《突变函数》课程教学资源（讲义）第三章 可测函数（3.1）可测函数的基本性质

第三章可测函数 在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生 了可测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的我们将看到可测函数是一类很广泛的函数特别地,欧氏空间R”上的 Lebesgue可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我 们在讨论积分的时候更加便利 本章§3.1和§32讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性.§33在欧 氏空间R"上讨论可测函数与连续函数的联系 §3.1可测函数的基本性质 教学目的定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集为用 测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可测 的.由此产生了可测函数的概念本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 本节要点可测函数有不同的等价定义可测函数是一类很广泛的函数 并且有很好的运算封闭性.可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近 这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有重要 应用 本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于R的广义实值函数,取值于R 的函数仍称为实值函数.在§21我们已给出可测空间的定义这里回顾一下.称二元组 合(X,分)为一可测空间,若X是一个非空集,牙是X上的σ一代数.称中的集为 丌-可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义1设(X,)为一可测空间,E是一个可测集.∫E→R为定义在E上的 函数.若对任意实数a,总有 x∈E:f(x)<a}∈丌, (图1-1是X=R时的示意图)则称∫为E上的可测函数(简称为E上的可测函数) 特别地,X上的可测函数也称为可测空间(X,)上的可测函数(X,)上的可测函数

73 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生 了可测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的.我们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我 们在讨论积分的时候更加便利. 本章 3.1 和 3.2 讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. 3.3 在欧 氏空间 n R 上讨论可测函数与连续函数的联系. 3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为用 测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可测 的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要 应用. 本节和以后若无特别申明, 函数 一词均指取值于 ∗ R 的广义实值函数, 取值于 1 R 的函数仍称为实值函数. 在 2.1 我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组 合 (X , F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ − 代数. 称F 中的集为 F -可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义 1 设 (X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → ∗ R 为定义在 E 上的 函数. 若对任意实数 a, 总有 {x ∈ E : f (x) < a}∈F , (图 1 1 是 1 X = R 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数). 特别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数

和非负可测函数的全体分别记为M(X,)和M(X,) R f(x) E {x:f(x)c {x:f(x)<a}= ②若

74 和非负可测函数的全体分别记为 M (X , F ) 和 M ( X , F ). + 图 1 1 注 1 设 (X , F ) 为一可测空间 , E 是一个可测集 . 容易知道 F = {A : A ⊂ E, A∈F } E 是一个σ − 代数. 因此( , ) E FE 是一个可测空间. 显然 f 是 E 上的可测函数当且仅当 f 是可测空间 ( , ) E FE 上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数 的性质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数. 特别地, 若可测空间(X , F ) 取为是 n R 上的 Lebesgue 可测空间( , ( )) n n R M R , E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Lebesgue 可测函数. 类似地, 若可测 空间(X , F ) 取为是 n R 上的 Borel 可空间( , ( )) n n R B R , E 是 n R 中的 Borel 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Borel 可测函数. 因此按定义, f 是 E 上的 Lebesgue 可测函数(或者 Borel 可测函数), 若对任意实数 a, {x ∈ E : f (x) < = . { : ( ) } a c X a c x f x a 若 若 X 1 R f (x) a E1 1 2 {x : f (x) < a} = E ∪ E E2 1 4 23 142 3

由于X和必都是可测集,故对任意实数a,总有{x:f(x)R是定义在X上的函数则以下(1)(4) (1)∫是可测函数 (2)对任意实数a,{x:f(x)≤a}∈界 (3).对任意实数a,{x:f(x)>a}∈ (4).对任意实数a,{x:f(x)≥a}∈ 此外,上面的()-(4)蕴涵 (5)对任意B∈(R),f-(B)∈ 若∫是实值函数,则(1)(5)是等价的 证明(1)→(2).因为∫可测故对任意实数a,{x:f(x)a}={x:f(x)≤a}∈ (3)→(4)这是因为 x:f(x)≥a}=∩{x:f(x)>a-}∈J (4)→(1).这是因为 x:f(x)<a}={x:f(x)≥a}∈丌 因此,(1)(4)是等价的为证(1)(4)蕴涵(5),我们证明(2)→(5)

