《线性代数》第四章 线性方程组（4.3）非齐次线性方程组

第三节非齐次线性方程组

第三节 非齐次线性方程组

对非齐次线性方程组 +a1x+…+a,x.=b 2x2+…+ 十an,2x+…+a X mnn A XX ≠0

对非齐次线性方程组 令 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           n m x b x b x b x b         = =                      1 1 2 2 ， 0

则原来的方程组可以表示为 Axb (2) 如果令 则原来的方程组也可以表示为 X1a X202 ■ +x.=b

则原来的方程组可以表示为 Ax=b （2） 如果令 则原来的方程组也可以表示为 x1a1+x2a2+…+xnan=b 1 2 ( 1,2, , ) j j j mj a a a j n a       = =        

称方程组 AX0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 、非齐次线性方程组有解的条件 B 22 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵

称方程组 Ax=0 为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方 程组。 一、非齐次线性方程组有解的条件 令 称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵。 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b B a a a b     =          

则下面的四种提法是等价的: 非齐次线性方程组(1)有解; 1)向量b能由向量组a1,a2,…an线性表示; Ⅲ向量组a1,a2,…an与向量组a1,a2,…an, b等价; MVR(A)ER(B) 即有下列定理成立 定理1非齐次线性方程组(1)有解的充分必要 条件是它的系数矩阵A与增广 矩阵B的秩相等

则下面的四种提法是等价的： I) 非齐次线性方程组（1）有解； II) 向量b能由向量组a1，a2，…an线性表示； III)向量组a1，a2，…an与向量组a1，a2，…an， b等价； IV) R（A）=R（B）。 即有下列定理成立 定理1 非齐次线性方程组（1）有解的充分必要 条件是它的系数矩阵A与增广 矩阵B的秩相等

若非齐次线性方程组(1)的 R(A)=R(B)=r>0, 不妨假设其前r行及前r列所构成的r阶主子式D≠0, 于是可得到非齐次线性方程组(1)的一个同 解方程组为 「a1x1+a12x2+…+anx=b1-a1x nn c21x1+a22x2+…+a 2r+1r+1 ∴一2nn ax taxt.tax=b=ax a x

若非齐次线性方程组（1）的 R（A）=R（B）=r＞0， 不妨假设其前r行及前r列所构成的r阶主子式D≠0， 于是可得到非齐次线性方程组（1）的一个同 解方程组为 11 1 12 2 1 1 1, 1 1 1 21 1 22 2 2 2 2, 1 1 2 1 1 2 2 , 1 1 r r r r n n r r r r n n r r rr r r r r r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x + + + + + +  + + + = − − −   + + + = − − −    + + + = − − − 

用克莱姆法则可解此方程组。 X位DD,x2=D2D,…,xF=D/D, r+1=r+1 nn 定理2如果非齐次线性方程组(1)有解,则当 它的系数矩阵的秩rn时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解;当它的系数矩阵的秩r<n时, 非齐次线性方程组(1)有无穷多个解

用克莱姆法则可解此方程组。 x1=D1 /D ，x2=D2 /D ，…，xr=Dr /D， xr+1= xr+1，…，xn =xn 定理2 如果非齐次线性方程组（1）有解，则当 它的系数矩阵的秩r=n时，非齐次线性方程组 （1）有唯一解；当它的系数矩阵的秩r＜n时， 非齐次线性方程组（1）有无穷多个解

例1问入为何值时,线性方程组 ax, tx+x +hx tx=n +x2+ 有解;有唯一解;有无穷多个解? 解此线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵B分 别 为: 11 A=1x1,B=1x1元 11x

例1 问λ为何值时，线性方程组 有解；有唯一解；有无穷多个解？ 解 此线性方程组的系数矩阵A与增广矩阵B分 别 为： 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 x x x 1 x x x x x x       + + =   + + =   + + = 2 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 A B                 = =            

由于 λ1|=(2-13(+2) 当λ≠1,λ≠-2时,R(A)=R(B)=3, 这时线性方程组有唯一解 当λ=1时,R(A)=R(B)=1<3,这时线 性方程组有无穷多个解; 当λ=-2时,R(A)=2#R(B)=3,此时线 性方程组无解

由于 当λ≠1，λ≠-2时，R（A）=R（B）=3， 这时线性方程组有唯一解； 当λ=1时，R（A）=R（B）=1＜3，这时线 性方程组有无穷多个解； 当λ=-2时，R（A）=2≠R（B）=3，此时线 性方程组无解。 2 1 1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 A      = = − +

此题也可将增广矩阵进行初等行变换,讨 论系数矩阵与增广矩阵的秩的关系,从而 得到其解的情况。 12 2<)r 72-7i B=1412 → 1212 1222 2-入r 22 乃+n 02-11-2-2 01-21-21-23

此题也可将增广矩阵进行初等行变换，讨 论系数矩阵与增广矩阵的秩的关系，从而 得到其解的情况。 3 1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 r r r r r r r r B                      − − +         =                 − − −     − − −   → → →