如图坐标 (1)通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为毛，方向。 (5分) (2)在x:平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出： B.di=uol (3分) 即： B=6, (1分) 2 通过矩形回路中的磁通量 w=爪B·s=“了止=h7 d 无穷远 分) 米×× dhb 图2 图1 20.解：(1)由于所求区域无源，电位函数必然满足拉普拉斯方程。 3

3 （2）由于电荷均匀分布在 r = a 的导体球面上，故在 r  a 的球面上的电位移矢量的大小处 处相等，方向为径向，即 r D D e ˆ = 0  ，由高斯定理有 D dS Q S  =    （3 分） 即 r D0 = Q 2 4 （1 分） 整理可得： e ˆ r a r Q D D e ˆ = r = r  0 2 4  （1 分） 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图 1 所示），求 （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 解：建立如图坐标 （1） 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为 y e ˆ 方向。 （5 分） （2） 在 xoz 平面上离直导线距离为 x 处的磁感应强度可由下式求出：   = c B dl I  0   （3 分） 即： x I B eˆ y   2 0 =  （1 分） 通过矩形回路中的磁通量 d b Ia d dxdz x I B dS d b x d a / S z a / + =  = − =    + = =− ln 2 2 0 2 2 0        （ 1 分） 20．解：（1）由于所求区域无源，电位函数必然满足拉普拉斯方程。 无穷远 图 2 图 1 x z

设：电位函数为x,y以，则其满足的方程为： p器器-0 (3分) (2)利用分离变量法： x.y)=f(x)g(v) d兰+kf=0 35a0 d (2分) k经+k号=0 根据边界条件=叫=叫，。=0，(，川的通解可写为： 4o.)-n (1分) 再由边界条件： inv. 求得A A-0-s同 (1分) 槽内的电位分布为 k小空器-mh侣宁 五、综合题（10分) 0:照wAE (2分) =是e (2分) %=120z (1分) (2)区域1中反射波电场方向为-毛(3分) 磁场的方向为已， (2分)

4 设：电位函数为 (x, y) ，则其满足的方程为： ( ) 0 2 2 2 2 2 =   +    = x y x, y    （3 分） （2）利用分离变量法： (x, y) = f (x)g(y) 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = x y y x k k k g dy d g k f dx d f （2 分） 根据边界条件 0 0 = = = x= x=a y→+    ，(x, y) 的通解可写为： （1 分） 再由边界条件： 求得 An ( nπ) n U An 1 cos 2 0 = −  （1 分） 槽内的电位分布为 ( ) ( ) y a n n x e a n nπ n U x, y     −  =       =  1− cos sin 2 1 0 五、综合题 （ 10 分） (1) 21．解：（1） H ez E   = ˆ  1 0 （2 分） j z y e E H e   − = 0 0 ˆ  （2 分） 0 = 120 （1 分） (2) 区域 1 中反射波电场方向为 x − e ˆ （3 分） 磁场的方向为 y e ˆ （2 分） ( ) y a n n n x e a n x y A    −  =       , = sin 1 0 1 0 sin x U a n A n y n  =      =   = =  

《电磁场与电磁波》试题(2)参考答案 二、简述题（每小题5分，共20分） 1。答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合 曲面S穿出去的通量等于由S外流入S内的通量。 (3分) 其数学表达式为：fB·d5=0 (2分) 12。答：当一个矢量场的两类源（标量源和矢量源）在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地 确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 (3分) 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度 两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。 (2分) 13.答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。(3分) 方程的微分形试xE一爱 (2分) 14.答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。(2分) 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。(3分) 三、计算题（每小题10分，共30分） 15.矢量函数A--x2e,+e,试求 (1)7.a (2)V×A (3分) =-2xy+y (2分) (2) xa品 (3分) -x20 =e:+e.x2 (2分) 16.矢量A=2e,-2e,B=e,-e,求

5 《电磁场与电磁波》试题（2）参考答案 二、简述题 （每小题 5 分，共 20 分） 11． 答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合 曲面 S 穿出去的通量等于由 S 外流入 S 内的通量。 （3 分） 其数学表达式为：  = 0  S B dS   （2 分） 12．答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地 确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3 分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度 两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。 （2 分） 13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3 分） 方程的微分形式： t B E    = −   （2 分） 14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2 分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。（3 分） 三、计算题 （每小题 10 分，共 30 分） 15．矢量函数 x z A yx e ˆ yze ˆ 2 = − +  ，试求 （1） A    （2） A    解：（1） （ 分） （ 分） 2 2 3 x y y z A y A x A A x y z = − +   +   +     =  （2） （ 分） 分） ˆ ˆ 2 (3 0 ˆ ˆ ˆ 2 2 e z e x yx yz x y z e e e A x z x y z = + −         =  16．矢量 x z A = 2e ˆ − 2e ˆ  ， x y B = e ˆ − e ˆ  ，求

