《线性系统理论》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性反馈系统的时间域综合（5.1-5.4）

第5章 线性反馈系统的时间域综合

第5章 线性反馈系统的时间域综合

5.1引言 系统模型 (结构和参数) ·分析: 已知系统结构、参数、u,研究xy的定性 行为和定量变化规律; 对象(结构、参数)已知,目标确定(期 望的x,y),求u:反馈

5.1 引 言 • 分析： 已知系统结构、参数、u，研究x,y的定性 行为和定量变化规律； • 综合： 对象（结构、参数）已知，目标确定（期 望的x, y），求u：反馈 系统模型 （结构和参数） x u y

提法: 对象 x=Ax+Bn,x(O)=x0,t≥0 y=cx 目标:满足给定的性能指标,即控制要求(任务) ●渐近稳定性——镇定问题 ●期望闭环极点—极点配置问题 ●解耦控制 ●跟踪控制 ●最优控制 求:u—u-般依赖于系统的实际响应 (状态反馈u=Kx+v,输出反馈u-y+v)

• 提法： 对象 目标：满足给定的性能指标，即控制要求（任务） ⚫渐近稳定性——镇定问题 ⚫期望闭环极点——极点配置问题 ⚫解耦控制 ⚫跟踪控制 ⚫最优控制 求：u ——u一般依赖于系统的实际响应 （状态反馈 u=-Kx+v, 输出反馈u= -Fy+v） y Cx x Ax Bu x x t = = + , (0) = 0 ,  0

思路 完成任务的可行性—可综合条件 昴具体实现步骤——算法

• 思路  完成任务的可行性——可综合条件  具体实现步骤——算法

5.2状态反馈和输出反馈 构成形式 状态反馈:{A,B,C}{A-BK,B,C} 输出反馈:{A,B,C}{ABFC,B,C} 比较: 两种反馈构成形式都可以改变系统矩阵。状态反馈 在改变系统结构属性和实现性能指标方面优于输出反 馈。输出反馈可以达到的,必可找到相应的状态反馈 来实现,反之则不然,因为FC=K的解F常不存在

5.2 状态反馈和输出反馈 • 构成形式 状态反馈：{A，B，C}——{A-BK，B，C} 输出反馈：{A，B，C}——{A-BFC，B，C} 比较： 两种反馈构成形式都可以改变系统矩阵。状态反馈 在改变系统结构属性和实现性能指标方面优于输出反 馈。输出反馈可以达到的，必可找到相应的状态反馈 来实现，反之则不然，因为FC=K的解F常不存在

·性质 1.状态反馈的引入,不改变系统的能控性,但可改变其 能观测性。 证明: (1)能控性保持不变 0 [I-A+BK, B]=[s/-A,B K rank[s/-A+BK, B]=rank[sI-A, B A-BK,B}能控的充要条件是 rm|s-A+BB=n,Vs∈C

• 性质 1. 状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可改变其 能观测性。 证明： （1）能控性保持不变 {A-BK,B}能控的充要条件是     ranksI A BK B ranksI A B K I I sI A BK B sI A B p n , , 0 , , − + = −       − + = − ranksI − A+ BK B= n,sC

(2)能观测性可以改变 可举反例说明 2.输出反馈的引入,不改变系统的能控性和能观测性。 证明: (1)能控性保持不变 任一输岀反馈都可等价于一状态反馈 2)能观测性保持不变 L 0C q sI-A+BFCI BF s-A rank sI-A+ BFC

（2）能观测性可以改变 可举反例说明。 2. 输出反馈的引入，不改变系统的能控性和能观测性。 证明： （1）能控性保持不变 任一输出反馈都可等价于一状态反馈 （2）能观测性保持不变       − =      − +       −       =      − + sI A C rank sI A BFC C rank sI A C BF I I sI A BFC C n q 0

5.3极点配置问题:可配置条件和算法 问题的提法 口知: x=Ax+B2x(0)=x02t≥0 y=Cx 期望性能指标期望闭环极点,2…,n 要求 构造uKx+,(即求K),使满足 1(A-BK)=,i=1,2,…,n 研究:什么条件下可任意配置闭环极点 如何配置

5.3 极点配置问题：可配置条件和算法 一. 问题的提法 已知: 期望性能指标:期望闭环极点 要求: 构造u=-Kx+v,(即求K),使满足 研究:什么条件下可任意配置闭环极点 如何配置 y Cx x Ax Bu x x t = = + , (0) = 0 ,  0 . * * 2 * 1 , , ,    n i (A BK) i ,i 1,2, ,n  − =  * = 

二可配置条件 相关的数学基础 循环矩阵:如果系统矩阵A的特征多项式等同于其最小多项式,则称其为循环 矩阵 满足φ(A)=0的次数最低的首1多项式,称为A的最小多项式 如果A是循环矩阵,必存在一向量度b,使{A,b}能控。 判据 (1)A为循环矩阵◇→A的约当形中每个不同的特征值仅 有一个约当块 (2)A的特征值两两相异,A必是循环矩阵(充分条件) 综合中用到的两个重要性质: (1)若{A,B}能控,A循环,则几乎对任意的p*1实向量ρ,{A,Bp}能控 (2)若{A,B}能控,A不循环,则几乎对任意p*n常阵K,(ABK)循环

二.可配置条件 相关的数学基础 循环矩阵:如果系统矩阵A的特征多项式等同于其最小多项式,则称其为循环 矩阵。 [满足（A）=0的次数最低的首1多项式，称为A的最小多项式] 如果A是循环矩阵，必存在一向量度b，使{A，b}能控。 判据： （1）A为循环矩阵A的约当形中每个不同的特征值仅 有一个约当块 （2）A的特征值两两相异，A必是循环矩阵（充分条件） 综合中用到的两个重要性质： （1）若{A，B}能控，A循环，则几乎对任意的p*1实向量，{A，B }能控 （2）若{A，B}能控，A不循环，则几乎对任意p*n常阵K，(A-BK)循环

可配置条件: 线性定常系统可通过状态反馈任意配置其 全部极点的充分必要条件是,记该系统完全能 控 Ac A12 证明: A= PAP 0 Ac (1)必要性:反证法 B 设{A,B}不完全能控,结构分解B=PB K=[K1,k2 det(sl-A+ bk)=det(sl-A+ BkP s=Ac+Bck A12+BcK d 0 det(s/-Ac+ bckidet( K=KP=KI,K2

可配置条件： 线性定常系统可通过状态反馈任意配置其 全部极点的充分必要条件是，记该系统完全能 控。 • 证明： （1）必要性：反证法 设{A，B}不完全能控，结构分解       = =       = = − 0 0 1 12 c c c B B PB A A A A PAP [ , ] det( )det( ) 0 det det( ) det( ) [ , ] 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 K KP K K sI A B K sI A sI A sI A B K A B K sI A BK sI A BKP K K K c c c c c c c = = = − + −       − − + − + = − + = − + = − −