75 由于 X 和∅ 都是可测集, 故对任意实数 a, 总有{x : f (x) a}∈F . (4). 对任意实数 a, {x : f (x) ≥ a}∈F . 此外, 上面的(1) (4)蕴涵 (5). 对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 则(1) (5)是等价的. 证明 (1)⇒(2). 因为 f 可测,故对任意实数 a,{x : f (x) } = { : ( ) ≤ } ∈F . c x f x a x f x a (3)⇒(4).这是因为 } . 1 { : ( ) } { : ( ) 1 ≥ = > − ∈F ∞ = I n n x f x a x f x a (4)⇒(1). 这是因为 { : ( ) < } = { : ( ) ≥ } ∈F . c x f x a x f x a 因此, (1) (4)是等价的. 为证(1) (4)蕴涵(5), 我们证明(2)⇒(5)

(2)→(5)令A={AcR:f(4)∈丌}.利用逆像的性质 f(An=U/-(A,), f-(4°)=(f(A) 容易证明是一个σ-代数.又令C是直线上左开右闭区间的全体容易证明 σ(C)=(R)(见第一章习题第42题)对任意左开右闭区间(a,b,我们有 f(a,b])={x:f(x)≤b}-{:f(x)≤a}∈ 故CcA,从而(R)=(C)cA,这表明对任意B∈(R),f-(B)∈丌 若∫是实值函数,我们还有 (5)→(1)设∫是实值函数.由于(-∞,a)是 Borel集,因此 {x:f(x)≤a}=f-(-∞,a)∈ 设∫是可测函数由于单点集{a}(a是实数)是 Borel集,因此由定理2(5)知道 {x:f(x)=a}=f-({a})是可测集同理,以下几个集也是可测的 {x:an,故{x:f(x)=+∞}是可测集.同理, {x:f(x)=-∞}也是可测集 可测函数的运算封闭性下面我们讨论可测函数类的运算封闭性为此,先对广义实 值函数的运算作一些规定.设∫和g是定义在X上的广义实值函数定义 f(x)+g(x)若右端有意义 f+g(x) 若f(x)=±,g(x)=千∝ (∫vgx)=max{f(x),g(x)},(f∧g)(x)=min{f(x),g(x)} 又设{fn}是一列广义实值函数定义 (sup f)(x)=supf,(),(limf)(x)=lim f,(x) 类似可定义函数店,cf(c是实数)itf和im厂等 设∫是定义在X上的函数.令 r-={(3若(0)20 若f(x)≥0 若f(x)<0. f(x)若f(x)<0

76 (2)⇒(5).令 { : ( ) } 1 1 A = ⊂ ∈F − A R f A . 利用逆像的性质 ( ) ( ), 1 1 1 1 U U ∞ = − ∞ = − = n n n f An f A ( ) ( ( )) , 1 c 1 c f A f A − − = 容易证明 A 是一个 σ − 代数. 又令C 是直线上左开右闭区间的全体. 容易证明 σ (C ) = ( ) 1 B R (见第一章习题第 42 题). 对任意左开右闭区间(a,b], 我们有 (( , ]) { : ( ) } {: ( ) } . 1 = ≤ − ≤ ∈F − f a b x f x b f x a 故C ⊂ A , 从而 ( ) 1 B R =σ (C ) ⊂ A . 这表明对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 我们还有 (5)⇒ (1).设 f 是实值函数. 由于(−∞,a) 是 Borel 集, 因此 { : ( ) } (( , )) . 1 ≤ = −∞ ∈F − x f x a f a 设 f 是可测函数. 由于单点集{a} ( a 是实数)是 Borel 集, 因此由定理 2(5)知道 { : ( ) } ({ }) 1 x f x a f a − = = 是可测集. 同理, 以下几个集也是可测的: { : ( ) }, { : ( ) }. { : ( ) }, { : ( ) }, x a f x b x a f x b x a f x b x a f x b n x f x x f x n 故 {x : f (x) = +∞} 是可测集. 同理, {x : f (x) = −∞}也是可测集. 可测函数的运算封闭性 下面我们讨论可测函数类的运算封闭性. 为此, 先对广义实 值函数的运算作一些规定. 设 f 和 g 是定义在 X 上的广义实值函数. 定义    = ±∞ = ∞ + + = . 0 ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )( ) f x g x m f x g x f g x 若 若右端有意义 ( f ∨ g)(x) = max{ f (x), g(x)}, ( f ∧ g)(x) = min{ f (x), g(x)}. 又设{ }n f 是一列广义实值函数. 定义 (sup )( ) sup ( ), 1 1 f x f x n n n n≥ ≥ = (lim f )(x) lim f (x), n n n n→∞ →∞ = 类似可定义函数 fg, cf ( c 是实数), n n f f 1 , inf ≥ 和 n n f →∞ lim 等. 设 f 是定义在 X 上的函数. 令    < ≥ = + 0 ( ) 0. ( ) ( ) 0 f x f x f x f 若 若    − < ≥ = − ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 f x f x f x f 若 若