(1)A-B (2)求出两矢量的夹角 解：(1) a-B=2e-2e.-e,-e,) (3分) =e,+e,-2e (2分) (2)根据A,B=ABcos0 (2分) 4.B=(2e-2e)e-e,)=2 cos8=2252 21 (2分) 所以0=60° (1分) n.解ww=60+g+e是 3分) =e2x+e,2y+e.2: (2分) ai岛 (2分) 装8 (3分) 四、应用题（每小题10分，共30分） 18。放在坐标原点的点电荷在空间任一点F处产生的电场强度表达式为 (1)求出电力线方程：(2)画出电力线。 由力线方程得 本正 (2分) 对上式积分得 y=Cx (1分) :=C3y 6

6 （1） A B   − （2）求出两矢量的夹角 解：（1） ( ) （ 分） 分） ˆ ˆ 2ˆ 2 2ˆ 2ˆ ˆ ˆ (3 x y z x z x y e e e A B e e e e = + − − = − − −   （2）根据 A B = ABcos   （2 分） A B = (2e ˆ x − 2e ˆ z )(e ˆ x − e ˆ y ) = 2   2 1 2 2 2 2 cos = = （2 分） 所以   = 60 （1 分） 17．解：（1） （ 分） （ 分） ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ 3 e x e y e z z u e y u e x u u e x y z x y z = + +   +   +    = （2） u u n   ˆ = （2 分） 所以 5 ˆ ˆ 2 4 16 ˆ 2 ˆ 4 ˆ x y x y e e e e n + = + + = （3 分） 四、应用题 （每小题 10 分，共 30 分） 18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点 r  处产生的电场强度表达式为 r e r q E ˆ 4 2  0 =  （1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 解:（1） (e x e y e z) r q r qr e r q E r x y z ˆ ˆ ˆ 4 4 ˆ 4 3 0 3 0 2 0 = = = + +         （2 分） 由力线方程得 dz z dy y dx x = = （2 分） 对上式积分得 z C y y C x 2 1 = = （1 分）

式中，C,C,为任意常数 (2)电力线图18-2所示。 (注：电力线正确，但没有标方向得3分) ·(xy,z) 米 .g1.2.0) 图18-2 图1 19.设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求 (1)画出镜像电荷所在的位置 (2)直角劈内任意一点(x,y,)处的电位表达式 解：(1)镜像电荷所在的位置如图19-1所示。 (注：画对一个镜像得2分，三个全对得5分) ·(x,y,z) （-1.2.0) -q .g1,2.0 20:2g 10).o 图19-1 图19-2 (2)如图19-2所示任一点(x,八，)处的电位为 品+6动 (3分) >

7 式中， 1 2 C ,C 为任意常数。 （2）电力线图 18-2 所示。 （注：电力线正确，但没有标方向得 3 分） 19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图 1 所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈内任意一点 (x, y,z) 处的电位表达式 解：（1）镜像电荷所在的位置如图 19-1 所示。 （注：画对一个镜像得 2 分，三个全对得 5 分） （2）如图 19-2 所示任一点 (x, y,z) 处的电位为         = − + − 0 1 2 3 4 1 1 1 1 4 r r r r q    （3 分） 图 1 图 18-2 图 19-1 图 19-2 + q − q − q

r=V-+0-2+ 其中，5=-少+0+2沙+ (2分) 5=V+1+0y+2+z r=Vx+12+0-2+ 20.设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为： E=E。cos(ot-中.) 月=i。cos(ot-pn) (1)写出电场强度和磁场强度的复数表达式 (2)证明其坡印廷矢量的平均值为：S.=)E。×,c0s(。-a) 解：(1)电场强度的复数表达式 E=Ee-Ite (3分) 电场强度的复数表达式 H=Hoe1 (2分) (2)根据 5=Re医x月)e (2分) Sn=Re民，×A,e小xco0.-4.) (3分) 五、综合题（共10分） 21,设沿+：方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场 只有x分量即E=e,E。em (②)求出反射波电场的表达式： (3)求出区域1媒质的波阻抗。 月。传举方向 ,气 理想导体 解：(1)设反射波电场 区域1 区域2 E=e,Ee 图2 区域1中的总电场为 E+E =e,(Ee+Ee) (2分) 根据：=0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得

