《线性代数》第一章 行列式（1.3）行列式的性质

第三节行列式的性质 从行列式的定义我们可以看出,要利用 行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦 的,因为它要涉及到n!项的和,而且每一项 均为n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的 一些基本性质,以后我们计算行列式的值主 要是采用本节的性质将行列式化为上三角形 式或下三角形式,然后利用第二节的例2的到 行列式的值

第三节 行列式的性质 从行列式的定义我们可以看出，要利用 行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦 的，因为它要涉及到n!项的和，而且每一项 均为n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的 一些基本性质，以后我们计算行列式的值主 要是采用本节的性质将行列式化为上三角形 式或下三角形式，然后利用第二节的例2的到 行列式的值

定理1n阶行列式的值也可以定义为 D=∑(-1) 1q2 qnq2…qn 其中t为排列q192…9的逆序数。 证:按行列式的定义我们有 D=∑(-1) P1"2P2 pp2…P 记 1) 1a,2 q1q2…qn 对行列式的任一项(1)an2nam…am…am, 其中行标排列为标准顺序排列12 n,而t为 列标排列PP2…p…p…P,的逆序数。如果我们记t为

定理1 n阶行列式的值也可以定义为 其中t 为排列 的逆序数。 (-1) 1 2 n 1 2 q q q 1 2 t =  D aq aq aqn n q1 q2 qn 证：按行列式的定义我们有 (-1) 1 2 n 1 2 p p p 1 2 t =  p p  npn D a a a 记 (-1) 1 2 n 1 2 q q q 1 2 t 1 =  D aq aq aqn n 对行列式的任一项 i j npn a p a p ai p aj p a 1 1 2 2 t (-1) ， 其中行标排列为标准顺序排列12…i…j…n，而t 为 列标排列 p1 p2  pi  pj  pn 的逆序数。如果我们记t为

行标排列和列标排列的逆序数之和,则 1)a P12p2 amn=(1)a,n,a P2in∴"amp…a 我们把元素am和am对换一下,得到 P1"2P2 。在作这一变换的过程中 行标排列由12.…n变为12…….n,其逆序数 的奇偶性发生了改变同时,列标排列由PP2p…P… 变为PP2…p…P…P,其逆序数的奇偶性也改变了,因 此,若记t"为对换后的行标排列和列标排列的逆序数 的和,则t的奇偶性和t的奇偶性相同。所以我们有 P12p2 (-1)a1 P12p2ainp.…a

行标排列和列标排列的逆序数之和，则 i j n i j npn a p a p ai p aj p anp a p a p ai p aj p a 1 2 ' 1 2 1 2 t 1 2 t (-1) = (-1) 我们把元素 aipi 和 ajpj 对换一下，得到 j i npn a p a p aj p ai p a 1 2 ' 1 2 t (-1) 。在作这一变换的过程中， 行标排列由12…i…j…n变为12…j…i…n，其逆序数 的奇偶性发生了改变；同时，列标排列由 变为 ，其逆序数的奇偶性也改变了，因 此，若记t为对换后的行标排列和列标排列的逆序数 的和，则t的奇偶性和t的奇偶性相同。所以我们有 p1 p2  pi  pj  pn p1 p2  pj  pi  pn i j n j i npn a p a p ai p aj p anp a p a p aj p ai p a 1 2 '' 1 2 ' 1 2 t 1 2 t (-1) = (-1)

经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此。于是,经过若干次对换,使得:列标排列 P1P2PiPi'p(逆序数为t)变为标准排列(逆序数为 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 设此排列为99,实逆序数为s,则有 (1)a,,a p2 qnn 若=j,则P=i(即an==a)可见排列442q 是由排列PP2P…P雕一确定的。 因此,D中任一项(-1)an42n2…am…am…am,总 有且仅有D中的某一项(1)an12…4与之对应并相 等。而显然和的项数是相等的,因此D和D1的项可

经过一次对换结果如此，经过多次对换结果当然 还是如此。于是，经过若干次对换，使得：列标排列 p1 p2  pi  pj  p （逆序数为 n t）变为标准排列（逆序数为 0）；行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列， 设此排列为 q1 q2 ，其逆序数为 qn s，则有 a p a p ai pi aj pj anpn aq 1 aq 2aqn n s 1 2 t 1 2 1 2 ' (-1) = (-1) 若 pi = j ，则 p j = i （即 aipi = aij = aq j j ）可见排列 是由排列 唯一确定的。 q1 q2 qn p1 p2  pi  pj  pn 因此， 中任一项 i j npn a p a p ai p aj p a 1 1 2 2 t (-1) ，总 有且仅有 D1 中的某一项 aq 1 aq 2 aqn n s 1 2 (-1) (-1) a a a q11 q2 2 qn s  n 与之对应并相 等。而显然和的项数是相等的，因此 和 的项可 D D D1

