《线性系统理论》课程教学资源（PPT课件）第一章 概论

引言 系统的研究方法 经验法 理论法:依据数学理论 建模(对真实系统的抽象) 建立数学描述 分析 设计 本课程的研究范围 对象:线性动态系统,数学模型已知 工具:数学

引 言 • 系统的研究方法 ——经验法 ——理论法：依据数学理论 ➢建模（对真实系统的抽象） ➢建立数学描述 ➢分析 ➢设计 • 本课程的研究范围 ——对象：线性动态系统，数学模型已知 ——工具：数学

主要分支: 状态空间法 几何法 代数理论 多变量频域理论 频域设计方法:英国学派 Rosenbrock. Macfarlane 多项式矩阵理论: Rosenbrock, Wolovich 本课程的主要内容: 状态空间法 多项式矩阵理论

——主要分支： 状态空间法 几何法 代数理论 多变量频域理论 频域设计方法：英国学派 Rosenbrock, MacFarlane 多项式矩阵理论: Rosenbrock, Wolovich ——本课程的主要内容： 状态空间法 多项式矩阵理论

第一章系统的数学描述 主要的数学描述形式 -传递函数矩阵描述 状态空间描述 矩阵分式描述 系统矩阵描述

第一章 系统的数学描述 • 主要的数学描述形式 ——传递函数矩阵描述 ——状态空间描述 ——矩阵分式描述 ——系统矩阵描述

传递函数矩阵描述 视系统为“ black box),只描述输入/输出间的关系 b System 即时系统(零记忆系统):t1时刻的输出只依赖于t1 时刻的输入 动力学系统:t时刻的输出依赖于 t1时刻的输入 t1之前和(或)之后的输入

一 . 传递函数矩阵描述 视系统为“black box”, 只描述输入/输出间的关系 即时系统（零记忆系统）：t1时刻的输出只依赖于t1 时刻的输入 动力学系统：t1时刻的输出依赖于 ——t1 时刻的输入 ——t1之前和（或）之后的输入 up1 System q1 y

对动力学系统,若初始状态未知,或t之前的输入未知,则 1,x)—>1x)不一一对应, 这样对研究系统的关键性质无用。 假定:系统是初始松驰的,输出只由此后的输入唯一地确定 工程上,常假定系统在负无穷时间是松驰的 在松驰性的假定下,有 y=Hu H为某一算子或函数 称在负无穷时初始松驰的系统为松驰系统 线性: 因果性 松驰性 时不变性

对动力学系统，若初始状态未知，或 t1 之前的输入未知，则 [ , ) [ , ) t 1  ⎯→ t 1  u y 不一一对应， 这样对研究系统的关键性质无用。 假定：系统是初始松驰的，输出只由此后的输入唯一地确定 工程上，常假定系统在负无穷时间是松驰的 在松驰性的假定下，有 H 为某一算子或函数 称在负无穷时初始松驰的系统为松驰系统。 ⚫ 线性： ⚫ 因果性 ⚫ 松驰性 ⚫ 时不变性 y = Hu

●线性:一松驰系统,当且仅当对任何输入l1和l2及任意实数a1,C2,均 有 H(x11+a2l2)=a1H1+a2H 则称其为线性的,否则称为非线性的。 利用脉冲函数(1),定义脉冲响应g(·,τ)=H6(t-τ),容易导出,单变量、松 驰系统在时刻t的输出为 y()=g(,)(n)r

⚫ 线性：一松驰系统，当且仅当对任何输入 u1 和u2 及任意实数1 ， 2 ， 均 有 1 1 2 2 1 1 2 2 H( u + u ) = Hu + Hu 则称其为线性的，否则称为非线性的。 利用脉冲函数 (t) ，定义脉冲响应 g(•,) = H (t −) ，容易导出，单变量、松 驰系统在时刻 t 的输出为  + − y(t) = g(t, )u( )d

