微积分_高阶导数

§3.4高阶导数 我们可以把y=f(x)称为函数y=(x)的一阶导数, 而一阶导数y=f(x)的导数称为函数y=fx)的二阶导 数,记作 f"(x),y",或 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 §3.4 高阶导数 我们可以把y=f (x)称为函数y=f(x)的一阶导数 而一阶导数y=f (x)的导数称为函数y=f(x)的二阶导 数 记作 f (x) y  或 2 2 dx d y  首页 上页 返回 下页 结束 铃

高阶导数 我们可以把y=f(x)称为函数y=(x)的一阶导数,而一阶导 数y'=f'(x)导数称为函数yfx)的二阶导数,记作 f"(x),y",或 相应地,二阶导数y"=f(x)的导数称为函数y=fx)的三阶 导数,记作 般地,函数y=fx)的(n-1)阶导数的导数称为函数y=fx) 的m阶导数,记作 x),y),或2 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 我们可以把y=f (x)称为函数y=f(x)的一阶导数而一阶导 数y=f (x)的导数称为函数y=f(x)的二阶导数记作 f (x) y  或 2 2 dx d y  高阶导数 相应地 二阶导数y=f (x)的导数称为函数y=f(x)的三阶 导数 记作 f (x) y  或 3 3 dx d y  一般地 函数y=f(x)的(n−1)阶导数的导数称为函数y=f(x) 的n阶导数 记作 f (n) (x) y (n)  或 n n dx d y  下页

例1.y=x4,求y=x4的各阶导数 解:y=4x3, y"=12x2 y"-=24x, y4)=24, y5=y6=…=0 首页上页返回下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 y=4x 3  例1 y=x 4  求y=x 4的各阶导数 y (5)=y (6)=  =0 y (4)=24 y=24x y=12x 2  下页

例1.y=x4,求y=x4的各阶导数 解:y=4x3, y"=12x2 y"-=24x, y4)=24, y5}=y6)=…=0 例2.求函数ye的m阶导数 解:y′=e,y'=er,y"ler,y4)=ex 般地,可得 ,(n)=e" y 即(e)m)=ex 首页上页返回下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 一般地 可得 y (n)=e x  即 (e x ) (n)=e x  例2 求函数y=e x的n阶导数 y=e x  y (4)=e x y=e  x y=e  x  解 y=4x 3  例1 y=x 4  求y=x 4的各阶导数 y (5)=y (6)=  =0 y (4)=24 y=24x y=12x 2  下页

例3.求正弦函数与余弦函数的m阶导数 解: y= x, y=cosx=sin(x+a) y=co(x+a)=sI(x++2)=Si(x+2.2), y=coS(x+2.7t 2=sn(x+3. y()=cos(x+3/)=sin(x+4 般地,可得 A n)=sin(x+n.), EJ(sin x)n)=sin(x+n) 用类似方法,可得(c0sx)y)=cos(x+n·x) 首页上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例3 求正弦函数与余弦函数的n阶导数 y=sin x ) 2 cos sin(  y  = x= x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+   ) 2 ) sin( 3 2 cos( 2   y  = x+  = x+   ) 2 ) sin( 4 2 cos( 3 (4)   y = x+  = x+   一般地 可得 ) 2 sin( ( )  y = x+n n  即 ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x+n n  用类似方法 可得 ) 2 (cos ) cos( ( )  x = x+n n  ) 2 cos sin(  y  = x= x+  ) 2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+  )  2 ) sin( 2 2 2 ) sin( 2 cos(     y  = x+ = x+ + = x+   ) 2 ) sin( 3 2 cos( 2   y  = x+  = x+   ) 2 ) sin( 4 2 cos( 3 (4)   y = x+  = x+   ) 2 sin( ( )  y = x+n n  即 ) 2 (sin ) sin( ( )  x = x+n n  结束