以一一对应并且相等,从而D=D。 记 12 C C D 22 12 22 2 nn 称D为行列式D的转置行列式。 性质1行列式D和它的转置行列式D相等。 证:记行列式D的转置行列式D为

以一一对应并且相等，从而 D = D1 。 记 n n nn n n a a a a a a a a a D        1 2 21 22 2 11 12 1 = n n n n n n a a a a a a a a a D        1 2 12 22 2 11 21 1 ' = 称D为行列式D的转置行列式。 性质1 行列式D和它的转置行列式D相等。 证： 记行列式D的转置行列式D为

I 11 12 D 12 2 按定义 ∑(-1)bnb2n…bm=∑←1) P1 Ip2 2 pnn pIp2"pn pIp2"pn 而由定理1,上式右边就是D,即D=D 由性质1可知,行列式中行和列的地位是完全 样的。凡是对行成立的性质,对列也有同样的结论。 由第二节例2知道下三角行列式(即主对角线以 上的元素全部为0的值等于主对角线上的元素的乘积

n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a D               1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ' = = 即 bij = a ji , 按定义 D' (-1) b b b (-1) 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 p p p p p p 1 2 t 1p 2p np t     ＝  ＝ ap ap apn n 而由定理1，上式右边就是D，即D＝D 。 由性质1可知，行列式中行和列的地位是完全一 样的。凡是对行成立的性质，对列也有同样的结论。 由第二节例2知道下三角行列式（即主对角线以 上的元素全部为0的值等于主对角线上的元素的乘积

因此由性质1知道上三角行列式(即主对角线以下的 元素全部为0)的值也等于其主对角线的元素的乘积。 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号。 证:设行列式 是由行列式D=dea)交换第i,j两行得到的,即当 k=i,j时,bn=am,bn=an,而当k不等于i,j时

因此由性质1知道上三角行列式（即主对角线以下的 元素全部为0）的值也等于其主对角线的元素的乘积。 ） 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 证：设行列式 n n n n n n b b b b b b b b b D        1 2 21 22 2 11 12 1 1 = 是由行列式 交换第i, j两行得到的，即当 k＝i, j时， , 而当k不等于i，j 时， det( ) D = aij bi p = aj p bj p = ai p

于是 D epip p1p2…Pn pi 2 p2 P P1p2"pn a P1"2p2 api P1p2.pr 其中12i.小.n为标准排列,t为排列PBPP 的逆序数。设排列PP2…P…P…P2的逆序数为t1, (-1)=-(-1)因此 P1"2p2 P1p2.p

bkp = akp 。于是 D (-1) b b b b b 1 2 n 1 2 i j n p p p 1 p 2 p i p j p n p t 1  ＝     1 2 n 1 2 p p p 1 2 t (-1)   j  i  n p p j p i p np ＝ a a a a a  1 2 n 1 2 p p p 1 2 t (-1)   i  j  n p p i p j p np ＝ a a a a a 其中12…i…j…n为标准排列，t 为排列 p1 p2  pi  pj  pn 的逆序数。设排列 p1 p2  pj  pi  pn 的逆序数为t1， ( 1) ( 1) , 1 t t − = − − 因此 0 p p p 1 2 t 1 1 2 n 1 2 1 D (-1) a a a a a D i j n  p p i p j p n p = −  ＝   

以表示行列式的第(row),以c表示行列式的 第冽列( column)。交换第i,j行记作←>。交换l m列记作C<C。 推论若行列式有两行(列)完全相同,则此行 列式的值为0。 证:交换这两行,则D=-D,故D=0。 性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘 以同一个数入,等于用数λ乘上此行列式。即 a1 12 2 2 in=nD 2

以 ri 表示行列式的第i行（row），以 ci 表示行列式的 第i列（column）。交换第i , j行记作 。交换l， m列记作 。 i j r  r i j c  c 推论 若行列式有两行（列）完全相同，则此行 列式的值为0。 证：交换这两行，则D＝－D，故D＝0。 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一个数，等于用数乘上此行列式。即 。 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 D a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n i i i n n n n n n i i i n n    =  =               

第i行(或列)乘以入,记作×(或C1×4)。 推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因 子可以提到行列式的符号外面。第i行(或列)提出 公因子,记作÷(或C1÷) 由性质2的推论和性质3的推论可知 性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为0 性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数 的和,例如第i列的元素都是两数之和:

第i行（或列）乘以，记作 ri  （或 ci  ）。 推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因 子可以提到行列式的符号外面。第i行（或列）提出 公因子，记作 （或 ）。 由性质2的推论和性质3的推论可知 ri  ci  性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为0。 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数 的和，例如第i列的元素都是两数之和：