湖南大学：《线性代数》第五章（5-4） R3中的直线与平面方程

大学数学(二) 第互拿( 欧氏空间 脚本编写:曾金平刘楚中 课件制作:曾金平刘楚中

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§4R3中的直线与平面方程

§4 R 3 中的直线与平面方程

平面及其方程 主题:1.空间平面在直角坐标系的表示法。 2空间平面间的关系

一、 平面及其方程 主题：1. 空间平面在直角坐标系的表示法。 2. 空间平面间的关系

1、平面的点法式方程 几何上,任给空间中某一点,及某一方向, 都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的 平面。下面用解析式描述此几何关系 设:平面过定点Mxy,x)且垂直于方向n=(A,B,C) n 任取平面丌上一点M(x,y,z) 由已知,mMM, 故 n·M0M=0 (4.1)

1、平面的点法式方程 几何上，任给空间中某一点，及某一方向， 都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的 平面。下面用解析式描述此几何关系. •  M0 M x z y 任取平面  上一点 M(x, y, z). O • 故 由已知，n⊥M0M， 设：平面 过定点 M0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于方向 n=(A, B, C). n n  M0M=0. (4.1)

(A,B,C(x-x02yy22-20) A(x-x)+B(y-y0)+C(z-0) (4.2) 即平面π上任意点Mx,y,z)都满足方程(4.2) 反之若(x,y,z)满足(42),则由(42) n与MM垂直即M在平面x上

 (A, B, C)(x−x0 , y−y0 , z−z0 ) = A(x −x0 )+B(y −y0 )+C(z −z0 ) = 0. 即平面  上任意点 M(x, y, z) 都满足方程 (4.2). 反之若 (x, y, z) 满足 (4.2)，则由 (4.2). (4.2) n 与 M0M 垂直. 即 M 在平面  上

我们称垂直于平面x的任何非零向量为π的法方 向或法向,因此,n即为n之—个法向 (42)依赖于法方向方及定点Mx,y,=0)故(42) 称为平面z的法点式方程 A(x-x)+B(-y)+C(=0)=0—法点式方程

我们称垂直于平面  的任何非零向量为  的法方 向或法向，因此，n 即为 之一个法向. (4.2) 依赖于法方向 n 及定点 M(x0 , y0 , z0 ). 故(4.2) 称为平面 的法点式方程. A(x −x0 )+B(y −y0 )+C(z −z0 )=0 法点式方程

例41求过点M1,3,-2)且以h(2,3,-4)为法 向的平面方程 解:由法点式,得所求平面方程为 2(x-1)+3(y-3)-4(=+2)=0, 即 2x+3y-42-19=0

解：由法点式，得所求平面方程为 2(x −1)+3(y −3) −4(z+2)=0, 2x+3y −4z−19=0. 例4.1 求过点 M0 (1, 3, −2) 且以 n=(2, 3, −4) 为法 向的平面方程. 即

例42.求过点M(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和 M3(0,2,3)的平面方程 从图知,M,M2M3不共线,即三点不在同一直线 故可唯一确定一平面.如何验证?如何求?

例4.2. 求过点 M1 (2, −1, 4), M2 (−1, 3, −2) 和 M3 (0, 2, 3) 的平面方程. O • • • x y z M1 M2 M3 从图知，M1 , M2 , M3 不共线，即三点不在同一直线 故可唯一确定一平面. 如何验证？如何求？

解:由于M1M2×MM3 =(-3,4,-6)x(-2,3,-1)=3 3-6 J43k + 3-1 =14+9j-k=(14,9,-1)≠0 故M12M2M3不共线且方=M1M2×M1M3 为所求平面之法向

解：由于 M1 M2  M1 M3 =(−3, 4, −6)(−2, 3, −1) 2 3 1 3 4 6 − − = − − i j k i j k 2 3 3 4 2 1 3 6 3 1 4 6 − − + − − − − − − − = = 14i + 9 j − k =(14, 9, −1) 0. 故 M1 , M2 , M3 不共线. 为所求平面之法向. 且n = M1 M2  M1 M3

故得平面方程为: (x-x y-11,2-21)n 14(x-2)+9(y+1)-(z-4) 14x+9y 5=0 或(x-x2,y-y2,z-z2)n =14(x+1)+9(-3)-(2+2) =14x+9y-2-15=0

故得平面方程为： =14(x−2)+9(y+1) −(z−4) =14 x+9 y− z−1 5= 0, 或 =14(x+1)+9(y − 3) −( z+2) =1 4 x+9 y－z−1 5 = 0. (x−x1 , y−y1 , z−z1 )n (x−x2 , y−y2 , z−z2 )n