中山大学：《数学分析》第十二章 函数项级数

第十二章函数项级数 重点:级数的一致收敛 §121函数序列的一致收敛收敛概念 §12.1函数级数的一致收敛收敛概念 VE,BN,当n>N,Vx∈D Det S(x)-S(x)N,x∈D Sn(x)-S(x0)≥6 致收敛判别法 Thl(柯西一致收敛准则)如“(x)致收敛E>0.3N,当n>M,Vp,Wx (x)<E 令 Th2(M一判别法) (x) a(x)≤an ∑a收敛→∑an(x)致收敛 例5 nn+1(-,1上一致收敛 例6 n在时()收敛∑计4在R上一致收敛 Ih3 Dirichlet)∑an(x)的部分和S1(x)一致有界v(x)单调趋于0 an(x)”n(x)一致收敛

1 第十二章函数项级数 重点：级数的一致收敛 §12.1 函数序列的一致收敛收敛概念 §12.1 函数级数的一致收敛收敛概念 Def   −       ( ) ( ) , , , S x S x N n N x D n 当 非一致收敛 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) , , , 0   −        S x S x N n N x D n 三．一致收敛判别法 Th1 （柯西一致收敛准则）   + ++         + + +  =  ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , , 1 2 1 a x a x a x a x N n N p x n n n p n n 一致收敛 当  令p → Th2 （M－判别法） 收敛 ( )一致收敛 ( ) ( ), 1 1 1 a a x a x a a x n n n n n n n n     =  =  =   例 5  + − + ) 1 ( 1 n x n x n n [-1,1]上一致收敛 例 6  n! x n 在[-a,a] (1)收敛  2 1＋4x x 在 R 上一致收敛 Th3 (Dirichilet) ( ) 1 a x n  n  = 的部分和 Sn(x)一致有界, vn(x)单调趋于 0, ( ) ( ) 1 a x v x n n  n  = 一致收敛

h4∑un(x)一致收敛,{va(x)单调,且在区间上一致有界 Vn(x)->v(x) Vn(x)->v(x) ∑un(x)n(x)=un(x)vn(x)-v(x)-(x∑un(x) 证明 不放设vn(x)单调趋于0, M≥v1(x)≥v2(x)≥……vn(x)≥……-M 2M≥v1(x)→>M≥v2(x)→M≥……≥Vn(x)+M2…20 VE>0,3N,当n>N时,vp n(x)+ln2(x)+……+ln+2(x)<E (x) E(V1(x)+M)<n1(x)(u1(x)+M)+……+ln+p(x)(v+p(x)+M)<E u, (x)vn(x)=2u (x)[vn(x)+MI 例7函数收敛∑"在6,2m-861上(0<8x)一致收敛 §12.1和函数的分析性质 连续性 2、可微性 3、可积性 2

2 Th4 ( ) 1 u x n  n  = 一致收敛，{vn(x)}单调，且在区间上一致有界 vn(x)－>v(x) vn(x)－>v(x) vn(x)－>v(x)  = − −   = ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) 1 u x v x u x v x v x v x u x n n n n n n 证明： 不放设 vn(x)单调趋于 0,    =  = + + + + + + + + + + + = + − +  + ++ +  −  + ++  + ++        →  →   +        − 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ( ) ) ( )( ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , n , 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n p n p n n n p n n n p n n u x v x u x v x M v x M u x u x M u x v x M u x u x u x u x u x u x N N p M v x M v x M v x M M v x v x v x M       当 时 例7 函数收敛   =1 sin n n nx 在[δ,2π-δ]上(0<δ<π)一致收敛 §12.1 和函数的分析性质 1、 连续性 2、 可微性； 3、 可积性