《线性代数》第二章 矩阵（2.4）逆矩阵

第四节逆矩阵

第四节 逆矩阵

逆矩阵的定义 定义对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,使 得 AB=BA=E。 则称矩阵A是可逆的,并把方阵B称为A的 逆阵( inverse matrix)

一、逆矩阵的定义 定义 对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B, 使 得 AB=BA=E。 则称矩阵A是可逆的，并把方阵B称为A的 逆阵(inverse matrix)

逆矩阵的初等性质: 1)如果A是可逆的,则A的逆阵是唯一的。 这是因为:设B、C都是A的逆阵,则有 B=BE=B(AC(BA)C=EC=C 所以A的逆阵是唯一的。以后,我们就记 此唯一的逆阵为A-1。 2)当A可逆时, AA-1=A-1AEE

逆矩阵的初等性质: 1.) 如果A是可逆的，则A的逆阵是唯一的。 这是因为：设B、C都是A的逆阵，则有 B=BE=B(AC)= (BA)C=EC=C， 所以A的逆阵是唯一的。以后，我们就记 此唯一的逆阵为A−1 。 2.) 当A可逆时, AA−1=A−1A=E

、矩阵A可逆的充要条件 定理1若方阵A可逆,则A|≠0。 证明A可逆,即有A的逆矩阵A1,使得AA1= E。故AA-1=AA-1==1,所以|A|≠0。 定理2若|A|≠0,则方阵A可逆,且 A 其中A为方阵A的伴随阵:

二、矩阵A可逆的充要条件 定理1 若方阵A可逆，则|A|  0 。 证明 A可逆，即有A的逆矩阵A−1 ，使得AA−1 = E。故|A|A−1 |=|A||A−1 | = |E| = 1，所以|A|  0。 定理2 若|A|  0，则方阵A可逆，且 其中A*为方阵A的伴随阵: 1 1 A , | | A A −  =

21 *A 21 22 2n

11 21 1 21 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A      =          

证明:设A=(an),记AA'=(bn),则 b= a Ai+ aj2Ai2+. ainAin=Al8 故A=(A|S1)=A|(81)=AE 类似地, AA=AE 其中 0i≠ 故 A-4 A=E

证明: 设A =（aij），记AA* =（bij），则 bij = ai1Aj1+ ai2Aj2++ ainAjn = |A|ij， 故 AA* =（|A|ij）= |A|（ij）= |A| E 。 类似地， A*A = |A| E 。 其中 故 1 0 ij i j i j   = =    1 1 | | | | A A A A E A A   = =

定义如果n阶方阵A的行列式detA≠0,则称 A为非奇异( nonsingular)矩阵(或称为非退化 ( nondegenerate)矩阵),否则称A是奇异矩阵 (或称为退化矩阵)。由上面的两个定理可知: 定理3(可逆的充分必要条件)A是可逆矩阵 的充分必要条件是|A|≠0。即可逆方阵就是非 奇异方阵

❖ 定义 如果n阶方阵A的行列式det A  0，则称 A为非奇异(nonsingular)矩阵（或称为非退化 (nondegenerate)矩阵），否则称A是奇异矩阵 （或称为退化矩阵）。由上面的两个定理可知： ❖ 定理3 （可逆的充分必要条件）A是可逆矩阵 的充分必要条件是|A|  0。即可逆方阵就是非 奇异方阵

推论:若AB=E(或BA=E),则B=A-1。 方阵的逆阵满足下述运算规律: 冷a若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A; b若A可逆,λ≠0,则入A可逆,且 令C若A、B是同阶方阵且均可逆,则AB也可逆, 且(AB)1=BA-1; 证明:(AB)B1A1)=A(BBA1=AEA1=E, 由推论知结论成立。 令d若A可逆,则A'可逆,且(A)1=(A-1)。 证明A'A-1)′=(A-1A)′=E=E,由推论知 结论成立

❖ 推论: 若AB=E（或BA=E），则B=A−1 。 方阵的逆阵满足下述运算规律： ❖ a)若A可逆， 则A−1也可逆，且（A−1）−1 = A； ❖ b)若A可逆，  0 ，则A可逆，且 ❖ c)若A、B是同阶方阵且均可逆，则AB也可逆， 且(AB)−1 = B−1A−1； 证明 :(AB)( B−1 A−1 ) = A(BB−1 )A−1=AEA−1=E， 由推论知结论成立。 ❖ d)若A可逆，则A可逆，且(A) −1 = (A−1 )  。 证明 A (A−1 )  = (A−1A)  = E = E，由推论知 结论成立

例1判定矩阵 0 是否可逆。若可逆,求出其逆矩阵。 解由于 detA=2-10|=-4≠0 10 故A可逆

例1 判定矩阵 是否可逆。若可逆，求出其逆矩阵。 解 由于 故A可逆. 1 1 1 2 1 0 1 0 1 A   −   = −       1 1 1 det 2 1 0 4 0 1 0 1 A − = − = − 

01 10 22 32 2 20 A13 3 33

11 21 31 12 22 32 13 23 33 1 0 1 1 1, 1, 0 1 0 1 1 1 2 0 1, 2, 1 0 1 1 1 1 1 1 2, 2, 1 1 2 0 2 1 1 1 1, 1, 1 0 1 0 1 1 3 , 2 1 A A A A A A A A A − − = = − = − = − − = = − = − = − − − − = = = − = − − = = = − = = = − −