陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 欧几里得空间

$ 9. 1定义与基本性质一、内积、欧氏空间二、内积的基本性质三、 向量的夹角四、度量矩阵及其性质

一、内积、欧氏空间 §9.1 定义与基本性质 二、内积的基本性质 三、向量的夹角 四、度量矩阵及其性质

知识点回顾：1.在几何空间R?.R3中，向量的长度，夹角等度量性质都可以通过内积反映出来：长度： [α|= (α,α)(α,β)α±0,β±0夹角：=arccosα ll β |（问题驱动）在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数量乘法，统称为线性运算，但能体现出向量的度量的性质，如长度、夹角等没有涉及.为此，本章在实数域上的线性空间中引入度量，使线性空间以及与之相应的线性变换理论均得以提升

知识点回顾： 1. 在几何空间 2 3 R ,R 中，向量的长度，夹角等度量性质都可以 通过内积反映出来： 长度：      ,  夹角: ( , ) , arccos , 0, 0. | || |             2.(问题驱动)在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和 数量乘法，统称为线性运算，但能体现出向量的度量的性质， 如长度、夹角等没有涉及.为此,本章在实数域上的线性空间中 引入度量,使线性空间以及与之相应的线性变换理论均得以提升

一、内积、欧氏空间1．内积设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β,定义一个二元实函数，记作（α,β），若满足性质:Vα,β,V,VkeR1° (α,β)=(β,α)(对称性）(数乘)2° (kα,β) = k(α,β)3° (α+β,)=(α,)+(β,)(可加性)4° (α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.（正定性）

满足性质：        , , , V k R 1 ( , ) ( , )      2 ( , ) ( , ) k k      3 ( , ) , ( , )             4 ( , ) 0,    当且仅当   0 时 ( , ) 0.    一、内积、欧氏空间 1. 内积 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量   、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , )   ,若 （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）

则称(α,β)为α和 β 的内积。2.定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间。欧氏空间V是特殊的线性空间，表现在：注：①V为实数域R上的线性空间；V除向量的线性运算外，还有“内积”运算；

① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; 欧氏空间 V是特殊的线性空间, 表现在： 则称 ( , )     为 和 的内积。 2.定义了内积的实数域 R上的线性空间V为欧 氏空间. 注:

例1．在Rn 中，对于向量α=(a,a2,..,an), β=(bi,b2,..,bn)(1)1) 定义 (α,β)=a,b, +a,b, +..+anb易证(α,β)满足定义中的性质 1~ 4°所以，(α,β)为内积这样 Rn对于内积（α,β)就成为一个欧氏空间

例1．在 R n 中，对于向量     a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n    这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , )   易证 ( , )   满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n       a b a b a b （1） 所以, ( , )   为内积

2）定义(α,β)'= a,b, +2a,b, +...+ ka,bk +...+na,b易证(α,β)满足定义中的性质 1～ 4°所以（α，β)也为内积.从而Rn对于内积(α,β)也构成一个欧氏空间注： 由于Vα·βV,未必有 (α,β)=(α,β)所以1），2）是两种不同的内积从而R"对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间

2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n          a b a b ka b na b 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , )    由于      V, 未必有 ( , ) ( , )      注：  所以1）,2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , )    满足定义中的性质 1 4 ～ . 所以 ( , )    也为内积

例2.C(a,b)为闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数 f(x),g(x)定义(,g) = (° f(x)g(x) dx(2)则 C(a,b)对于（2）作成一个欧氏空间证: Vf(x), g(x), h(x)eC(a,b), Vke R1. (f,g) = (" f(x)g(x) dx = (" g(x)f(x) dx =(g, J)2°. (kf,g) = (" kf(x)g(x) dx = k[" (x)g(x) dx= k(f,g)

例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx   （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证：     f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f    2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx      k f g ( , )

3. (f + g,h) =["(f(x)+ g(x)h(x) dx= J" f(x)h(x) dx+ J g(x)h(x) dx=(f,h)+(g,h)4°. (f,J)= f" f(x) dx.:. (f,f)≥0.: f(x)≥0,且若 f(x)±0，则 f2(x)>0,从而 (f,f)>0.故(f,)=0台f(x)=0.因此，（f,g)为内积，C(a,b)为欧氏空间

3 . ( , ) ( ) ( ) ( )   b a f g h f x g x h x dx     ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a   f x h x dx g x h x dx     ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx   2 f x( ) 0,    ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0,  则 2 f x( ) 0,  从而 ( , ) 0. f f  故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x    因此，( , ) f g 为内积， C a b ( , )为欧氏空间

3、内积的基本性质1、V为欧氏空间，α,β,V,VkR1) (α,kβ)=k(α,β), (kα,kβ)=k'(α,β)2) (α,β+)=(α,β)+(α,)推广：(α,β)=(α,β,)i=1i=13)(0,β)= 0

  2 1) ( , ) ( , ), , ( , )         k k k k k   2) ( , ) ( , ) ( , )           推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i         3) (0, ) 0   3、内积的基本性质 1、V为欧氏空间，        , , , V k R

二欧氏空间中向量的长度1．引入长度概念的可能性1）在R3向量α的长度（模）α=α·α2）欧氏空间V中，α,V，（(α,α)≥0使得Vα·α有意义2.．向量长度的定义Vα,eV, α= /(α,α)称为向量α的长度特别地，当α=1时，称α为单位向量

2) 欧氏空间V中，       , , ( , ) 0 V 使得    有意义. 二. 欧氏空间中向量的长度 1）在 向量 的长度（模）      . 3 R  2. 向量长度的定义        , , ( , ) V 称为向量  的长度. 特别地，当   1 时，称  为单位向量. 1. 引入长度概念的可能性