中国科学技术大学：《量子力学》课程教学资源（课件讲义）第九章 散射

量子力学 第章:散射 杨焕雄 中囯科技本大地院近代物理 hyang@ustc.edu.cn December 19, 2019

量子力学 第九章：散射 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn December 19, 2019 1 / 45

般性描述 散射又称作量于殛撞.它是姍究徽呢粒于运动规、掴豆作用 及它们的内鄙结构的基融,在亚原于均理骨的发厚中占有虽 轻重的燃位 在散射宾验中,买有确定初量的拉子沿确定的方间射间靶拉子 受到靶粒于的作用后窳生偏转.这就是歡射的基弃沏理因像 Particles scattered in dQ long the direction (0, o) 1 dA=r2dQ HHh Unscattered

一般性描述： 散射又称作量子碰撞. 它是研究微观粒子运动规律、相互作用以 及它们的内部结构的基础，在亚原子物理学的发展中占有举足 轻重的地位. 在散射实验中，具有确定动量的粒子沿确定的方向射向靶粒子、 受到靶粒子的作用后发生偏转. 这就是散射的基本物理图像. 2 / 45

誓齿: ⌒射拉于与靶拉子的相豆作用只在空间一个小区成中才比簌 垦着.因鸿,⌒射拉子与出尉拉子均处于自由粒子态1. ◎如釆在散尉过程中,八射拉予和靶拉于之间没有发生絆量的 传、因而二者的垌对运动量没有宣生变化,則称运种散 射为碑性散射,石則即为非殚散射,弃课程仅考志碑性散 歡尉过程际上是由于空间小区中的相豆作用导致的教于奴一个由拉 于忐间易一个訇由拉予忐的默迁

警告： 1 入射粒子与靶粒子的相互作用只在空间一个小区域中才比较 显著. 因此，入射粒子与出射粒子均处于自由粒子态1 . 2 如果在散射过程中，入射粒子和靶粒子之间没有发生能量的 传递、因而二者的相对运动能量没有发生变化，则称这种散 射为弹性散射. 否则即为非弹性散射. 本课程仅考虑弹性散 射. 1散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导致的粒子从一个自由粒 子态向另一个自由粒子态的跃迁. 3 / 45

散射的窦验资料 Particles scattered in dQ along the direction(0. o) Target rdQ Hh Range of Incident particles 取八射粒子的⌒射方间为z釉,⌒射粒子的概率流密度矢量为 1=k 因为靶粒子的作用,粒子旖会沿衾个方间被散射,它在单伍时间 内沿(日,中)方间的立体角△出射的率

散射的实验资料： 取入射粒子的入射方向为 z 轴，入射粒子的概率流密度矢量为： ~Ji “ Ji ˆk 因为靶粒子的作用，粒子将会沿各个方向被散射. 它在单位时间 内沿 p; q 方向的立体角 dΩ 出射的概率 dP „ JidΩ 4 / 45

把工写为等式,即有 dP=(6,中)A 比例余数σ(日,中)具有面积的量纲,故散射理论中称真为徽分 散射載面 Φσ(6,中)是散射验的可观测物理量之一,它就是散尉问题中 的宾验资井 设八射粒予的讪絆为E,其初忐波函数为动量的画数 洪处k=√μ/迸⌒到靶拉于蒈炻V行的有放力程之后,出 射拉子的行为由如下薛定谔方程决定

把上式写为等式，即有： dP “ p; qJidΩ 比例系数 p; q 具有面积的量纲，故散射理论中常称其为微分 散射截面. 1 p; q 是散射实验的可观测物理量之一，它就是散射问题中 的实验资料. 设入射粒子的动能为 E，其初态波函数为动量的本征函数： i “ e ikz 此处 k “ ? 2E{ℏ. 进入到靶粒子势场 Vp~rq 的有效力程之后，出 射粒子的行为由如下薛定谔方程决定： „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vp~rq ȷ “ E 5 / 45

散射理论的重妥任奇之一就是要谖把散射面等现測量与反映 掴豆作用V及粒于内鄢伟构的藓定谔方程的解ψ联余起来 下面开厮究运神联余的具体刑式 实验上阅徽分散射載面都是在远离靶粒予的点迸行的。困鸿, σ(6,中)应由定谔方程在r=团∽→+∞教很下的渐近行为所决 定 设靶拉予槿供的豆作用有放蒈態具有球对称性,V(刁=Wr), 拟鸿,r∽+情形下的定谔方程的解可压球坐标近φ 为 y=()%m(6,中 式中, h2 d/dr for= V2+N9 2(a

散射理论的重要任务之一就是要设法把散射截面等观测量与反映 相互作用 Vp~rq 及粒子内部结构的薛定谔方程的解 联系起来. 下面开始研究这种联系的具体形式. 实验上观测微分散射截面都是在远离靶粒子的地点进行的. 因此， p; q 应由薛定谔方程在 r “ |~r| ù `8 极限下的渐近行为所决 定. 设靶粒子提供的相互作用有效势能具有球对称性，Vp~rq “ Vprq， 且： Vprq ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 “ 0 如此，r ù `8 情形下的薛定谔方程的解可在球坐标系里近似 地表为： “ RprqYlmp; q 式中， ER “ „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq ȷ R « ´ ℏ 2 2r 2 d dr ˆ r 2 dR dr ˙ 6 / 45

