湖南大学：《线性代数》第一章 行列式

大学数学(二) 行列式 脚本编写:曾金平刘楚中 课件制作:曾金平刘楚中

大学数学（二） 脚本编写：曾金平 刘楚中 课件制作：曾金平 刘楚中

§1行列式 回忆中学二元及三元方程组的求解 aux+a12x2=b1 a21x1+a2X2=b2 若a1≠0.(1)x(2)+(2)得 21 22 122

§1. 行列式 回忆中学二元及三元方程组的求解. a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 (1) (2) 若a110. ( ) 11 21 a a (1)  − +(2)得 22 (a 12 11 21 a a a − 2 )x = b2 1 11 21 b a a −

b2-22b1 b b2 2 (3) 21 c11a22-a21412 22 21a22 代入(1)得 a21a22 此处b△ ad-bc称为二阶行列式

12 11 21 22 1 11 12 2 2 a aa a b aa b x −− = 11 22 21 12 11 2 21 1 a a a a a b a b −− = , 21 22 11 12 21 2 11 1 a a a a a b a b = (3) 代入(1) 得 , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 a a a a b a b a x = (4) 此处 ad bc称为二阶行列式. c d a b = − 

同样,在求解三元线性方程组 a1x1+a12x2+a13x3=b1 211 22 2313-72 b 311T43223313-03 其解为 c12413 22 23 3223233 21a22a23 31232a33

同样，在求解三元线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 其解为 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 23 33 2 22 23 1 12 13 1 a a a a a a a a a b a a b a a b a a x = (5)

13 21b 2a23 c31b3a33 (6) 11a12a13 a21a22a2 a31a32a33 C 21a23 31a33b3 11a12a13 a21 22 23 a31a32a33

， 31 32 33 21 22 23 11 12 13 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a a a a a a a a a a b a a b a a b a x = . 31 32 33 21 22 23 11 12 13 31 33 3 21 23 2 11 13 1 3 a a a a a a a a a a a b a a b a a b x = (6) (7)

此处 2a13 A=a21a22a23=a13+a2a23a31+a3a21a32 31 13a22431-412c21a33-411a23c32 C 23 a21a23 21 22 32a33 31433 32 =a1141+a12412+a13413 (8) 其中A1,A12,A13为△的代数余子式

此处 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a  = = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 32 33 22 23 11 a a a a = a 31 33 21 23 12 a a a a − a 31 32 21 22 13 a a a a + a . = a11A11 + a12 A12 + a13A13 (8) 其中A11, A12，A13为的代数余子式

三阶行列式中去掉第i行第j列剩下元素按 原来次序组成的2阶行列式记为M,称为△的二 阶子式 而An=(-1y+M称为△的代数余子式 由(8)知,三阶行列式可用其二级子式的线 性组合表示

三阶行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按 原来次序组成的2阶行列式记为 Mij 称为  的二 阶子式. 而 Aij =(−1)i+j Mij 称为  的代数余子式 由(8)知，三阶行列式可用其二级子式的线 性组合表示

对于一元线性方程ax=b.其解x=b 如果定义一阶行列式|a|=则x16 C 且二阶行列式可表示为 11a12 c11a12 12a2l=a141+a124 21 上述表明二阶,三阶行列式均可由其子式的组 合表示.也即由低阶行列式线性表示

如果定义一阶行列式 | a | = a, 则 . | | | | a b x = 且二阶行列式可表示为 11 12 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − = a11A11 + a12A12 上述表明二阶，三阶行列式均可由其子式的组 合表示. 也即由低阶行列式线性表示. . a b 对于一元线性方程 ax=b. 其解 x =

11412 定义.D=a21a2…a2n称为一个n阶行列式 nln2…an 它可由n个n-1级行列式线性表示: D=a141+a12412+…+a1nA1n 其中4=(-1)Mm而M—a1的代数余子式

定义1. n n nn n n a a a a a a a a a D    1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为一个 n 阶行列式. 它可由 n 个 n−1 级行列式线性表示： D = a11A11 + a12 A12 ++ a1n A1n 其中Aij=(−1)i+jMij, 而Mij aij的代数余子式

定义为: 1j+1 1j-1ci-1j+1 li+11 ai+1j-1 i+1j ai+In n 的余子式

n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n i j j n i j a a a a a a a a a a a a a a a a M                1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 − + + + − + + + − − − − + − − + = aij的余子式 定义为：