湖南大学：《线性代数》复习

定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数 例如排列32514中, 001 32⑤1 逆序数为3 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5

定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 1 逆序数为3 0 0 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5

二、n阶行列式的定义 定义由n2个数组成的n阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和∑(-1ya1n2n n 12 n 记作D=22…2n 2 n1 简记作dea)数a称为行列式dea)的元素

二、n阶行列式的定义 n n nn n n p p np t a a a a a a a a a D a a a n n n n        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) . 1 2 =  − 记 作 的代数和 取自不同行不同列的 个元素的乘积 定义 由 个数组成的 阶行列式等于所有 det( ). 简记作 aij 数 aij 称为行列式det(aij)的元素．

12 n 例2计算上三角行列式 0 22 2n 00 (-1) (12…n 1122 nn 22

例2 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1 ( ) ( ) nn t n a a a  11 22 12 = −1 . = a11a22 ann

同理可得下三角行列式 00 14 21 0 22 2 n3 22··D

同理可得下三角行列式 an an an ann a a a     1 2 3 21 22 11 0 0 0 0 0 . 11 22 nn = a a a

行列式的性质 11u12 21 2122 12 22 2 D D n n2 In n 行列式D称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 说明行列式中行与列具有同等的地位因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立

一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a  22 11    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a a D =    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a  22 11 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立

性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 证明设行列式 n D.=121b2…b n 2 是由行列式D=det(an)变换两行得到的 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则 此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D, D=0

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 21 22 2 11 12 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D     = 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有  D = 0. D = −D

性质4行列式中如果有两行(列)元素成比 例,则此行列式为零 证明 In 11 In k 0. 1 ke 2 l1 n 2 n2

性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a        1 2 1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k        1 2 1 2 1 2 11 12 1 = = 0

性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和 11 12 n 例如D=212 2i 2n n2 :+a n 则D等于下列两个行列式之和: In D 21 2 2n 21 2n 十 nn

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D           ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 +  +  +  = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D                        = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如

性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行 列式不变 n 例如 21 (a1+ka1) lj 21 ri+rrj: (atka La: + ka n

性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr              ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k  例如

b 证明: =(a2+B2+2+d)2(a≠0 a b 左边 a×Gi1-aba-d al-ac ad -c b

a b c d b a d c c d a b d c b a a b c d − − − − − − = ( + + + ) 2 2 2 2 2 证 明 ： (a  0) 左 边 a c a a b c d ab a d c ac d a b ad c b a  − − − − − − 1 2 1