陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第一章 多项式

数域$ 1. 1一、数域二、数域的有关性质

一、数域 二、数域的有关性质

一、数域定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域：）

一、数域 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．） 定义

例1.证明：数集 Q(V2)={a+b/2la,bQ是一个数域证：： 0=0+0/2,1=1+0~2,： 0,1eQ(V2)又对 Vx, y E Q(/2),，设x=a+b/2,y=c+d/2a,b,c,d E Q, 则有x± y=(a±c)+(b±d)/2 =Q(V2)x · y = (ac + 2bd)+(ad + bc)/2 = Q(~/2)设 a+b~0，于是α-bv2也不为0

是一个数域． 例1．证明：数集 Q a b a b Q ( 2) 2 | ,      证： 0 0 0 2, 1 1 0 2,     又对   x y Q , ( 2), 设 x a b y c d     2, 2, 则有 x y ac bd ad bc Q       ( 2 ) ( ) 2 ( 2)   0,1 ( 2) Q a b c d Q , , , ,  x y a c b d Q       ( ) ( ) 2 ( 2), 设 a b   2 0, 于是 a b  2 也不为0．

(否则，若 -b/2=0，则a=b/2"= ~2eQ,于是有b或 =0,b=0→+b/2=0.矛盾)c+d/z((c + d /2)(a - b/2)a+b/2(a + b/2)(a -b/2)ac-2bdad -bc2Q.2 - 262a?-2b22a故Q(/2）为数域类似可证 Q(i)={a+bila,bQ,i= /-1}是数域

或 a b   0, 0 矛盾） （否则，若 a b   2 0, 则 a b  2, 2 , a Q b 于是有      a b 2 0. 2 ( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) c d c d a b a b a b a b        2 2 2 2 2 2 . 2 2 ac bd ad bc Q a b a b        故Q( 2) 为数域． 类似可证 Q i a bi a b Q i ( ) , , 1        是数域

例2：设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数丰0）仍属于P，则P为一一个数域证：由题设任取 a,beP，有b0=a-aeP, 1=a-beP, P(b 0),baE P(b +0),a+b=a-(0-b)EPbb≠0 时，ab=lEP，b=0 时, ab=0EPb所以，P是一个数域

例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 证：由题设任取 a b P , ,  有 0 ,    a a P 1 ( 0), b P b b    a b a b P      (0 ) , a b P   , ( 0), a P b b   所以，P是一个数域． 1 1 0 , b b ab P    时, b ab P    0 0 . 时

二、数域的有关性质任意数域P都包括有理数域Q即，有理数域为最小数域证明：设P为任意一个数域·由定义可知0eP, 1eP.于是有Vmez+, m=1+1+...+1eP

二、数域的有关性质 任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 于是有 0 1 .   P P ， m Z m P , 1 1 1        

进而有mVm,ne z+pEnmmEP.nn而任意一个有理数可表成两个整数的商Q≤P

进而 有 , , , m m n Z P n     而任意一个有理数可表成两个整数的商，   Q P. 0 . m m P n n    

附：数环设为非空数集，若Va,beP,a±beP,abeP则称P为一个数环例如，整数集Z就作成一个数环

设P为非空数集，若 则称P为一个数环． 附:       a b P a b P a b P , , , 例如，整数集Z 就作成一个数环． 数环

练习1判断数集P,P是否为数域？为什么？P =[2n+1I ne Z),P, = (n/2 I ne Z) = Z(/2)

练习 1 P n n Z    {2 1| }, 2 P n n Z Z    { 2 | } ( 2). 1 判断数集 P P 1 2 , 是否为数域？为什么?

2．若P,P,为数域，证明:PnP，也为数域3.证明：集合m,ne z是一个数环SS是数域吗？

S是数域吗？ 3．证明：集合 , 是一个数环． 2 n m S m n Z         2．若 P P 1 2 , 为数域，证明： P P 1 2 也为数域．