湖南大学：《线性代数》第五章习题

第五章相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: 解(1)根据施密特正交化方法: 令b1=a1 b2=a2 b3=a3 b2 2|, b1,b] 故正交化后得:(b1,b2,b3)=10 (2)根据施密特正交化方法令b1=a1 1-3 b2 b b, by b3=a3 3413 故正交化后得(b1,b2,b3)= 231-3

1 第五章 相似矩阵及二次型 1．试用施密特法把下列向量组正交化： 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令           = = 1 1 1 b1 a1 ，               − = − = 1 0 1 , , 1 1 1 1 2 2 2 b b b b a b a ，                   = − − = − 1 2 1 3 1 , , , , 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 b b b b a b b b b a b a ， 故正交化后得:                 − − = 3 1 1 1 3 2 1 0 3 1 1 1 ( , , ) b1 b2 b3 ． (2) 根据施密特正交化方法令               − = = 1 1 0 1 b1 a1                   − = − = 1 2 3 1 3 1 , , 1 1 1 1 2 2 2 b b b b a b a                       − = − − = 4 3 3 1 5 1 , , , , 2 2 2 2 3 1 1 1 1 3 3 3 b b b b a b b b b a b a 故正交化后得                       − − − = 5 4 3 1 1 5 3 3 2 1 5 3 0 1 5 1 3 1 1 ( , , ) 1 2 3 b b b

2.下列矩阵是不是正交阵: 99 ;(2) 2 98949 解(1)第一个行向量非单位向量故不是正交阵 (2)该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵 3.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵 证明因为A,B是n阶正交阵,故A=A,B-=B (AB)(AB)=B AB=BA AB=E 故AB也是正交阵 4.求下列矩阵的特征值和特征向量: 24213};u(a an)(a1≠0) 336 并问它们的特征向量是否两两正交? 解(1)①A-aE -4(元-4-3) 故A的特征值为=2,2=3 ②当1=2时解方程(A-2E)x=0,由 (A-2E) 得基础解系P 0 所以k1P(k1≠0)是对应于=2的全部特征值向量 当λ2=3时解方程(A-3E)x=0,由 2 (A-3E)= 得基础解系P2 00 所以k2P2(k2≠0)是对应于3=3的全部特征向量 ③|P,Pl=PP=(-1,1)2 故P,P不正交

2 2．下列矩阵是不是正交阵: (1)                 − − − 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 1 ; (2)                 − − − − − − 9 7 9 4 9 4 9 4 9 1 9 8 9 4 9 8 9 1 ． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设 A 与 B 都是 n 阶正交阵，证明 AB 也是正交阵． 证明 因为 A,B 是 n 阶正交阵，故 A A T = −1 ，B B T = −1 AB AB B A AB B A AB E T T T = = = −1 −1 ( ) ( ) 故 AB 也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)         − 2 4 1 1 ; (2)           3 3 6 2 1 3 1 2 3 ; (3) ( ),( 0) 1 2 1 2 1                a a a a a a a n n   . 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① ( 2)( 3) 2 4 1 1 = − − − − − − =     A E 故 A 的特征值为 1 = 2,2 = 3． ② 当 1 = 2 时,解方程 (A− 2E)x = 0 ,由                 − − − = 0 0 1 1 2 2 1 1 (A 2E) ~ 得基础解系         − = 1 1 P1 所以 ( 0) k1P1 k1  是对应于 1 = 2 的全部特征值向量． 当 2 = 3 时,解方程 (A− 3E)x = 0 ,由                 − − − = 0 0 2 1 2 1 2 1 (A 3E) ~ 得基础解系         − = 1 2 1 P2 所以 ( 0) k2P2 k2  是对应于 3 = 3 的全部特征向量． ③ 0 2 3 1 2 1 [ , ] ( 1,1) 1 2 1 2 =          − P P = P P = − T 故 1 2 P , P 不正交．

1-23 (2)①A-AE=21-3=-(+4-9 36- 故A的特征值为气=0,2=-1,3=9 ②当λ1=0时,解方程Ax=0,由 2 A=213~011得基础解系P1=-1 336 000 故k1P(k1≠0)是对应于气1=0的全部特征值向量 当λ2=-1时,解方程(A+E)x=0,由 223 A+E=223~001得基础解系P 337 故k2P2(k2≠0)是对应于2=-1的全部特征值向量 当λ3=9时,解方程(A-9E)x=0,由 A-9E=2-83 得基础解系P 000 故k3P3(k3≠0是对应于λ3=9的全部特征值向量 ③P,P|=PP2=(-1,-1,11=0, 0 IP2,P3|=P2P3=(-1,,0 212 0

