陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第六章 线性空间

第六章纟线性空间

第六章 线性空间

s 6.2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义例子二、三、简单性质

一、线性空间的定义 二、例子 三、简单性质

在第三章S2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间(pn, +,.)(ai,az,..",an)+(b,b,,...,bn) =(a, +b,a, +b2,...,a, +bn)k(ar,az,"",an) =(ka,kaz,...,ka,), k e P而且这两种运算满足如下运算规律：α+β=β+α1α = α(α+β)+=α+(β+)k(lα) = (kl)αα+0=α(k+l)α = kα+lαα+(-α)= 0k(α+β)=kα+kβVα,β,yep", Vk,leP

1 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n a a a b b b a b a b a b      1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , ), n n k a a a ka  ka ka k  P 而且这两种运算满足如下运算规律：        在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间     0 ( ) ( )                 ( ) 0 1  k l kl ( ) ( )    ( ) k l k l       k k k ( )        , , , , n        P k l Pn （（PP n ,+, ,+,）） n （P ,+,）

数域P上的一元多项式环（P[x]，+，·）满足下面这些重要的运算规律：f(x)+g(x) = g(x)+ f(x)(f(x)+ g(x)+ h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)f(x)+0= f(x)f(x)+(-f(x)= 01f(x)= f(x)k()f(x) =(kl)f(x)Vf(x),g(x),h(x) E P[xl(k+l)f(x) = kf(x)+lf(x)Vk,le Pk(f(x)+ g(x)) = kf(x)+kg(x)

这些重要的运算规律 ： ( ), ( ), ( ) [ ], , f x g x h x P x k l P     f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( )    数域 P上的一元多项式环 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x      k l f x kl f x ( ) ( ) ( ) ( )  1 ( ) ( ) f x f x  f x f x ( ) ( ( )) 0    f x f x ( ) 0 ( )   ( ) ( ) ( ) ( ) k l f x kf x lf x    k f x g x kf x kg x ( ( ) ( )) ( ) ( )    （ P x [ ] , ,  ） 满足下面

一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法，即，Vα,βEV在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称 为α与β的和，记为=α+β；在与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即VαV,VkEP在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为k与α的数量乘积,记为S=kα,如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间

一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法，即，    , V 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为     与 的和，记为      ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即      V k P , , 在V中都存在唯一的一个元素δ 与它们对应，称δ 为 k与 的数量乘积,记为    k . 如果加法和数量乘 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：

加法满足下列四条规则：Vα,β,Vα+β=β+α1)(α+β)+=α+(β+)VαV,有 α+0=α在V中有一个元素0,3（具有这个性质的元素0称为V的零元素）④对VαEV，都有V中的一个元素β，使得α+β=0；（β称为α的负元素）数量乘法满足下列两条规则：@ 1α=α@ k(lα) = (kl)α数量乘法与加法满足下列两条规则：(k+l)α=kα+lα③ k(α+β)=kα+kβ

加法满足下列四条规则： ①        ⑤ 1  ⑥ k l kl ( ) ( )    数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ ( ) k l k l       （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ② ( ) ( )           ⑧ k k k ( )             , , V ④ 对    V, 都有V中的一个元素β ，使得     0 ;（β 称为  的负元素） ③ 在V中有一个元素0，        V, 0 有

由线性空间定义(Vp,+,)有1.凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算2.线性空间中的元素也称为向量，但这里的向量不一定是有序数组，3.线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间

3.线性空间的判定： 1.凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 2.线性空间中的元素也称为向量，但这里的 向量不一定是有序数组． 称为线性运算． 就不能构成线性空间． 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 由线性空间定义 VP （ ,+,）有

二、 例子例1引例1和2中的 Pn，P[刘均为数域 P上的线性空间例2 数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[刘],表示P[xl, =(f(x) = an--x"- +...+ajx+ aol an-1,,ai,ao e P)例3数域P上mx矩阵的全体作成的集合，按矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间用pmxn表示

例1引例1和2中的 P n , P[x]均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于n的多项式的全体，再添 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 1 1 1 0 1 1 0 [ ] { ( ) , , , } n P x f x a x a x a a a a P n n n          例3 数域 P上 m n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 用 表示． m n P  二、例子

例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间例5 全体正实数R+，1）加法与数量乘法定义为：Va,bεR+,Vk RFkoα=αα④ b = logaVa,beR+,VkeR2）加法与数量乘法定义为：koα=αkα④b=ab判断R+是否构成实数域 R上的线性空间：

例5 全体正实数R＋ ， logb a b   a k k a a  a b ab   k k a a  判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 . 1) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , ,      2) 加法与数量乘法定义为： a b R k R , ,      例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．

解：1）R+不构成实数域R上的线性空间2④==log =-1@ R+,④不封闭，如22）R+构成实数域R上的线性空间首先，R+≠の，且加法和数量乘法对R+是封闭的事实上,Va,beRt,a④b=abR,且 ab唯一确定;VaR,VkεR,koa=aεR,且ak 唯一确定.其次，加法和数量乘法满足下列算律@ a④b=ab=ba=b④a② (a④ b)甲c = (ab)甲c = (ab)c= a(bc) =a甲(bc)=a(bc)

1）R＋不构成实数域R上的线性空间. ⊕不封闭，如 1 2 2 1 2 log 1 2      R＋． 2) R＋构成实数域R上的线性空间． 首先，R＋≠  ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的. , , k a R k R k a a R         ,且 a k 唯一确定． 解： a b R a b ab R , ,   事实上,      ,且 ab 唯一确定； 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ② ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c ab c ab c a bc a bc a b c            ① a b ab ba b a     