重庆医科大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第四章 向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性

第四章 向量组的线性相关性

s1向量组及其线性组合

§1 向量组及其线性组合

定义：n个有次序的数ai,a2，.…an所组成的数组称为n维向量(N-Dimension Vector)，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数a,称为第i个分量，口分量全为实数的向量称为实向量(Real Vector)口分量全为复数的向量称为复向量(ComplexVector)备注：√本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）：√行向量和列向量总被看作是两个不同的向量，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.√本书中，列向量用黑色小写字母a,b,α,β等表示，行向量则用aT,bT,αT,βT表示

定义：n 个有次序的数 a1 , a2 , ., an 所组成的数组称为n 维向 量(N-Dimension Vector)，这 n 个数称为该向量的 n 个分量， 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．  分量全为实数的向量称为实向量(Real Vector)．  分量全为复数的向量称为复向量(Complex Vector)． 备注：  本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．  行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．  所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作 列向量．  本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向 量则用 a T , b T , aT , b T 表示．

定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组/当R(A)<n时，齐次线性方程组 Ax=0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量有限向量组RHAa2a13a14a1 (α,αz,α3,α4) =a22(23A34a3233a31a34结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应

定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组．  当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量． 11 12 13 14 34 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a              1 2 3 4  a a a a , 1 2 3 T T T b b b            结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 有限向量组

定义：给定向量组 A：i,az，…am，对于任何一组实数kj,kz,...,km，表达式kja+kzaz+...+kmam称为向量组 A 的一个线性组合。kj,kz，,km称为这个线性组合的系数.定义：给定向量组A：ai,a2，……，am和向量b，如果存在一组实数,2，……，m，使得b=aa+2a+...+amam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A的线性表示

定义：给定向量组 A：a1 , a2 , ., am ， 对于任何一组实数 k1 , k2 , ., km ，表达式 k1a1 + k2a2 + . + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1 , k2 , ., km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1 , a2 , ., am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1 , l2 , ., lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + . + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．

ei, E2, eg的0例： 设E=(e,e2,0线性组合00020那么b==2+3=2ei+3ez+7e-.130+7701线性组合的系数一般地，对于任n维向量b，必有(b)(1)00)0b,0001+b,+b,b3=b00b=1-b.U

例：设  1 2 3  1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e             1 0 0 2 0 3 1 7 0 0 0 1                                  1 2 3    2 3 7 e e e 2 3 7 b            那么 线性组合的系数 e1 , e2 , e3的 线性组合 一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                                                             1 2 3 n b b b b b                 

(b)(0010b,000b,+b,.+b= b,+b.b=b00nn阶单位矩阵E，的列向量叫做n维单位坐标向量

n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量． 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                                                             1 2 3 n b b b b b                  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 En                 

回顾：线性方程组的表达式1.一般形式2．增广矩阵的形式54.33x +4x, -x, =5-1X, -X, +2x, =-12-1向量方程的形式4.向量组线性组合的形式3.5x,+x+x:4()(G)向量方程组有解？是否熊线性表示？

回顾：线性方程组的表达式 1. 一般形式 3. 向量方程的形式 2. 增广矩阵的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 1 2 3 3 4 5 2 1 x x x x x x           3 4 1 5 1 1 2 1          1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x                           1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x                               方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？ 3 4 1 , , 1 1 2                     5 1       

结论：合含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应X,a,+xa,+...+x.am2anla12am22a21a122azm=bb=aa+aa,+...+ama..........元an2aamnmP.83定理1的结论向量b 能由线性方程组R(A) = R(A,b)向量组 AAx = b有解线性表示

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．   1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , m m m m m m n n nm m x a a a x x a a a x x a x a x a a a a x a a a x                                    1 1 2 2 m m b a a a     l l l 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 m m n n nm m a a a a a a b a a a l l l                    R A R A b ( ) ( , )  向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 P.83 定理1 的结论：

定义：设有向量组A：a,az，,am及B：bi,b2，.,bj，若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价

定义：设有向量组 A：a1 , a2 , ., am 及 B：b1 , b2 , ., bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．