对多变量系统(p个输入,q个输出),有 y()=|G(t,r)()dr 其中Gn(,r)为系统的脉冲响应矩阵 ●因果性:系统在时刻t的输出,仅取决于时刻t和t之前的 输入,不取决于在t之后的输入 若松驰系统满足因果律,则有 y()=H-∞n 线性、松驰、因果的系统,其输入输出描述可写为 y(t)=G(t, r)u(r)dr

对多变量系统（p 个输入，q 个输出），有  + − y(t) = G(t, )u( )d 其中G (t, ) q p 为系统的脉冲响应矩阵 ⚫ 因果性：系统在时刻 t 的输出，仅取决于时刻 t 和 t 之前的 输入，不取决于在 t 之后的输入 若松驰系统满足因果律，则有 ( , ] ( ) H u t y t = − 线性、松驰、因果的系统，其输入输出描述可写为 − = t y(t) G(t, )u( )d

●松驰性:仅当系统在-∞时松驰,y=Hv成立, 推广之。 定义:当且仅当系统输出y2唯一地只由41x)激励产生时,称系统在时 刻to是松驰的 若系统在to时松驰,则其IO描述可写为 Hi [o∞) t 对松驰的线性系统,其IO关系可写为 y(o=G(,r)u(r)dr 综上,线性、因果、to时松驰的系统,其IO描述为 y(t)= G(t, tu(rdr

⚫ 松驰性：仅当系统在− 时松驰， y = Hu 成立。 推广之。 定义：当且仅当系统输出 [ , ) t0  y 唯一地只由 [ , ) u t0  激励产生时，称系统在时 刻 0 t 是松驰的。 若系统在 0 t 时松驰，则其 I/O 描述可写为 [ , ) [ , ) 0 0 t  = Hu t  y 对松驰的线性系统，其 I/O 关系可写为   = 0 ( ) ( , ) ( ) t y t G t  u  d 综上，线性、因果、 0 t 时松驰的系统，其 I/O 描述为  = t t y t G t u d 0 ( ) ( , ) ( ) 

●时不变性:系统特性不随时间改变 定义一平移算子,其作用如图所示。数学上即 l=Q2u当且仅当对所有t有()=l(t-a)或l(t+a)=l( 定义时不变性:松驰系统是时不变的,当且仅当HQ==QaHy对任意的a,L均 成立,否则称为时变的 松驰、线性、时不变系统 2g, r)=2,H(t-t)=he,8(t-T H6(t-(+a)=g(°,+a) 故(代入t+a) g(t,)=g(t+a,+a) 取C= g(t,)=g(t-z,0)物理意义:脉冲响应只依赖于1之差

⚫ 时不变性：系统特性不随时间改变 定义一平移算子，其作用如图所示。数学上即 u Q u   当且仅当对所有 t ,有u(t) = u(t −) 或u(t +) = u(t) 定义时不变性：松驰系统是时不变的，当且仅当 HQu = QHu 对任意的,u 均 成立，否则称为时变的。 松驰、线性、时不变系统 ( ( )) ( , ) ( , ) ( ) ( )              = − + = • + • = − = − H t g Q g Q H t HQ t 故（代入t + ） g(t, ) = g(t +, +) 取 = − ，则 g(t, ) = g(t − ,0) ——物理意义：脉冲响应只依赖于t, 之差

对多变量系统,有 G(t,z)=G(t-70)=G(t-7) 线性、因果、时不变、t时松驰的系统,其IO描述为 y(t)=G(t-t)u(r)dr 对时不变系统,不失一般性,选取t=0,则 D(r)=LG(t-tu(r)dr=lg(t)u(t-rddr

对多变量系统，有 G(t, ) = G(t − ,0) = G(t − ) 线性、因果、时不变、 0 t 时松驰的系统，其 I/O 描述为  = − t t y t G t u d 0 ( ) (  ) ( )  对时不变系统，不失一般性，选取t 0 = 0，则   = − = − t t y t G t u d G u t d 0 0 ( ) (  ) ( )  ( ) (  ) 