《线性代数》第四章 线性方程组（4.2）齐次线性方程组

第二节齐次线性 方程组 System of homogenous linear equations

第二节 齐次线性 方程组 System of homogenous linear equations

齐次线性方程组有非零解的条件 讨论齐次线性方程组 1x+a2x2+…+a1nxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 nn an1+m2x2+…+anxn=0

一、齐次线性方程组有非零解的条件 ❖ 讨论齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (1) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + =

若记 11 A x m2 则齐次线性方程组可表示为 AX0 其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵

❖ 若记 则 齐次线性方程组可表示为 Ax=0 (2) 其中矩阵A称为齐次线性方程组的系数矩阵。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           1 2 n x x x x     =          

令假设其系数矩阵的秩R(A)=r>0,为了方 便起见,不妨设 12 D 21 22 ≠0 2 由于上面假设D≠0,即系数矩阵A的前r列列向 量线性无关,因此经过有限次初等行变换可得 矩阵A的行最简形为

❖ 假设其系数矩阵的秩R（A）= r ＞0，为了方 便起见，不妨设 ❖ 由于上面假设D≠0，即系数矩阵A的前r列列向 量线性无关，因此经过有限次初等行变换可得 矩阵A的行最简形为 11 12 1 21 22 2 1 2 0 r r r r rr a a a a a a D a a a  

0 1.r+1 0 B r’,r+1 0 0 0 0

1, 1 1, , 1 , 1 0 0 1 0 0 0 0 r n r r r n c c c c B + +   − −   − − =  

由于A和B的行向量组等价,于是(1)与如下的 方程组同解: 1.r+1r+1 …+c X In (3) r、r+1r+1 …+C.X rn n 其中x+1,…,xn可取任意实数,称为自由未知 量

由于A和B的行向量组等价，于是（1）与如下的 方程组同解： 其中xr+1，…，xn可取任意实数，称为自由未知 量。 1 1, 1 1 1 , 1 1 (3) r r n n r r r r rn n x c x c x x c x c x + + + +  = + +    = + + 

由上面的讨论,我们可容易得到如下定理: 定理1齐次线性方程组(1),当它的系数矩阵 的秩rn时,只有零解;当它的系数矩阵的秩r<n 时,有无穷多个解。 我们还不难得到以下结论:齐次线性方程组总 有解;齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R (A)<n;当齐次线性方程组中m<n,齐次线性 方 程组有非零解。 并可得到下面的推论 推论n个变量n个方程的齐次线性方程组有非零解 的

由上面的讨论，我们可容易得到如下定理： 定理1 齐次线性方程组（1），当它的系数矩阵 的秩r=n时，只有零解；当它的系数矩阵的秩r＜n 时，有无穷多个解。 我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总 有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是R （A）＜n；当齐次线性方程组中m＜n，齐次线性 方 程组有非零解。 并可得到下面的推论 推论 n个变量n个方程的齐次线性方程组有非零解 的 充分必要条件是其系数行列式等于零

到现在为止,对于齐次线性方程组,我们已解 决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个 问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时,如 何描述它的所有的解呢?下面我们对解的情况 进行讨论,即讨论第三个问题

❖ 到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解 决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个 问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如 何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况 进行讨论，即讨论第三个问题

齐次线性方程组解的结构 若x1=51,x2=2 Xn=5n为齐次线性 方程组(1)的解,则称 X 11521, ,5n1为齐次线性方 程组(2)的解向量。 定理2设51,2为齐次线性方程组(2)的 两个解向量,则其线性组合k1+k22也是齐次 线性方程组(2)的解向量(K1,k2为任意实 数)。 证明这是因为A(k1+k2豆2)=k1A1+ 2AE2=0+0,故得证

二、齐次线性方程组解的结构 若x1=ξ11，x2=ξ21，…，xn=ξn1为齐次线性 方程组（1）的解，则称 x=(ξ11，ξ21，…，ξn1 )’ 为齐次线性方 程组（2）的解向量。 定理2 设ξ1，ξ2为齐次线性方程组（2）的 两个解向量，则其线性组合k1 ξ1+k2 ξ2也是齐次 线性方程组（2）的解向量（k1， k2为任意实 数）。 证明 这是因为A（k1 ξ1+k2 ξ2）= k1Aξ1+ k2Aξ2=0+0，故得证

令由此结论可知,所有齐次线性方程组(2)的解 向量的集合形成了一向量空间,此空间称为齐次 线性方程组(2)的解空间。而由此我们又想到, 如果我们找到了此解空间的基,便能将齐次线性 方程组(2)的解向量一并表示出来,我们将齐 次线性方程组(2)的解空间的基称为基础解系

❖ 由此结论可知，所有齐次线性方程组（2）的解 向量的集合形成了一向量空间，此空间称为齐次 线性方程组（2）的解空间。而由此我们又想到， 如果我们找到了此解空间的基，便能将齐次线性 方程组（2）的解向量一并表示出来，我们将齐 次线性方程组（2）的解空间的基称为基础解系