分别称函数∫和∫为∫的正部和负部(图1-2)f+和∫都是非负值函数,并且成立 等式 f-f,f=f*+f f(x) ∫(x) f(x) 图 为简单计,我们以后将集{x:f(x)<a}简写成{∫<a},将集{x:f(x)≤g(x)}简 写成{∫≤g}等等 定理3设∫和g是两个可测函数则函数(c是实数)f+g,/,团f,fg 和∫∧g都是可测函数 证明(1)若c=0,则Cf≡0.此时Cf当然是可测函数当c≠0时,对任意实数 {f<2}若 若c<0 等式右边的集都是可测集.因此cf是可测函数 (2)先设∫和g不取异号∞为值.设{rn}是有理数的全体.由于∫+g<a当且仅 当存在rn使得∫<并且g<a-rn因此 f+ga=UC<rio(g<a-r)) 由上式∫和g的可测性知道{∫+g<a}是可测集.因此∫+g是可测函数.再考虑一般 情形.令

77 分别称函数 + f 和 − f 为 f 的正部和负部(图 1 2). + f 和 − f 都是非负值函数, 并且成立 等式 , . + − + − f = f − f f = f + f 图 1 2 为简单计, 我们以后将集{x : f (x) < = { } 0. { } 0 { } c c a f c c a f cf a 若 若 等式右边的集都是可测集. 因此cf 是可测函数. (2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设{ }nr 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅 当存在 nr 使得 n f < r 并且 . n g < a − r 因此 { } ({ } { }). 1 U ∞ = + < = < ∩ < − n n n f g a f r g a r 由上式 f 和 g 的可测性知道{ f + g < a}是可测集. 因此 f + g 是可测函数. 再考虑一般 情形. 令 X Y f (x) O f (x) + f (x) −

A={f=+∞,g=-∞}{f 则A是可测集。我们有 ∫+g0 A∩{f+g-√a}若a≥0 若a0 4f(<a 若a≤0 x:(fg)(x)≤a}={x:f(x)≤a}∩{x:g(x)≤a}, {x:(f∧g)(x)≤a}={x:f(x)≤a}∪{x:g(x)≤a} 由此知道八,∫g和f入g都是可测函数■ 推论4若∫是可测函数则∫的正部∫和负部∫都是可测函数 证明容易知道∫=fv0,f=(-f)0.再由定理3即知推论成立 定理5设{fn}是一列可测函数则函数 sup f, inf f,, lim f和 lim f,都是可测 函数特别地,若对每个x∈X,极限limf(x)存在(有限或±∞)则 lim f,是可测函数 证明由于对任意实数a,我们有 supf≤a}=∩n≤a}, finf f≥a;}=∩n≥ 由此知 sup f和 inf f,都是可测函数.由于

78 A = { f = +∞, g = −∞}∪{ f = −∞, g = +∞}. 则 A 是可测集. 我们有 { f g a} (A { f g a}) (A { f g a}). c + ∩ + − ≥ − > < = 0. { } { } 0 { } a f a f a a f a 若 若 { : ( )( ) } { : ( ) } { : ( ) }. { : ( )( ) } { : ( ) } { : ( ) }, x f g x a x f x a x g x a x f g x a x f x a x g x a ∧ ≤ = ≤ ∪ ≤ ∨ ≤ = ≤ ∩ ≤ 由此知道 f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是可测函数. 推论 4 若 f 是可测函数,则 f 的正部 + f 和负部 − f 都是可测函数. 证明 容易知道 = ∨ 0, = (− ) ∨ 0. + − f f f f 再由定理 3 即知推论成立. 定理 5 设{ }n f 是一列可测函数. 则函数 n n sup f , n n inf f , n n lim f 和 n n lim f 都是可测 函数. 特别地, 若对每个 x ∈ X , 极限lim f (x) n n 存在(有限或 ± ∞ ), 则 n n lim f 是可测函数. 证明 由于对任意实数a , 我们有 {sup } { }, {inf } { }. 1 1 I I ∞ = ∞ = ≤ = ≤ ≥ = ≥ n n n n n n n n f a f a f a f a 由此知 n n sup f 和 n n inf f 都是可测函数. 由于

