湖南大学：《线性代数》复习题B

1、设向量组a1,C2,C线性相关, 而向量组c1,O3,O4线性无关, 则向量组C1,C2,C2的最大线性无关组 C 疋 153

1、设向量组 线性相关， 而向量组 线性无关， 则向量组 的最大线性无关组 是___________. 1 2 3 , , 1 3 4  , , 1 2 3 , , 1 3  ,

2、设A为n阶方阵,方程组AX=0 仅有零解的充分必要条件是4≠

2、设 为 阶方阵，方程组 仅有零解的充分必要条件是_________. A n AX = 0 A  0

3、设五阶方阵A的行列式为A=√2, 2A

3、设五阶方阵 的行列式为 ., 则 _____________. A A = − 2 2 A = −8

x1+x2+x3+44=0 x2+2x3+2x4=1 4、若方程组 x2+(a-3)x3-2x4=b 3x1+2x2+x2+ax 有无穷多组解,则、b应满足 的条件是a=1,b=-1

4、若方程组 有无穷多组解，则 、 应满足 的条件是____________.        + + + = − − + − − = + + = + + + = 3 2 1 ( 3) 2 2 2 1 0 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x ax x a x x b x x x x x x x a b a = 1 , b = −1

5、设n阶方阵A的行列式|4=0 则数0 定是A的特征值

5、设 阶方阵 的行列式 ， 则数_______ 一定是 的特征值. n A A A = 0 0

解答下列各题(本大题共4小题,总计24 分) 1、(6分) 000 4 求方阵A=0 00的逆矩阵 0 300 0 0 01 4000 0300 4=a≠0A 24 0020 0001

二、解答下列各题(本大题共4小题，总计24 分) 1、(6分) 求方阵 的逆矩阵 .                   = 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 4 1 A A =  1 24 0               = − 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 1 A

2、(6分)判别二次型的正定性 f(x1,x2,x3)=3x1+4x2+5x3+4x1x2-4x2x3 320 A=24-2 △1=3>0, 0 32 320 =8>0△:=24-21=60-20-12=2850 故二次型 f(x1,x2,x3)=3x2+4x2+5x3+4xx12-4x2x3 是正定的

2、(6分)判别二次型的正定性. f (x , x , x ) x x x x x x x 1 2 3 1 2 2 2 3 2 = 3 + 4 +5 + 4 1 2 − 4 2 3 是正定的.           − = − 0 2 5 2 4 2 3 2 0 A f (x , x , x ) x x x x x x x 1 2 3 1 2 2 2 3 2 = 3 + 4 +5 + 4 1 2 − 4 2 3 △ 1 = 3 0, 2 3 2 2 4 △ = = 8 0 3 3 2 0 2 4 2 0 2 5 = − 60 20 12 28 0 − △ = − − =  故二次型

3、(6分)设向量组a,B,y线性无关, 研究向量组a+B,a-B3,-2B+y 的线性相关性 设k1(+B)+k2(a-B)+k3(a-2B+y)=0 即(k1+k2+k3)x+(k1-k2-2k3)B+k3y=0 k,+k+k,=0 由aB,y,线性无关得k1-k2-2k3=0 k2=0 它只有零解k=k2=k=C 故所讨论的向量组线性无关

3、(6分)设向量组 线性无关， 研究向量组 的线性相关性.  ,  ,  + , − , − 2 +  故 所 讨 论 的 向 量 组 线 性 无 关.      = − − = + + = 0 2 0 0 3 1 2 3 1 2 3 k k k k k k k 设 k1 ( + ) + k2 ( − ) + k3 ( − 2 + ) = 0 即 (k1 + k2 + k3 ) + (k1 − k2 − 2k3 ) + k3  = 0 由 ,,, 线 性 无 关 得 它 只 有 零 解 k1 = k2 = k3 = 0

4、(6分) 求 的特征值和特征向量. A的特征值,1=22=4 2对应的全部特征向量为 k≠C 2=4对应于的全部特征向量为, k≠O

4、(6分) 求  的 特 征 值 和 特 征 向 量.      − − = 1 3 3 1 A A 的 特 征 值 , 1 = 2  2 = 4 1 = 2       1 1 1 k k1  0 对 应 的 全 部 特 征 向 量 为  2 = 4       −1 1 2 k k2  0 对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 为

、解答下列各题(本大题共4小题,总计29分)1、(6分) 求矩阵的秩. 2 21 2322 22 543 10000 21342 00010 11-111→>01000 0-2322 00000 22543 00003 所以RA)=4

三、解答下列各题(本大题共4小题，总计29分) 1、(6分) 求 矩 阵 的秩.                 − − − = 2 2 5 4 3 0 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 3 4 2 1 2 1 1 1 A                 →                 − − − 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 2 5 4 3 0 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 3 4 2 1 2 1 1 1 所 以 R(A) = 4