《线性代数》第五章 矩阵的相似对角化（5.3）约当（Jordan）标准形简介

第三节约当( Jordan 标准形简介

第三节 约当(Jordan) 标准形简介

上一节定理1说明,n阶矩阵A与对角阵相似的 充要条件是A有n个线性无关的特征向量。本节 说明当只有m(m<n)个线性无关的特征向量时, A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。 约当块和约当形矩阵 定义1形如

❖ 上一节定理1说明，n阶矩阵A与对角阵相似的 充要条件是A有n个线性无关的特征向量。本节 说明当只有m (m<n)个线性无关的特征向量时, A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。 一. 约当块和约当形矩阵 定义1 形如             = s 2 1 J J J J 

其中 叫做约当形矩阵,J叫做约当块。 当J=队1,J2=[2],…,Js=Dλs]都是一阶 约当块时,J为对角阵,所以对角阵为约当阵的特 例 A和约当形矩阵相似,即存在可逆阵P,使得

其中： 叫做约当形矩阵，Ji叫做约当块。 当J1 = [1]，J2 = [2]，…，Js = [s]都是一阶 约当块时，J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特 例。 A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵P，使得                = i i i i 1 1 J  

PAP=J= J中的显然是A的特征值,但当≠〕时,和为j可 能相等。然而,P中的列向量却并非都是A的特征向 量。 我们把与A相似的约当标准型矩阵称为A的约当标 准形。约当标准形的理论比较复杂,我们仅介绍这 个理论的要点(不作证明)和约当标准形的方法

Ji中的i显然是A的特征值，但当i  j时，i和j可 能相等。然而，P中的列向量却并非都是A的特征向 量。 我们把与A相似的约当标准型矩阵称为A的约当标 准形。约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这 个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法。             = = − s 2 1 1 J J J P AP J 

定义2如矩阵A=(a的元素是的多项式,就称 A为λ矩阵,记作A(久)。 例如A的特征矩阵入E-A是一个λ矩阵。 入矩阵也可以作初等变换,它的三种初等变换为: 1.矩阵的两行列)对换位置。 2.矩阵的某行(列)乘以非零常数; 3.矩阵的某行列)乘多项式p(加到另一行列 定义3矩阵A()经初等变换化为B(),称A)和 B(入)是相抵的,记作A(≌B()

定义2 如矩阵A = (aij)的元素aij是的多项式，就称 A为矩阵，记作A()。 例如A的特征矩阵E − A是一个矩阵。 矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为： 1. 矩阵的两行(列)对换位置。 2. 矩阵的某行(列)乘以非零常数； 3. 矩阵的某行(列)乘多项式()加到另一行(列)； 定义3 矩阵A()经初等变换化为B()，称A()和 B()是相抵的，记作A()≌B()

定理1任一个n阶矩阵A的特征矩阵A()=E一A都 相抵于一个对角形矩阵,即 A(入)=(E-A)三 D(^) dn(入) 且 Ak()=D() (k=1,2,…,n) (6 其中

定理1 任一个n阶矩阵A的特征矩阵A() = E − A都 相抵于一个对角形矩阵，即 且 其中 D( ) (5) d ( ) d ( ) d ( ) A( ) ( E A) n 2 1 =                  =  −   Ak () = Dk () (k =1，2，，n) （6）

d0)(i=1,2,…,n)是首一多项式(即的 最高次项系数为1); 2.di()|di+1(x)(即d+1(x)=q(0)d0),q(0)也 是入的多项式)(i=1,2,…,n) 3.Ak()和Dk分别表示A(和D()中全部k阶子 式的最高公因式 由定理的结论可知: Dk)=d1()d2(X)…dk(A),(7) k=1,2,……,n, D1()=D1(X)=A1() (8) Ak()=Dk()=Dk-1(X)dk(=AK-1(^)dk(^)

1. di()（i =1，2，…，n）是首一多项式（即的 最高次项系数为1）； 2. di()|di+1()（即di+1() =qi()di()，qi()也 是的多项式）（i=1，2，…，n） 3. Ak()和Dk()分别表示A()和D()中全部k阶子 式的最高公因式 由定理的结论可知： Dk() = d1()d2() … dk()， (7) k=1，2，…，n， D1() = D1()=A1() (8) Ak() = Dk()=Dk-1()dk()=Ak-1()dk()

所以dk()=Ak(x)Ak-1()k=1,2,…,n.(9) 由此可见,d1(λ),d2(),…,dn(A)是由A)=久E A唯一确定的,它们称为A-E的不变因子(简称为 A的不变因子)。由于An()=E-A|=Dn(A)是 的n次多项式,所以n个不变因子的次数和等于n 例3求三阶矩阵 10 a00 0 a 的特征矩阵()=AE-小的不变因子

所以 dk()=Ak()/Ak−1(),k=1,2,…,n. (9) 由此可见，d1()，d2()，…，dn()是由A()=E − A唯一确定的，它们称为A−E的不变因子（简称为 A的不变因子）。由于An() = |E − A |=Dn()是 的n次多项式，所以n个不变因子的次数和等于n 例3 求三阶矩阵 的特征矩阵J()=E − J的不变因子。           = 0 0 a 0 a 1 a 1 0 J

解[方法1]根据(8)式及(9)式dk(=Ak(Ak-1() 求不变因子。 先把 入-a 0 J()=(入E-J) 0入-a 0入-a 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来,然后 容易求得它们的最高公因式分别为: J1)=1,J2()=1,J3(^)=0-a)3 于是得J()的不变因子: d1()=J1()=1,d2()=J2()小J1(x) d3A)=3(2A)=0-a3

解 [方法1] 根据(8)式及(9)式dk()=Ak()/Ak-1() 求不变因子。 先把 的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后 容易求得它们的最高公因式分别为： J1()=1，J2()=1，J3()=(−a)3， 于是得J()的不变因子： d1()=J1()=1，d2()=J2()/J1()， d3()=J3()/J2()=(−a)3。            −  − −  − −  =  − = 0 0 a 0 a 1 a 1 0 J( ) ( E J)

防方法2]用初等变换,把J(A)=E一J化成(641)的 形式 10 (E-J)=0h-a 0入-a 10 C1+c2×(X-a) 0入-a 0 2+×(X-a) s→)0(-a)2 0 入-a

[方法2] 用初等变换，把J()=E − J化成(6.4.1)的 形式。            −  − −  − −  − = 0 0 a 0 a 1 a 1 0 ( E J)            −  −  − − − ⎯⎯+ ⎯ − ⎯→ 0 0 a ( a) a 1 0 1 0 c 1 c 2 ( a) 2            −  − − − ⎯⎯⎯ ⎯→ +  − 0 0 a 0 ( a) 1 1 0 0 c 1 c 2 2 ( a) 1 r 2 r