《计量经济学》受约束回归

§3.6受约束回归 在建立回归模型时,有时根据经济理论需对 模型中变量的参数施加一定的约束条件。 如:0阶齐次性条件的消费需求函数 1阶齐次性条件的C-D生产函数 模型施加约束条件后进行回归,称为受约束 回归( restricted regression) 不加任何约束的回归称为无约束回归 (unrestricted regression

§3.6 受约束回归 在建立回归模型时，有时根据经济理论需对 模型中变量的参数施加一定的约束条件。 如： 0阶齐次性 条件的消费需求函数 1阶齐次性 条件的C-D生产函数 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束 回归（restricted regression）; 不加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）

受约束回归 、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 、参数的稳定性 四、非线性约束

受约束回归 一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性 *四、非线性约束

、模型参数的线性约束 对模型 Y=Bo+BIX+B2x2++BKXk+u (*) 施加约束 B1+B2=1 Bk=B 得 Y=B+B,X+(1-B)X2++Bk-IXk-1+Bk-Xk+u 或y=B+B1X1+B3x3+…+Bk-Xk-1+ 如果对(*)式回归得出B2B1,B3…,Bk1 则由约束条件可得:B2=1-B

一、模型参数的线性约束 对模型 Y =  0 + 1 X1 +  2 X2 ++  k Xk +  施加约束 1 +  2 =1  k−1 =  k 得 * 0 1 1 1 2 1 1 1 Y =  +  X + (1−  )X ++  k − X k − +  k − X k +  或 * * 3 3 1 1 * 0 1 1 * Y =  +  X +  X ++  k− Xk− +  (*) (**) 如果对（**）式回归得出 0 1 3 1 ˆ , , ˆ , ˆ , ˆ      k− 则由约束条件可得： 2 1 ˆ 1  ˆ = −  1 ˆ ˆ  k =  k−

然而,对所考查的具体问题能否施加约束? 需进一步进行相应的检验。常用的检验有: F检验、x2检验与t检验, 主要介绍F检验 在同一样本下,记无约束样本回归模型为 Y=XB+e 受约束样本回归模型为 Y=XB,+ 于是 Y-XB=XB+e-XB=e-X(B-B)

然而，对所考查的具体问题能否施加约束？ 需进一步进行相应的检验。常用的检验有： F检验、x 2检验与t检验， 主要介绍F检验 在同一样本下，记无约束样本回归模型为 Y = Xβ+e ˆ 受约束样本回归模型为 * * ˆ Y = Xβ + e 于是 e Y Xβ Xβ e Xβ e X(β β) * * * * = − ˆ = ˆ + − ˆ = − ˆ − ˆ

受约束样本回归模型的残差平方和RSSR e'e=e'e+(B,-B)XX(B.-B) 于是 ee e'e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSu 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由(*)式 RSSR≥RSSU 从而 ESSa≤ESS 这意味着,通常情况下,对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力

受约束样本回归模型的残差平方和RSSR e e e e (β β) X X(β β) * * * * ˆ ˆ ˆ − ˆ  =  + −   于是 e e e e * *    e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU (*) 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由（*）式 RSSR  RSSU 从而 ESSR  ESSU 这意味着，通常情况下，对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力

但是,如果约束条件为真,则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力, RSSa与RSSU的差异变小。 可用RSS-RSS1的大小来检验约束的真实性 根据数理统计学的知识: RSSulo xf(n-ku-l RSSR/Ox(n-kR-1 (RSSR-RSSuo-x(ky-kr 于是: F、( RSSR RSSU /ku-ko) N F(ku-kea n-ku-d RSSU/(n-ku -D)

但是，如果约束条件为真，则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性 根据数理统计学的知识： / ~ ( 1) 2 2 RSSU   n − kU − / ~ ( 1) 2 2 RSS R   n − kR − ( )/ ~ ( ) 2 2 R U U R RSS − RSS   k − k 于是： ~ ( , 1) /( 1) ( )/( ) − − − − − − − = U R U U U R U U R F k k n k RSS n k RSS RSS k k F

讨论: 如果约束条件无效,RSSR与RSS的差异较大, 计算的F值也较大 于是,可用计算的F统计量的值与所给定的显著 性水平下的临界值作比较,对约束条件的真实性进 行检验。 注意,k-k恰为约束条件的个数

讨论： 如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异较大， 计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著 性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进 行检验。 注意，kU - kR恰为约束条件的个数

例3.6.1中国城镇居民对食品的人均消费需求实 例中,对零阶齐次性检验 无约束回归:RS8=000324,ku3 受约束回归:RSSR=0.00332,K=2 样本容量n=14,约束条件个数k-k=3-2=1 F (0.003315-0.003240)/1 =0.231 0.003240/10 取∞=5%,查得临界值Fo(110)=4.96 判断:不能拒绝中国城镇居民对食品的人均 消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设

例3.6.1 中国城镇居民对食品的人均消费需求实 例中，对零阶齐次性检验： 0.231 0.003240 /10 (0.003315 0.003240)/1 = − F = 取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 判断：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均 消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。 无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数kU - kR=3-2=1

这里的检验适合所有关于参数线性约束的检验 如:多元回归中对方程总体线性性的F检验 Ho:β=0 1.2.k 这里:受约束回归模型为 Y= Bo+us F=(RSSR-RSSUku-kR)=(7SS-ESSR-RSSUk RSS /(n-ku-l) RSSm /(n-k-1 (TSS-RSSU)/k ESS/k RSSm/(n-k-1 RSSm/(n-k-1 这里,运用了ESSR=0

这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验 如：多元回归中对方程总体线性性的F检验： H0： j=0 j=1,2,…,k 这里：受约束回归模型为 Y =  0 + * /( 1) / /( 1) ( )/ /( 1) ( )/ /( 1) ( )/( ) − − = − − − = − − − − = − − − − = RSS n k ESS k RSS n k TSS RSS k RSS n k TSS ESS RSS k RSS n k RSS RSS k k F U U U U U R U U U R U U R 这里，运用了ESSR ＝0

二、对回归模型增加或减少解释变量 考虑如下两个回归模型 Y=B+B1X1+…+BkXk+ Y=B+B1X1+…+BkXk+Bk+Xk+1+…Bk X,+ k+q k+q (*)式可看成是(*)式的受约束回归: HO: Bk1= B Bk+=0 相应的F统计量为: F=(RSS,-RSSu/q RSSu/(n-(k +g+D) (ESSy-ESS)Iq F(, n-(k+q+D) RSSU/(n-(k+q+D))

二、对回归模型增加或减少解释变量 考虑如下两个回归模型 Y =  0 + 1 X1 ++  k Xk +  Y =  0 + 1 X1 ++  k Xk +  k+1 Xk+1 + k+q Xk+q +  (*) (**) (*)式可看成是（**）式的受约束回归： H0： +1 = +2 = = + = 0 k k k q     相应的Ｆ统计量为： ~ ( , ( 1)) /( ( 1)) ( )/ /( ( 1)) ( )/ − + + − + + − = − + + − = F q n k q RSS n k q ESS ESS q RSS n k q RSS RSS q F U U R U R U