3 (2) ① ( 1)( 9) 3 3 6 2 1 3 1 2 3 = − + − − − − − =       A E 故 A 的特征值为 1 = 0,2 = −1,3 = 9． ② 当 1 = 0 时，解方程 Ax = 0 ，由                     = 0 0 0 0 1 1 1 2 3 3 3 6 2 1 3 1 2 3 A ~ 得基础解系           − − = 1 1 1 P1 故 ( 0) k1P1 k1  是对应于 1 = 0 的全部特征值向量. 当 2 = −1 时,解方程 (A+ E)x = 0 ，由                     + = 0 0 0 0 0 1 2 2 3 3 3 7 2 2 3 2 2 3 A E ~ 得基础解系           − = 0 1 1 P2 故 ( 0) k2P2 k2  是对应于 2 = −1 的全部特征值向量 当 3 = 9 时，解方程 (A− 9E)x = 0 ，由           − −           − − − − = 0 0 0 2 1 0 1 1 1 1 3 3 3 2 8 3 8 2 3 A 9E ~ 得基础解系                   = 1 2 1 2 1 P3 故 ( 0) k3P3 k3  是对应于 3 = 9 的全部特征值向量． ③ 0 0 1 1 [ , ] ( 1, 1,1) 1 2 1 2 =           − P P = P P = − − T ， 0 1 2 1 2 1 [ , ] ( 1,1,0) 2 3 2 3 =                   P P = P P = − T

IP,P3l=PP3=(-1,-1 0, 所以P,P2,P3两两正交 a1-aa2…a1an 3)JA-aE a1a2-4 a2 anal n2 -x(a12+a2+…+a2) x[λ-(a2+a2+…+a2 1=n2+a2+…+m2=∑a2,2==…==0 当4=∑时, A-AE 初等行变换0an 00 取x为自由未知量,并令xn=an,设x1=a1,x2=a2,…xn1=a 故基础解系为P 当λ2=λ=…=λn=0时

4 0 1 2 1 2 1 [ , ] ( 1, 1,1) 1 3 1 3 =                 P P = P P = − − T ， 所以 1 2 3 P , P , P 两两正交． (3)     − − − − = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A E        = ( ) 2 2 2 2 1 1 n n n − a + a + + a   −   ( ) 2 2 2 2 1 1 n n = − a + a + + a  −   =  = + + + = n i a a an ai 1 2 2 2 2 2 1 1  , 2 = 3 == n = 0 当 = = n i ai 1 2 1 时， (A − E)               − − − − − − − − − − − − = − 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 2 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a           初等行变换 ~                 − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1          n n n n a a a a a a 取 n x 为自由未知量，并令 xn = an ，设 1 1 2 2 1 1 , , x = a x = a xn− = an− . 故基础解系为               = n a a a P  2 1 1 当 2 = 3 ==  n = 0 时

(4-0E)=/g5 (. an1“n42 初等行变换00 0 00 可得基础解系 0 0 P2=0P P,=0 0 0 综上所述可知原矩阵的特征向量为 ,P2,…,P 0 2-4 00 5.设方阵A=-2 2与A=0y0相似,求x,y. 解方阵A与A相似,则A与A的特征多项式相同,即 1-元 415-元0 0 A-AE=-E→-2x-2-2=0y-0 21- 0 6.设AB都是m阶方阵,且A≠0,证明AB与BA相似 证明4≠0则A可逆 A(AB)A=(A-A)(BA)=BA则AB与B4相似 7.设3阶方阵A的特征值为1=1,2=0,3=-1;对应的特征向量

5 ( )               −  = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a A E                     0 0 0 0 0 0 ~ 1 2      a a  an 初等行变换 可得基础解系                 − =                 − =                 − = 1 1 2 3 1 2 2 0 0 , , 0 0 , 0 0 a a a P a P a a P n n     综上所述可知原矩阵的特征向量为 ( )               − − = 1 2 1 1 2 1 2 0 0 , , , a a a a a a a P P P n n n        5．设方阵           − − − − − − = 4 2 1 2 2 1 2 4 A x 与           −  = 0 0 4 0 0 5 0 0 y 相似，求 x, y . 解 方阵 A 与  相似，则 A 与  的特征多项式相同，即 A − E =  − E    − − − − − − − − −  4 2 1 2 2 1 2 4 x    − − − − = 0 0 4 0 0 5 0 0 y    = =  5 4 y x ． 6．设 A,B 都是 n 阶方阵，且 A  0 ，证明 AB 与 BA 相似． 证明 A  0 则 A 可逆 A AB A = A A BA = BA − − ( ) ( )( ) 1 1 则 AB 与 BA 相似． 7．设 3 阶方阵 A 的特征值为 1 = 1,2 = 0,3 = −1 ；对应的特征向量

