湖南大学：《线性代数》第三章 向量空间

大学数学(二) 第章 向量变间 脚本编写:曾金平刘楚中 课件制作:曾金平刘楚中

大学数学（二） 脚本编写：曾金平 刘楚中 课件制作：曾金平 刘楚中

§1空间向量及其线性运算 一、向量概念 1.向量:既有大小又有方向的量称为 向量(或矢量)

§1 空间向量及其线性运算 一、向量概念 1. 向量:既有大小, 又有方向的量, 称为 向量.(或矢量)

2.向量的几何表示法 用一条有方向的线段来表示向量, B 以线段的长度表示向量的大 小有向线段的方向表示向量 勺方向 以A为始点。B为终点的向量,记为 4B. 向量AB的大小叫做向量的模.记为 AB|,a,‖al,或者|AB,a,c

2. 向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大 小, 有向线段的方向表示向量 的方向. A B a  向量AB的大小叫做向量的模. 记为 以A为始点，B为终点的向量，记为 , → AB , → a . || ||, → AB || ||, → a || ||, | |, → 或者 AB | |, → a | |

特别 模为1的向量称为单位向量 >模为0的向量称为零向量, 它的方向可以看作是任意的

➢模为1的向量称为单位向量. ➢模为0的向量称为零向量， 它的方向可以看作是任意的. 特别

当向量与b大小相等且方向相同 称a与b相等.记作a=b b 3.自由向量 自由向量:只有大小、方向.而无特定起点的向 量,具有在空间中可以任意平移的性质

3. 自由向量 a  b  自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向 量. 具有在空间中可以任意平移的性质. a b,   当向量 与 大小相等且方向相同, 称a与b相等. 记作   a b   =

二、向量的加减法 1.定义11.向量加法 a/ a+6 (1)平行四边形法则 设有a、b(若起点不重合, 可平移至重合)作以可、b为 b 邻边的平行四边形对角线 向量,称为a与b的和,记作a+b

二、向量的加减法 1. 定义1.1. 向量加法 (1) 平行四边形法则 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为 邻边的平行四边形, 对角线 向量, 称为 的和, 记作 a b   、 a b  与 a b.   + a b   、 a b   + a  b 

(2)三角形法则 b 将ab之一平行移动使 a+b b的起点与a的终点重合,则由 a的起点到b的终点所引的向量 为a+b

(2) 三角形法则 a b   a +  b  将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量 为 a b   、 a  b  a  a b.   + b 

2.向量加法的运算规律 b bta (1)交换律 atb=bta a+b+c (2)结合律 atb +C (a+b)+C=a+(b+c)

2. 向量加法的运算规律. (1) 交换律: a b b a     + = + a b   + a  b  c  b c   + a b c    + + (2) 结合律: (a b) c a (b c)       + + = + + a  b  a  b  a b   + b a   +

例如 S=a1+a2+a3+a4

例如: a1 a2 a3 a4 s      = + + + s  a1  2 a  3 a  4 a 

3.向量减法 (1)负向量:与a模相同而方向相反的向量, 称为a的负向量记作一 (2)向量减法 规定:a-b=a+(-b)

3. 向量减法. (1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作 a  a  a.  − a  − a  (2) 向量减法. 规定: a b a ( b)     − = + −