《线性代数》第二章 矩阵（2.5）综合例题

第五节综合例题

第五节 综合例题

例1设PAP=A, 10 其中P= ∧ 02 求A

1 11 , 1 4 1 0 , , 1 1 0 2 . P AP P A − =      − − − =  =         例1 设 其中 求

解直接演算可得 k 1)0 故∧ k 0211 且A=PAP- PAPPAP-1…PAP-=PAP 故A1=PAP-1 4(-1)}0(-1-4 1+2 4+2 4-2

11 11 11 1 1 1 1 1 1 11 11 11 1 11 13 13 11 11 ( 1) 0 ( 1) 0 , 0 2 0 2 , 1 4 1 4 ( 1) 0 1 1 1 1 0 2 1 1 2 4 2 . 3 1 2 4 2 k k k k k A P P P P P P P P P P A P P − − − − − − −     − −  =  =         =     =      − − − −   − =  =               + + =     − − − − 解 直接演算可得 故 且 故

注:设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amx A为n阶方阵,则称 f(a)=aoEn+a,A+a2A+.+a 为A的一个m次矩阵多项式。可以归纳证明 若PAP=∧为对角阵,则 f(a=Pf(mP

❖ 注： 设 A为n阶方阵，则称 为A的一个m次矩阵多项式。可以归纳证明 若 为对角阵，则 2 0 1 2 ( ) m m f x a a x a x a x = + + + + 2 0 1 2 ( ) m n m f A a E a A a A a A = + + + + 1 P AP − =  1 f A P f P ( ) ( ) − = 

当A 时,f(x)为多项式,则 00 f(1)0 0f(2): 0 f(A)= 0 f(an) 10 例2设A=021,求A 00A

1 0 2 , . 0 1 0 0 k A A        =       例 设 求 1 2 1 2 0 0 0 0 ， ( ) , 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) n n f x f f f f            =              =         当 时 为多项式 则

10)(A00)(010 解A=041 0元0+001 记为A+B 则可归纳得A=A+CAB+C2Ak-2B2+…+Bk (此处要用到数量矩阵A和任意同阶方阵可交换。) 且可直接得 B=001,B2=000,B3=000=O 000 000 000 所以A=A+CAB+C2A2B 1k-1 C22 k Cla k-1

1 1 2 2 2 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C C . 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k A B A B B B B B B       − −             = = + =        =  +  +  + +              = = =            记为 解 ＋ 则可归纳得 (此处要用到数量矩阵 和任意同阶方阵可交换。) 且可直接得 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 . C C C C = . 0 C 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k O A B B       − − − − − =  =  +  +        所以

10 当A=021时,f(x)为多项式则归纳得 00久 f()f()=f"(λ) f(A)=0f(4)f() 0 由此可解清华版6773题

1 0 0 1 ， ( ) , 0 0 1 ( ) '( ) "( ) 2 ( ) 0 ( ) '( ) 0 0 ( ) 67 73 f x f f f f f f f               =              =         当 时 为多项式 则归纳得 由此可解清华版 、 题

例3设n阶方阵A的伴随矩阵为A’,证明: (1)若|A|=0,则|A=0。 (2)|A|=|Ap-1 证明:由伴随矩阵的定义显然有 AAFAAFAEns 两边取行列式即得|A|A'=de(A|E)=|AP 故当A不等于0时,(2)是显然的。而 只要我们证明了(1),则(2)对于A=0 的矩阵A也是成立的。下面我们证明(1)

例3 设n阶方阵A的伴随矩阵为A* ,证明： （1）若|A|＝0，则| A* |＝0。 （2）| A* |＝|A|n－1 。 证明：由伴随矩阵的定义显然有 AA*= A*A=|A|En , 两边取行列式即得 |A||A* |=det(|A|En )＝|A|n , 故当|A|不等于0时，（2）是显然的。而 只要我们证明了（1），则（2）对于|A|＝0 的矩阵A也是成立的。下面我们证明（1）

令(反证法)假设则A≠0,则A可逆,于是在 AA'=AEn两边右乘(A)1,有 A=|AEn(A)-1=0(因为A|=0) 因此A的伴随矩阵A应该为O。与假设矛盾!

❖ (反证法）假设则| A* |≠0，则A*可逆，于是在 AA*=|A|En两边右乘(A* )－1 ,有 A＝ |A|En (A* )－1＝O（因为|A|＝0）， 因此A的伴随矩阵A*应该为O。与假设矛盾！

令例4设A为n阶方阵满足A2一A-2E=O, 证明A和A+2E均可逆,求它们的逆矩阵。 解由A2-A-2E=0易得 (A-EA=2E,即2(A-EA=E 故由逆矩阵的定义可得A可逆,且 A-E 类似可求得(A+2EA-3E)=-4E A+2E A-3E

❖ 例4 设A为n阶方阵满足A2－A－2E＝O， 证明A和A＋2E均可逆，求它们的逆矩阵。 解 由A2－A－2E＝O易得 (A－E)A=2E, 即 (A－E)A=E. 故由逆矩阵的定义可得A可逆，且 类似可求得(A＋2E)(A－3E)=－4E. 即 1 2 ( ) 1 1 2 A A E − = − ( ) ( ) 1 1 2 3 4 A E A E − + = − −