《线性系统理论》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性反馈系统的时间域综合（5.5-5.6）解耦控制问题、跟踪问题——无静差性和鲁棒控制

5.5解耦控制问题 动态解耦问题 对象:p个输入,p个输出 x= Axt Bu =Cx G(s=C(S/-A)"B 若系统的初始状态为0,则 n(s)=81(S)4(s)+812(S)2()+…+81p(S)2(S) y2(S)=821(s)4(s)+g2()2(s)+…+82()2(s) yn(s)=8n1(S)1(s)+gn2()l2(s)+…+gm(S)2(s)

5.5 解耦控制问题 一 .动态解耦问题 对象：p个输入，p个输出 若系统的初始状态为0，则 G s C sI A B y Cx x Ax Bu 1 ( ) ( ) − • = − = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s p p p p p p p p p p = + + + = + + + = + + +    

显然,耦合,即每个控制量控制多个输出量 每个输出量受多个输入量控制 如果引入一适当的补偿器,使每个输入仅控制一个输出 每个输出仅由一个输入控制 则称此系统解耦了。 定义:如果多变量系统的传递函数矩阵是非奇异对角矩 阵,则称其为解耦的。 采用状态反馈l(1)=-Kx+Lv K 实值常值矩阵 非奇异常值矩阵 则系统结构如下

显然，耦合，即每个控制量控制多个输出量 每个输出量受多个输入量控制 如果引入一适当的补偿器，使每个输入仅控制一个输出 每个输出仅由一个输入控制 则称此系统解耦了。 定义： 如果多变量系统的传递函数矩阵是非奇异对角矩 阵，则称其为解耦的。 采用状态反馈 则系统结构如下：u(t) = −Kx + Lv 非奇异常值矩阵 实值常值矩阵 − − − − − − p p p n L K * *

L B C A K 闭环系统为 x=(A- BK)x+ blu =CX G (s=C(S/-A+BK)BL 研究G(s)什么条件下可解耦

闭环系统为 研究G(s)什么条件下可解耦 A  B C K u v L x + y - G s C sI A BK BL y Cx x A BK x BLu K L 1 ( ) ( ) ( ) − • = − + = = − +

g1(S) ()=/82(SN中8(s)=181(82(…,( 定义: O=8(S)分母多项式的次数一分子多项式的次数 i10i2 p E=lm ig,(s)

定义： , ( ) [ ( ), ( ), , ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 g s g s g s g s g s g s g s G s i i i i p p   =               = 其中 i p E s g s d g s i d s i i i i i p i j i j i 1,2, , lim ( ) min{ , , , } 1 ( ) 1 1 2   = = = − = − + →     分母多项式的次数 分子多项式的次数

例: s2+s+1s2+s+2 s2+2s+1s2+s+4 则 12=2,d1=mn(1,2)-1=0 O21=2,O2=2d2=mn(2,2)-1=1 s+2 E=lir d1+1 g1(s) S→00 s→s2+s+1s2+s+2 E2=lim s*g2(s)=lim s2 3 s2+2s+1s2+s+4

例： [1 3] 4 3 2 1 1 lim ( ) lim [1 0] 2 1 1 2 lim ( ) lim 2, 2, min( 2,2) 1 1 1, 2, min( 1,2) 1 0 4 3 2 1 1 2 1 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 =      + + + + = = =      + + + + + = = = = = − = = = = − =           + + + + + + + + + = → + → → + → s s s s E s g s s s s s s s E s g s s d d s s s s s s s s s G s s d s s d s     则

以上定义各个量可从传递函数直接计算出 它们和状态空间描述{A,B,C}的关系? 结论:d是使c,AB≠0的正整数k的最小值 当c;AB=0,Vk<n时,定义d1=n-1 E1=lims4g(s)=c1AB≠0 当系统采用状态反馈后 A→)A-BK B→BL E=EL

以上定义各个量可从传递函数直接计算出 它们和状态空间描述{A，B，C}的关系？ 结论: E E L d d B BL A A BK E s g s c A B c A B k n d n d c A B k i i i i d i i d i i k i k i i i i = = → → − = =     = −  + 当系统采用状态反馈后 当 时 定义 是使 的正整数 的最小值 lim ( ) 0 0, , 1 0 1

定理具有传递函数G(s)的线性定常系统{ABC} 可通过状态反馈(t)=-Kx+Lw解耦的充 分必要条件是E非奇异 E E d1+1 E d+1 如取 K=E-F、L=E-1 d1+1 GKi(S) 0

定理:具有传递函数G(s)的线性定常系统{A,B,C} 可通过状态反馈 解耦的充 分必要条件是E非奇异. 如取 u(t) = −Kx + Lv           = E p E E  1               = = =           = + + − − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 ( ) , 1 1 p p d d KL d p d s s G s K E F L E c A c A F  

二.静态解耦 MA, B, C)-iK,L,>A-BK, BL, C 如果闭环系统 (1)渐近稳定 (2)Gx(s)虽为非对角矩阵但皿mnGk() 为非奇异对角常阵 则称{AB,C}是静态解耦的. 注:静态解耦只适于参考输入的各个分量是 阶跃信号的情况

二.静态解耦 如果闭环系统 (1)渐近稳定 (2) 虽为非对角矩阵,但 为非奇异对角常阵 则称{A,B,C}是静态解耦的. 注:静态解耦只适于参考输入的各个分量是 阶跃信号的情况. { , , } { , , } { , } A B C A BK BL C K L ⎯⎯⎯→ − G (s) KL lim ( ) 0 G s KL s→

y(∞)= lim sg(s)(s) lim SGKL(S) P B1 dlim GK(S)3

          =           =  = → → → p KL s p KL s KL s G s s sG s y sG s v s       1 1 {lim ( )} 1 lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

可静态解耦的条件: 存在{KL},使{ABC}可静态解耦的充分必要条件是 (1){ABC}是用状态反馈能镇定的; (2)rankl A B C0|=n+p,且L非奇异 综合步骤 1)首先判断是否满足可静态解耦的条件 (2)按极点配置算法设计状态反馈增益矩阵K使(A-BK)特 征值均具有负实部; (3)确定稳态增益D=dig(d1…,dn) L=-[C(A-BK)B D,GKI(O=D

可静态解耦的条件: 存在{K,L},使{A,B,C}可静态解耦的充分必要条件是 (1){A,B,C}是用状态反馈能镇定的; (2) 综合步骤: (1)首先判断是否满足可静态解耦的条件; (2)按极点配置算法,设计状态反馈增益矩阵K,使(A-BK)特 征值均具有负实部; (3)确定稳态增益 (4) , . 0 n p 且L非奇异 C A B rank = +       ) ~ , , ~ ( ~ D = diag d 11  dpp L C A BK B D GKL D ~ , (0) ~ [ ( ) ] 1 1 = − − = − − 则