lim f, =inf sup fk, lim f, -=sup inf fk 因此知m,和m,都是可测函数■ 例5设∫是可测空间(X,T)上的实值可测函数,g是R上的连续函数则复合函 数h(x)=g((x)是(X,)上的可测函数 证明由例3知道g是R1上的 Borel可测函数,因此对任意 B∈B(R),g(B)∈B(R)由于f是可测的,由定理2,f(g-(B)∈J.因此 h(B)=f-(g-(B)∈.再次应用定理2知道h(x)是(X,)上的可测函数 以上定理和例5表明可测函数类具有较好的运算封闭性,这将使我们在讨论积分的 性质时十分便利 简单函数与可测函数 定义6设(X,)为一可测空间.称型如 f(x)=∑a1(x) 的函数为(X,丌)上的简单函数其中a12…an是实数,A1,…,An是互不不相交的可测集 并且X=(J,A 容易证明下面的定理7和定理8,其证明留作习题 定理7函数∫为简单函数当且仅当∫为只取有限个实值的可测函数 定理8设∫和g1都是简单函数则cf(c为实数)∫+g,/,团,Jg和 ∫∧g都是简单函数 设{fn}是一函数列.若对每个x∈X,总有∫n(x)≤fn(x),n≥1,则称{fn}是单 调增加的函数列,记为Jn个.类似地可以定义单调减少的函数列.设f(x)为一给定函数 若对每个x∈X,总有 lim f,(x)=f(x),则称{n}处处收敛于∫ 定理9设∫是一非负可测函数则存在单调增加的非负简单函数列{fn}处处收敛 于∫ 证明对每个n≥1,令 k f(x) 51(x)+m1≈m() (图1-3是示意图)由于∫是非负可测函数,故每个厂n是非负简单函数易知{fn}是单调 增加的.对任意x∈X,若f(x0)f(x0)时 0≤f(x0)-fn(x0)

79 n n lim f =inf sup , k k n n f ≥ n n lim f =supinf . k n k n f ≥ 因此知 n n lim f 和 n n lim f 都是可测函数. 例 5 设 f 是可测空间(X , F ) 上的实值可测函数, g 是 1 R 上的连续函数. 则复合函 数 h(x) = g( f (x)) 是(X , F ) 上的可测函数. 证 明 由 例 3 知 道 g 是 1 R 上 的 Borel 可测函数 , 因此对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ∈ − ( ) 1 g B ( ). 1 B R 由于 f 是可测的, 由定理 2, ∈ − − ( ( )) 1 1 f g B F . 因此 = − ( ) 1 h B ∈ − − ( ( )) 1 1 f g B F . 再次应用定理 2 知道h(x) 是(X , F ) 上的可测函数. . 以上定理和例 5 表明可测函数类具有较好的运算封闭性, 这将使我们在讨论积分的 性质时十分便利. 简单函数与可测函数 定义 6 设(X , F ) 为一可测空间. 称型如 ∑= = n i i A f x a I x i 1 ( ) ( ) 的函数为(X , F ) 上的简单函数. 其中 n a ,La 1 是实数, A An , , 1 L 是互不不相交的可测集, 并且 . U 1 n i X Ai = = 容易证明下面的定理 7 和定理 8 , 其证明留作习题. 定理 7 函数 f 为简单函数当且仅当 f 为只取有限个实值的可测函数. 定理 8 设 f 和 g1 都是简单函数. 则 cf (c 为实数), f + g , fg , f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是简单函数. 设{ }n f 是一函数列. 若对每个 x ∈ X , 总有 ( ) ( ), 1, f n x ≤ f n+1 x n ≥ 则称{ }n f 是单 调增加的函数列, 记为 f n ↑ . 类似地可以定义单调减少的函数列. 设 f (x) 为一给定函数. 若对每个 x ∈ X , 总有lim f (x) f (x), n n = 则称{ }n f 处处收敛于 f . 定理 9 设 f 是一非负可测函数. 则存在单调增加的非负简单函数列{ }n f 处处收敛 于 f . 证明 对每个n ≥ 1, 令 ∑= ≥ ≤ f x 时, . 2 1 0 ( ) ( ) 0 n 0 n ≤ f x − f x <

