《线性系统理论》课程教学资源（PPT课件）第九章 传递函数矩阵的状态空间实现

第9章传递函数矩阵的状态空间实现 9实现的基本概念和属性 1.实现:线性定常系统,给定G(s) 寻求状态空间描述{A,B,C,E} 使C(-A)B+E=G(s) 则称{AB,C,F}是G(s)的一个实现。 2.实现的不唯一性:(a)维数可不同(b)同维的参数也可不同 3.实现的存在性:(a)G(s)真(b)元传递函数的分子分母多项式 的系数均为实数 4.最小实现(不可简约实现) 给定G(s),一定存在一类维数最低的实现,即为最小实现; 最小实现一定是既能控、又能观的(不可简约) ·所有最小实现都是代数等价的

第9章 传递函数矩阵的状态空间实现 9.1 实现的基本概念和属性 1. 实现：线性定常系统，给定G(s) 寻求状态空间描述{A,B,C,E} 使 则称{A,B,C,E}是G(s)的一个实现。 2. 实现的不唯一性：(a)维数可不同 (b)同维的参数也可不同 3. 实现的存在性：(a)G(s)真 (b)元传递函数的分子分母多项式 的系数均为实数 4. 最小实现（不可简约实现） • 给定G(s)，一定存在一类维数最低的实现，即为最小实现； • 最小实现一定是既能控、又能观的（不可简约）； • 所有最小实现都是代数等价的。 ( ) ( ) 1 C sI − A B + E = G s −

5.最小实现是获得被控对象动态方程的重要途径 复杂情况下,直接用物理定律建立动态方程是困难的; O描述G(s)容易通过实验获得; 般被控对象都是既能控又能观的 6.最小实现的维数 SISO系统:g(s)分子分母互质,严格真 A,b,c}是g(s)的最小实现台 g(s)的分母等于A的特征多项式,△(s)=det(sI-A) 或:dimA=degg(s) MIMO系统: G(s)的特征多项式:不可简约矩阵分式描述为 G(S=N(SD(S)=A(SB(S) detD(s)或detA(s)都可定义为G(s)的特征多 项式,正则有理矩阵G(s)的所有子式的最小公分母也 可定义为G(s)的特征多项式,它们之间差一常数

5. 最小实现是获得被控对象动态方程的重要途径 • 复杂情况下，直接用物理定律建立动态方程是困难的； • I/O描述G(s)容易通过实验获得； • 一般被控对象都是既能控又能观的。 6. 最小实现的维数 SISO系统：g(s)分子分母互质，严格真 {A, b, c }是g(s)的最小实现 g(s)的分母等于A的特征多项式，(s)=det (sI-A) 或：dim A = deg g(s) MIMO系统： G(s)的特征多项式：不可简约矩阵分式描述为 det D(s) 或 det A(s) 都可定义为G(s)的特征多 项式，正则有理矩阵G(s)的所有子式的最小公分母也 可定义为G(s)的特征多项式，它们之间差一常数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 G s N s D s A s B s − − = =

若定义成首1多项式,则唯一确定。 ABC}是G(s)的最小实现兮→ G(s)的特征多项式等于A的特征多项式△(s) 或:dimA=G(s)的不可简约MFD的次数 等价于书中所述 mIn ∑degv(s) V(s)是Smih- Mcmillan标准形中的分母项

若定义成首1多项式，则唯一确定。 {A,B,C}是G(s)的最小实现 G(s)的特征多项式等于A的特征多项式(s) 或：dim A=G(s)的不可简约MFD的次数 等价于书中所述 s 是Smith Mcmillan标准形中的分母项 n s i r i i − = = ( ) deg ( ) 1 min  

92标量传递函数的一些典型实现 能控规范形实现 能观测规范形实现 并联形实现(约当形实现) 串联形实现 有的已学过,有的要自学

9.2 标量传递函数的一些典型实现 • 能控规范形实现 • 能观测规范形实现 • 并联形实现（约当形实现） • 串联形实现 有的已学过，有的要自学

93有理分式传递函数矩阵的典型实现 G(s)-严格真,有理分式形式表达,即 G(s)=[gn()i=1,2,…q;=1,2,…P 令d(s)为g;(s)的最小公分母,记为 k t k-1 C1_1S"+…+C1S+ k 则G(s)可表为 G(s) p sk-It.+ps tp d(s) d(s) k 形式上类似于SSO系统的传递函数,只不过分 子的系数变成了矩阵

9.3 有理分式传递函数矩阵的典型实现 G(s)----严格真，有理分式形式表达，即 . , [ ] ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) [ ( )], 1,2, ; 1,2, ; 1 0 1 1 1 0 1 1 子的系数变成了矩阵 形式上类似于 系统的传递函数 只不过分 则 可表为 令 为 的最小公分母 记为 SISO P s Ps P d s P s d s G s G s d s s s s d s g s G s g s i q j p k k k k k i j i j = = + + + = + + + + = = = − − − −       

能控形实现 P×P P 0 0 B kpp 0 11 k-1p C=[P,B1, 形式上与SSO系统的能控规范形一样,数都变 成了矩阵它一定是能控的但不一定是能观的 由此求最小实现时要按能观性进行结构分解

一. 能控形实现 形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变 成了矩阵.它一定是能控的,但不一定是能观的. 由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解. k q kp p kp p p p k p p p p p p kp kp C P P P I B I I I I I I A −   −   =                 =                 − − − = [ , , , ] 0 0 0 , 0 0 0 0 1 1 0 1 1       

例 G(s)=s+1s+1,d(s)=(s+1)(s+2)=s2+3+2 s+2s+2 2(s+2)(S+2) G(s)=- s2+3s+2L(s+1)(s+1) 4 S+ s2+3s+2‖|11 q=2,p=2,k=2 42 21 3.P 0

例:       =       = = = = = =             +       + + =       + + + + + + = = + + = + +           + + + + = 1 1 2 1 , 1 1 4 2 2, 3, 2, 2, 2 1 1 4 2 1 1 2 1 3 2 1 ( 1) ( 1) 2( 2) ( 2) 3 2 1 ( ) , ( ) ( 1)( 2) 3 2 2 1 2 1 1 1 1 2 ( ) 0 1 0 1 2 2 2 P P q p k s s s s s s s s s G s d s s s s s s s s s G s  

010 2×2 2×2 012×2 -a 2×2 000 00 20-30 20-3 00 00 4221 B C 计算可知, ranke2=4,系统可控 ranke=2,系统不能观

系统不能观 计算可知 系统可控 2, , 4, 1 1 1 1 4 2 2 1 , 0 1 1 0 0 0 0 0 , 0 2 0 3 2 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 4 4 = =       =             =             − − − − =      − − =      o c rankQ rankQ B C I I I A  

作结构分解 在Q中选取两个线性无关行, h2=[4221 另外再选2行与h,h2线性无关,组成变换矩阵 422 00 0 0001 1000P 3-1 0100

            − − − − =             = = = − 1 2 2 0 1 1 3 1 0 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 4 2 2 1 2 , , [1 1 1 1] [4 2 2 1] , : 1 1 1 1 2 2 1 T T h h h h Qo 另外再选 行与 线性无关 组成变换矩阵 在 中选取两个线性无关行 作结构分解

1000 0-200 A=TAT L,B=TB 1-1-3-1 00 00 1000 C,=cT-I= 0100 显然A1=0-2 是最小实现

. 0 1 1 0 , 1 1 2 1 , 0 2 1 0 , 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 , 1 2 2 0 1 1 3 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 是最小实现 显然       =       =       − − =       = =             = =             − − − − − − = = − − A B C C C T A T A T B T B