湖南大学：《线性代数》复习题

填空(本大题分5小题,每小题3分,共15分) a+bb+d 1、行列式 (a-d)(C-b) a+cc+d

一 、填空(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、行 列 式 . a b b d a c c d + + + + = (a − d)(c − b)

2、在方程组AnXx=0中,若秩(A)=k, 且71272,…是它的一个基础解系, 则=n-k

2、在方程组 中，若秩 且 是它的一个基础解系， 则 = . Amn Xn1 = 0 (A) = k,   r , , , 1 2  r n − k

2x1-x2+4x2-3x4=-4 3、方程组 X, +x-x 3x1+X+x,=1 7x1+7x3-3x4=3 x1=-k+3 x=2k -8 (k为任意实数) x=k 的通解为 4 6

3、方程组 的通解为______________________.        + − = + + = + − = − − + − = − 7 7 3 3 3 1 3 2 4 3 4 1 3 4 1 2 3 1 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x ( 为任意实数)        = = = − = − + 6 2 8 3 4 3 2 1 x x k x k x k k

4、设A为正交矩阵,为阵A的特征根, 则A4-=0

4、设 为正交矩阵， 为 阵 的特征根， 则 __________. A  A A− E = 0

5、设向量组C1,C2,O3线性相关, 而向量组C2,C3,C4线性无关, 则向量组C1,C2,C3的 最大线性无关组是C2,3

5、设向量组 线性相关， 而向量组 线性无关， 则向量组 的 最大线性无关组是___________. 1 2 3 , , 2 3 4 , , 1 2 3 , , . 2 3

、解答下列各题(本大题共4小题,总计24分) 1、(分)若向量组1,a2,C3线性无关 而B1=a1+a2+a3,B2=a1+a2+20x3,B3=a1+2a2 试证:B,B2,B3线性无关 设k1B1+k2A2+k,B3=0 得(k+k2+k31+(k1+k2+2k3)2+(k+2k2)a3=0 k1+k2+k3=0 由x00线性无关得,k1+k2+2k3=0 k,+2k 0 它只有零解k1=k2=k2=0 故B1,B2,3线性无关

二、解答下列各题(本大题共4小题，总计24分) 1、(6分)若 向 量 组 线 性 无 关， 而 试 证： 线 性 无 关. 1 2 3 , , , 2 , 2 . 1 =1 + 2 +3  2 =1 + 2 + 3  3 =1 +  2 1 2 3 , , 设 得 k1 1 + k2  2 + k3  3 = 0 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 0 k1 + k2 + k3 1 + k1 + k2 + k3  2 + k1 + k2 3 = 由 线性无关得 ， 3 , 2 , 1       + = + + = + + = 2 0 2 0 0 1 2 1 2 3 1 2 3 k k k k k k k k 它只有零解 0 , k1 = k2 = k3 = 故    线 性 无 关. 1 2 3 ,

2、(6分)判定二次型 fo x1,x2,x3)=5x1+2x2+5x3+4x1x2-8x1x3-4x2x 的正定性. 52 4 A=222 4-25 5 △1=5>0,△222 6>0 52-4 22-2=10>0 4-25 故所给二次型是正定的

2、(6分)判定二次型 的正定性. f (x , x , x ) x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 = 5 + 2 +5 + 4 −8 − 4           − − − − = 4 2 5 2 2 2 5 2 4 A △ △ ， △ 故 所 给 二 次 型 是 正 定 的. 1 = 5 0, 2 5 2 2 2 = = 6  0 3 5 2 4 2 2 2 4 2 5 = 10 0 − − − − = 

3、(6分)设a1=(2,1,3,1)a2=(1,2,0,1) a3=(-1103讨论向量组a1,C2,a的线性相关性 因为120=9≠0 11 故C1,2,Cl2线性无关

3、(6分)设 , 讨论向量组 的线性相关性. (2,1,3,1) 1 = (1,2,0,1) 2 = ( 1,1,0 ,3) 3 = − 1 2 3 , , 2 1 3 1 2 0 1 1 0 9 0 − 因 为 =  ， 故 1 , , 2 3 线 性 无 关

000 4、(6分)求方阵A 0200 的逆矩阵 0060 000 =1≠0 3000 0 00 2 00 0 6 0004

4、(6分)求方阵 的逆矩阵.                 = 4 1 0 0 0 0 0 6 0 0 2 0 0 0 0 0 3 1 A A = 1 0                 = − 0 0 0 4 0 6 1 0 0 0 0 2 1 0 3 0 0 0 1 A

68 、1、(6分)设A=234 2-3-4 求矩阵A的秩 4-68 A→234 000 故秩()=2

三、1、(6分)设 , 求矩阵 的秩.           − − − − = 2 3 4 2 3 4 4 6 8 A A           − → 0 0 0 2 3 4 4 6 8 A 故 秩 (A) = 2