故 lim f(x0)=∫(x)若f(x0)=+∞,则∫n(x0)=n,n≥1.于是 lim f,(x0)=+∞ 此时也有1mJn(x0)=f(x0)因此{}处处收敛于 f(x) f(x) f<n}=E1∪E2 图1-3 注3由定理的证明可以看出,若∫还是有界的,则{fn}收敛于∫是一致的.事实上, 若0≤∫≤M,则当n≥M时,对任意x∈X,成立 0≤f(x)-f(x)≤1 此{n}在X上一致收敛于∫ 推论10设∫为可测函数.则存在简单函数列{fn}处处收敛于∫并且 Jfs|n≥1.若∫还是有界的,则上述收敛是一致的 证明由于∫可测,故f和都是非负可测函数由定理9,存在简单函数列 {8n}和{},使得8n个∫,hn↑∫.令fn=8n-hn,n≥1.由定理8知道{〃}是简 单函数列,并且 lim f,=lim(gn-hn)=∫+-∫-=f Jfl≤gn+h≤f+f-=|f 若∫是有界的,则∫和f都是有界的由注3知道{gn}和{n}分别一致收敛于 ∫和∫.因此{fn}一致收敛于∫ 推论11设∫为一给定函数.则∫为可测函数的充要条件是存在简单函数列{fn}处 处收敛于∫

80 故 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x n n = 若 ( ) , f x0 = +∞ 则 ( ) , 0 f x n n = n ≥ 1. 于是 lim ( ) . f n x0 = +∞ n 此时也有lim ( ) ( ). 0 0 f x f x n n = 因此{ }n f 处处收敛于 f . 图 1 3 注 3 由定理的证明可以看出, 若 f 还是有界的, 则{ }n f 收敛于 f 是一致的. 事实上, 若0 ≤ f ≤ M , 则当 n ≥ M 时, 对任意 x ∈ X , 成立 . 2 1 0 ( ) ( ) n n ≤ f x − f x ≤ 因此{ }n f 在 X 上一致收敛于 f . 推 论 10 设 f 为可测函数 . 则存在简单函数列 { }n f 处处收敛于 f 并 且 f ≤ f , n ≥ 1. n 若 f 还是有界的, 则上述收敛是一致的. 证明 由于 f 可测, 故 + − f 和f 都是非负可测函数. 由定理 9 , 存在简单函数列 { }n g 和{ }, n h 使得 , . + − g ↑ f h ↑ f n n 令 f = g − h , n ≥ 1. n n n 由定理 8 知道{ }n f 是简 单函数列, 并且 lim f lim(g h ) f f f . n n n n n = − = − = + − f g h f f f . n ≤ n + n ≤ + = + − 若 f 是有界的, 则 + − f 和f 都是有界的. 由注 3 知道{ }n g 和{ }n h 分别一致收敛于 + − f 和f . 因此{ }n f 一致收敛于 f . 推论 11 设 f 为一给定函数. 则 f 为可测函数的充要条件是存在简单函数列{ }n f 处 处收敛于 f . n k 2 −1 n 2 1 1 2 } 2 2 1 { E E k f k n n ≤ < = ∪ − n k 2 y n f (x) f (x) n n 2 2 x { { E1 E2 O

证明必要性由推论10即得由于简单函数是可测函数,可测函数列的极限是可测 函数,故充分性成立■ 定理9表明,一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近.而 般可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差.由于非负简单函数往往 较容易处理.因此定理9在研究可测函数的性质时是常常用到的推论11给出了可测函数 的一个构造性特征.这个构造性特征也可以作为可测函数的定义这两种定义是等价的 小结本节在抽象可测空间上定义了可测函数,讨论了可测函数的基本性质.可测 函数是一类很广泛的函数,并且有很好的运算封闭性本节还介绍了一类特殊的可测函数 即简单函数.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函 数,特别是在积分理论中有重要应用 习题习题三,第1题一第17题

81 证明 必要性由推论 10 即得. 由于简单函数是可测函数, 可测函数列的极限是可测 函数, 故充分性成立. 定理 9 表明, 一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近. 而一 般可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差. 由于非负简单函数往往 较容易处理.因此定理 9 在研究可测函数的性质时是常常用到的. 推论 11 给出了可测函数 的一个构造性特征. 这个构造性特征也可以作为可测函数的定义. 这两种定义是等价的. 小 结 本节在抽象可测空间上定义了可测函数, 讨论了可测函数的基本性质. 可测 函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 本节还介绍了一类特殊的可测函数, 即简单函数. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函 数, 特别是在积分理论中有重要应用. 习 题 习题三, 第 1 题 第 17 题