8 其中， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 r x y z r x y z r x y z r x y z = + + − + = + + + + = − + + + = − + − + （2 分） 20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为： cos( ) 0 e E = E t −   cos( ) 0 m H = H t −   （1） 写出电场强度和磁场强度的复数表达式 （2） 证明其坡印廷矢量的平均值为： cos( ) 2 1 Sav = E0  H0  e − m    解：（1）电场强度的复数表达式 e j E E e −  = 0   （3 分） 电场强度的复数表达式 j m H H e −  = 0   （2 分） （2）根据 ( ) * Re 2 1 Sav E H    =  得 （2 分） ( ) cos( ) 2 1 Re 2 1 0 0 ( ) 0 0 e m j e m Sa v E H e E H     =  =  − − −      （3 分） 五、综合题 （共 10 分） 21．设沿 + z 方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图 2 所示，该电磁波电场 只有 x 分量即 j z x E e E e −  = 0 ˆ  (2) 求出反射波电场的表达式； (3) 求出区域 1 媒质的波阻抗。 解：（1）设反射波电场 j z r x r E e E e  = ˆ  区域 1 中的总电场为 ˆ ( ) 0 j z r j z r x E E e E e E e   + = + −   （2 分） 根据 z = 0 导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得 区域 1 区域 2 图 2

E.=-E (2分) 因此，反射波电场的表达式为 E,=-Eoe (1分) (2)媒质1的波阻抗 = (3分) 因而得n=120r=377(2) (2分) 《电磁场与电磁波》试题(3)参考答案 二、简述题（每小题5分，共20分） 山。答：它表明时变场中的腿场是由传导电流了和位移电流D共同产生3分。 该方程的积分形式为 (2分) 12.答：与传播方向垂直的平面称为横向平面：(1分) 电磁场E和H的分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波：(2分) 在其横向平面中场值的大小和方向都不变的平面波为均匀平面波。(2分) 13。答：静电场为无旋场，故沿任何闭合路径的积分为零：或指出静电场为有势场、保守场 静电场的两个基本方程积分形式： {D.&=q fE.di=0 或微分形式 V×E=0 V.D=p 两者写出一组即可，每个方程1分。 9

9 Er = −E0 （2 分） 因此，反射波电场的表达式为 j z r x E e E e  0 = −ˆ  （1 分） （2）媒质 1 的波阻抗 0 0    = （3 分） 因而得  = 120 = 377() （2 分） 《电磁场与电磁波》试题（3）参考答案 二、简述题 （每小题 5 分，共 20 分） 11．答：它表明时变场中的磁场是由传导电流 J  和位移电流 t D    共同产生（3 分）。 该方程的积分形式为 dS t D H dl J C S                  = +   （2 分） 12． 答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；（1 分） 电磁场 E和H 的分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波；（2 分） 在其横向平面中场值的大小和方向都不变的平面波为均匀平面波。（2 分） 13．答：静电场为无旋场，故沿任何闭合路径的积分为零；或指出静电场为有势场、保守场 静电场的两个基本方程积分形式：   = S D dS q    = 0 l E dl   或微分形式  E = 0   D =   两者写出一组即可，每个方程 1 分

14.答： V2d=-py IE (3分) 它表示求解区域的电位分布仅决定于当地的电荷分布。(2分) 三、计算题（每小题10分，共30分） 5.用球坐标表示的场E=心，兰，求 (1)在直角坐标中点(-3,4,5)处的E: (2)在直角坐标中点(-3,4,5)处的E分量 解： (1)在直角坐标中点(-3,4,5)在球坐标中的矢径大小为： r=V(-3}+42+52=52 (2分) 故该处的电场大小为： 4=草号 (3分) (2)将球坐标中的场表示为 6- (2分) 将r=52,x=-3代入上式即得： 6=9 (1分) 16.矢量函数A=-xe+e,+xe,试求 (1)V.A (2)若在y平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿 过此正方形的通量。 解： (1)

10 14．答：   /  2  = − V （3 分） 它表示求解区域的电位分布仅决定于当地的电荷分布。（2 分） 三、计算题 （每小题 10 分，共 30 分） 15．用球坐标表示的场 2 25 ˆ r E e = r  ，求 （1） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的 E ； （2） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的 Ex 分量 解： （1）在直角坐标中点（-3，4，5）在球坐标中的矢径大小为： ( 3) 4 5 5 2 2 2 2 r = − + + = （2 分） 故该处的电场大小为： 2 25 1 2 = = r E （3 分） （2）将球坐标中的场表示为 ( ) r x y z xe ˆ ye ˆ ze ˆ r r r r E = e ˆ = = + + 2 3 3  25 25  25 （2 分） 故 3 25 r x Ex = （2 分） 将 r = 5 2 ， x = −3 代入上式即得： 20 3 2 Ex = − （1 分） 16．矢量函数 x y z A x e ˆ ye ˆ xe ˆ 2 = − + +  ，试求 （1） A    （2）若在 xy 平面上有一边长为 2 的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量 A  穿 过此正方形的通量。 解： （1）