依次为P1=2 P 求A 解根据特征向量的性质知(P,P2,P3)可逆 得:(P,P2,P)AP,P2,P3)= 3 可得A=(P,P2B3 12 P,P2,P3) 3 102 得A 220 8.设3阶对称矩阵A的特征值6,3,3,与特征值6对应的特征向量 为 P1=(1,1,1),求A 解设A=x2x4 +x,+x3=6 由A1=61,知①{x2+x4+x5=6 x3+x5+x6=6 3是A的二重特征值根据实对称矩阵的性质定理知A-3E的秩为1, 3 故利用①可推出 秩为 则存在实的a,b使得② (1,1,1)=a(x2,x4-3,x5) 成立 (1,1,1)=b(x3,x5,x6-3) 由①②解得x2=x3=1,x1=x=x6=4,x5=1

6 依次为           = 2 2 1 P1 ，           = − 1 2 2 P2 ，           − − = 2 1 2 P3 求 A. 解 根据特征向量的性质知 ( , , ) P1 P2 P3 可逆, 得:           = − 3 2 1 1 2 3 1 1 2 3 ( , , ) ( , , )    P P P A P P P 可得 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 ( , , ) ( , , ) −           A = P P P P P P    得           − = 2 2 0 0 1 2 1 0 2 3 1 A 8．设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 6，3，3，与特征值 6 对应的特征向量 为 (1,1,1) 1 T P = ,求 A. 解 设           = 3 5 6 2 4 5 1 2 3 x x x x x x x x x A 由           =           1 1 1 6 1 1 1 A ，知①      + + = + + = + + = 6 6 6 3 5 6 2 4 5 1 2 3 x x x x x x x x x 3 是 A 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知 A − 3E 的秩为 1， 故利用①可推出           − −           − − − 3 3 1 1 1 3 3 3 3 5 6 2 4 5 3 5 6 2 4 5 1 2 3 ~ x x x x x x x x x x x x x x x 秩为 1. 则存在实的 a,b 使得②    = − = − (1,1,1) ( , , 3) (1,1,1) ( , 3, ) 3 5 6 2 4 5 b x x x a x x x 成立． 由①②解得 x2 = x3 = 1, x1 = x4 = x6 = 4, x5 = 1．

得A=141. 114 9.试求一个正交的相似变换矩阵将下列对称矩阵化为对角矩阵 (1)-21 20 2-45 2-元 解(1)A-E=-21--2=(1-4)(2-4)+2) 故得特征值为λ1=-2,2=1,3=4 当A1=-2时,由 20x 23-2‖x,=0解得x2|=k12 22人x3 单位特征向量可取:P=2/3 当孔2=1时,由 2 20-2x2=0解得x2=k1 x3 单位特征向量可取:P2=1/3 2/ 当λ3=4时,由 2-20 2-3-2‖x2|=0解得x2|=k-2 2/3 单位特征向量可取:P=-2/3 l/3

7 得           = 1 1 4 1 4 1 4 1 1 A ． 9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1)           − − − − 0 2 0 2 1 2 2 2 0 ; (2)           − − − − 2 4 5 2 5 4 2 2 2 ． 解 (1)     − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (1 − )( − 4)( + 2) 故得特征值为 1 = −2,2 = 1,3 = 4． 当 1 = −2 时，由 0 0 2 2 2 3 2 4 2 0 3 2 1 =                     − − − − x x x 解得           =           2 2 1 1 3 2 1 k x x x 单位特征向量可取:           = 2 3 2 3 1 3 P1 当 2 = 1 时,由 0 0 2 1 2 0 2 1 2 0 3 2 1 =                     − − − − − x x x 解得           − =           2 1 2 2 3 2 1 k x x x 单位特征向量可取:           − = 2 3 1 3 2 3 P2 当 3 = 4 时,由 0 0 2 4 2 3 2 2 2 0 3 2 1 =                     − − − − − − − x x x 解得           = −           1 2 2 3 3 2 1 k x x x ． 单位特征向量可取:           = − 1 3 2 3 2 3 P3

122 得正交阵(P,P,P1)=P=121-2 2-21 200 P-AP=0 1 0 004 2-22 (2)A-E=25--4|=-(2-1)2(2-10, 45-见 故得特征值为A1=a2=13=10 当λ=气2=1时,由 12-2 24-4x,|=0解得x2|=k1 +k,0 2-44 此二个向量正交单位化后得两个单位正交的特征向量 B1 1|=45单位化得P 4/5 0 当λ3=10时,由 82 2 x 2-5-4x2|=0解得x2|=k-2 2-4-5 单位化P=-2得正交阵(P,P2,P)