令()=()/,不难看到 d +kn≈0,a(1)=A+B 计及散射间题的物理因像,应鼠积分常数B=0.因鸿,薛定谔 方程的散射解在r∽十⑦处的澌近行为可达为 (,6,9 +18的 若没有靶拉于的作用,⌒射拉于旖仍处在ψ=如描写的 量弃 ●在有靶粒于府在的情鸦下,靶拉子的作用旖使得拉子在出射 时改变方间,从而出现散射欐率滅.在远离靶拉子的把点, 散射滅是球面波 f(6,φ) 真中爪(日,中)是沿(日,)方间传橋出去的散射滅振,称为散 射振幅

令 Rprq “ uprq{r，不难看到： d 2u dr2 ` k 2 u « 0; ù uprq “ Aeikr ` Be´ikr 计及散射问题的物理图像，应取积分常数 B “ 0. 因此，薛定谔 方程的散射解在 r ù `8 处的渐近行为可表达为： pr; ; q ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ e ikz ` fp; q e ikr r 理由： 若没有靶粒子的作用，入射粒子将仍处在 i “ e ikz 描写的动 量本征态. 在有靶粒子存在的情形下，靶粒子的作用将使得粒子在出射 时改变方向，从而出现散射概率波. 在远离靶粒子的地点， 散射波是球面波： fp; q e ikr r 其中 fp; q 是沿 p; q 方向传播出去的散射波振幅，称为散 射振幅. 7 / 45

评论 酋光思考两个问题: g:怎群确定f日,中)的确切刑式? ●②:徽分散尉教σ(日,刂)与歡射振爪日,中)有何联余? 显,只有通过求群薛定谔方程: -2v2+y- 齐求出它在r心十⑦处的澌近解,才態最绉确定散射振幡 f(6,中)的具体刑 心→+①处散射波波画数的渐近行为是: ~f(6,中) r→+

评论： 首先思考两个问题： Q：怎样确定 fp; q 的确切形式？ Q：微分散射截面 p; q 与散射振幅 fp; q 有何联系？ 显然，只有通过求解薛定谔方程： „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq ȷ “ E 并求出它在 r ù `8 处的渐近解，才能最终确定散射振幅 fp; q 的具体形式. r ù `8 处散射波波函数的渐近行为是： s ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ fp; q e ikr r 8 / 45

因鸿,r∽→+①处的概車密庋矢量沿(6,中)方间的投影为 ( a- b-a" a, s) →+ 的P(--+)- 注處到刀的物理义:拉子反单伍时间内沿(日,中)方间单住教面 出射的概率,因,出射粒于在单住时间内进八到(日,中)方向的 立体角中的率为 P-=△2=,A 此概率又可等竹把写为 dP=(6,中)A 再注意到八射粒子的概率密庋矢量的大小是 o:-cc

因此，r ù `8 处的概率流密度矢量沿 p; q 方向的投影为： Js “ iℏ 2 p sBr ˚ s ´ ˚ s Br sq ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 “ iℏ 2 |fp; q|2 ˆ ´ ik r 2 ´ 1 r 3 ´ ik r 2 ` 1 r 3 ˙ “ ℏk  |fp; q|2 r 2 注意到~Js 的物理意义：粒子在单位时间内沿 p; q 方向单位截面 出射的概率，因此，出射粒子在单位时间内进入到 p; q 方向的 立体角 dΩ 中的概率为： dP “ Jsds “ Jsr 2 dΩ “ ℏk  |fp; q|2 dΩ 此概率又可等价地写为： dP “ p; qJidΩ 再注意到入射粒子的概率流密度矢量的大小是： Ji “ iℏ 2 p iBz ˚ i ´ c:c:q “ ℏk  9 / 45

杷这儿个公式相结合,可得: σ(6,中)=(6, 有了o(,中)之后,还可以迸一步计算的散射教面 0r=|△2o(6,中) dp ve, p)1 sin ede 真寅的散射实验窄设计的使出尉耘于函数祇从对称的边 界余件 y(r,6,中) r→+① 如鸿,徽分散射教面与赵軟面的计算公卖简化为: o(0)=1(0)1, 0T=2T 0)1 sin ede

把这几个公式相结合，可得： p; q “ |fp; q|2 有了 p; q 之后，还可以进一步计算总的散射截面： T “ ż dΩp; q “ ż 2 0 d ż  0 |fp; q|2 sin d 真实的散射实验常设计的使出射粒子波函数服从轴对称的边 界条件： pr; ; q ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ e ikz ` fpq e ikr r 如此，微分散射截面与总截面的计算公式简化为： pq “ |fpq|2 ; T “ 2 ż  0 |fpq|2 sin d 10 / 45