中山大学：《数学分析》第五章微分中值定理及其应用习题

第五章微分中值定理及其应用 内容简介 以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个 微分学的理论基础,尤其是拉格朗日中值定理.它们建立了函数值与导数值之间的 定量联系,因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态;中值定理的主要作用在 于理论分析和证明:同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则.中值 定理的应用主要是以中值定理为基础,应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹 形、凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征.此外, 极值问题有重要的实际应用 、学习要求 (1)理解和记忆罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论 (2)能正确运用洛必达法则求型、型等未定式的极限: (3)了解这三个中值定理在函数性态的研究当中所起的作用 (4)熟练地运用导数判定函数的增、减性和确定单调区间; (5)熟练地运用导数判定函数的凹、凸性和确定凹、凸区间 (6)用导数求出拐点 (7)熟练地用导数找到驻点及函数的极值; (8)能利用导数绘制函数图象 (9)能利用导数解决某些求最大、最小值的实际问题 学习的重点与难点 重点:拉格朗日中值定理、罗必达法则、函数性态(升降、极值、凹、 凸、拐点)的判定,极值的实际应用问题。 难点:运用中值定理的证明题,极值的应用题

第五章 微分中值定理及其应用 一、内容简介 以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个 微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理．它们建立了函数值与导数值之间的 定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在 于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则．中值 定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹 形、凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征．此外， 极值问题有重要的实际应用． 二、学习要求 （1）理解和记忆罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论； （2）能正确运用洛必达法则求 0 0 型、   型等未定式的极限； （3）了解这三个中值定理在函数性态的研究当中所起的作用； （4）熟练地运用导数判定函数的增、减性和确定单调区间； （5）熟练地运用导数判定函数的凹、凸性和确定凹、凸区间； （6）用导数求出拐点； （7）熟练地用导数找到驻点及函数的极值； （8）能利用导数绘制函数图象； （9）能利用导数解决某些求最大、最小值的实际问题． 三、学习的重点与难点 重点：拉格朗日中值定理、罗必达法则、函数性态（升降、极值、凹、 凸、拐点）的判定，极值的实际应用问题。 难点：运用中值定理的证明题，极值的应用题．