8 得正交阵           − = = − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 ( , , ) P1 P2 P3 P           − = − 0 0 4 0 1 0 2 0 0 1 P AP (2)           − − − − − − − − =     2 4 5 2 5 4 2 2 2 A E ( 1) ( 10) 2 = −  −  − ， 故得特征值为 1 = 2 = 1,3 = 10 当 1 = 2 = 1 时，由           =                     − − − − 0 0 0 2 4 4 2 4 4 1 2 2 3 2 1 x x x 解得           +           − =           1 0 2 0 1 2 1 2 3 2 1 k k x x x 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量           − = 0 1 2 5 1 P1           =           − − −           − =  1 4 5 2 5 0 1 2 5 4 0 1 2 P2 单位化得           = 1 4 5 2 5 3 5 P2 当 3 = 10 时,由           =                     − − − − − − − 0 0 0 2 4 5 2 5 4 8 2 2 3 2 1 x x x 解得           − − =           2 2 1 3 3 2 1 k x x x 单位化           − − = 2 2 1 3 1 P3 :得正交阵 ( , , ) P1 P2 P3

22√5 √5153 √5 5153 100 PAP=010. 00 10.(1)设A ,求p(4)=A0-54 23 (2)设A=122|,求叫4)=A0-64+5A 221 3 解(1) 是实对称矩阵 23 故可找到正交相似变换矩阵P=12y2 2 使得P-AP A 05 从而A=PAP,A=PAP 因此p(4)=A0-54”=PAP-5PAP 50 40 00丿2(-1 2-2 2-2 (2)同(1)求得正交相似变换矩阵

9                   − − − = 3 2 3 5 0 3 2 15 4 5 5 1 3 1 15 2 5 5 2           = − 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 P AP ． 10．(1) 设         − − = 2 3 3 2 A ，求 10 9 (A) = A − 5A ； (2) 设           = 2 2 1 1 2 2 2 1 2 A ,求 10 9 8 (A) = A − 6A + 5A ． 解 (1)         − = 2 3 3 2  A 是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵             − = 2 1 2 1 2 1 2 1 P 使得   =        = − 0 5 1 0 1 P AP 从而 1 1 , − − A = PP A = P P k k 因此 10 9 10 1 9 1 ( ) 5 5 − −  A = A − A = P P − P P 1 10 1 10 0 5 5 0 0 5 1 0 − −         −         = P P P P 1 0 0 4 0 −         − = P P         −         −         − = 1 1 1 1 2 1 0 0 4 0 1 1 1 1 2 1         = −         − − − − = 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ． (2) 同(1)求得正交相似变换矩阵

6 2√3 663 100 使得PAP=010=A,A=PAP 005 A10-64”+5A =A(42-6A+5E)=A3(A-E)(A-5E) 112-312 220人224 2-24 11.用矩阵记号表示下列二次型 (1)∫=x2+4x+4y2+2xz+乙+4yz; (2)∫=x2+y2-7x2-2xy-4xz-4Jx; (3)f=x2+x2+x3+x2-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4 解(1)∫=(x,y,x)242|y 121 (2)∫=(x,y,x-11-2y 2-2-7 1-12-1 (3)∫=(x1,x2,x3,x4 2310 1-201 12.求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1)∫=2x1+3x2+3x3+4x2x3; (2)∫=x2+x2+x2+x2+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4

10                   − − − = 3 1 0 3 6 3 1 2 1 6 6 3 1 2 1 6 6 P 使得 1 1 , 0 0 5 0 1 0 1 0 0 − − =  =            − P AP = A P P 10 9 8 (A) = A − 6A + 5A ( 6 5 ) ( )( 5 ) 8 2 8 = A A − A + E = A A − E A − E           − − −           =   − 2 2 4 1 3 2 3 1 2 2 2 0 1 1 2 1 1 2 8 1 P P           − − − − = 2 2 4 1 1 2 1 1 2 2 ． 11．用矩阵记号表示下列二次型: (1) f x 4xy 4y 2xz z 4yz 2 2 2 = + + + + + ; (2) 7 2 4 4 ; 2 2 2 f = x + y − z − xy − xz − yz (3) 2 4 2 6 4 . 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 2 4 2 3 2 2 2 f = x1 + x + x + x − x x + x x − x x + x x − x x 解 (1)                     = z y x f x y z 1 2 1 2 4 2 1 2 1 ( , , ) ． (2)                     − − − − − − − = z y x f x y z 2 2 7 1 1 2 1 1 2 ( , , ) ． (3)                             − − − − − − = 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 0 1 2 3 1 0 1 1 3 2 1 1 2 1 ( , , , ) x x x x f x x x x ． 12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) 2 3 2 3 2 2 2 f = 2x1 + 3x + 3x + 4x x ; (2) 1 2 1 4 2 3 3 4 2 4 2 3 2 2 2 f = x1 + x + x + x + 2x x − 2x x − 2x x + 2x x ．