《自动控制》第五章 根轨迹法（5.2）绘制根轨迹的基本条件和基本规则

§5-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则 绘制根轨迹的基本条件 系统特征方程1+G(s)H(s)=0→G(s)H(S)=-1 幅值条件:|G(s)H(s)=1 相角条件:∠G(S)HS)=±(2q+1),q=0,1,2, 考虑开环传递函数G(s)H()= 因此 ∏(s-p,) K∏ pi 幅值条件 或 Ils-p 相角条件:∑∠s-)-∑∠-p)=±(2q+1)T,q=01,2 绘制根轨迹的基本规则 规则一:根轨迹的分支数和对称性 分支数等于特征方程的阶数对称于实轴 规则二:根轨迹的起点和终点 从开环极点出发;趋向开环零点或无穷远处 IIIs-p K1=0为根轨迹的起点s=p IIIs-z, S-Z K1→∞为根轨迹的终点 或 s→ K IIs→p 规则三:实轴上的根轨迹 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时,这些线段就是根轨 迹的部分 规则四:根轨迹的渐进线 n-m条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定

§ 5-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 一． 绘制根轨迹的基本条件 系统特征方程 1+G(s)H(s)=0  G(s)H(s)=-1  幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件: ∠ G(s)H(s)=±(2q+1)π , q=0,1,2,… 考虑开环传递函数   = = − − = n i i m j j s p K s z G s H s 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ,因此 幅值条件: 1 | | | | 1 1 1 = − −   = = n i i m j j s p K s z 或   = = − − = m j j n i i s z s p K 1 1 1 | | | | 相角条件: ( ) ( ) 1 1   = =  − −  − m j n i j p j s z s =±(2q+1)π , q=0,1,2,… 二． 绘制根轨迹的基本规则 规则一: 根轨迹的分支数和对称性 分支数等于特征方程的阶数; 对称于实轴 规则二: 根轨迹的起点和终点 从开环极点出发; 趋向开环零点或无穷远处   m i 1 j n i 1 i 1 |s z | |s p | K = = − − = , K1=0 为根轨迹的起点 s = pi   n i 1 i m i 1 j 1 |s p | |s z | K 1 = = − − = ， K1→∞为根轨迹的终点 s = zj 或 s→∞ 规则三: 实轴上的根轨迹 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时, 这些线段就是根轨 迹的部分 规则四: 根轨迹的渐进线 n-m 条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定

渐进线的倾角为:o ±(2+1)丌 g=0,1,2, 渐进线与实轴的交点为:σ= n-m 规则五:根轨迹的分离点、会合点、和分离角 分离点和会合点必须满足方程 dK 必要条件 ds 分离角-根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角 分离角=(2q+xr为重根数 规则六:根轨迹的出射角和入射角 出射角从复数极点出发的角度 入射角到达复数零点的角度 图5-8:取靠近P的点,由相角条件 (1-=1)-∠(-p1)-∠61-P2)-∠(1-p3)=(2q+1)z,q=0,2, s1→,则 ∠(s-p1)=(2q+1)z PI-p PI-p 般情况:0=x+4n1-)n-n 同理 ∠(-)-∑4(x-n) 规则7根轨迹与虚轴的交点 两种方法:(1)用劳斯判据求 (2.将s=j带入特征方程求解 规则8闭环极点的和与积 系统特征方程(n>m时为 P s+a 0

渐进线的倾角为: 0,1,2, (2 1) = −  + = q n m q a   渐进线与实轴的交点为: n m p z n i m j i j a − − =   =1 =1  规则五: 根轨迹的分离点、会合点、和分离角 分离点和会合点必须满足方程 0 1 = ds dK ----必要条件 分离角----根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角 分离角= r (2q +1) r 为重根数 规则六: 根轨迹的出射角和入射角 出射角:从复数极点出发的角度 入射角:到达复数零点的角度 图 5-8:取靠近 P1 的点 1 s ,由相角条件: (s1 − z1 )− (s − p1 )− (s1 − p2 )− (s1 − p3 ) = (2q +1)，q = 0，1，2， 1 1 s → p ，则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 3 1 1 s p 2q 1 p p p p p z  p =  − = +  −  − −  − +  − 一般情况: ( ) ( )           = +  − − −  = = n i k i k i m j pk k j p z p p 1 1   同理: ( ) ( )           = −  − − − =  = n i k i m j k j zk k j z z z p 1 1   规则 7.根轨迹与虚轴的交点. 两种方法: (1).用劳斯判据求 (2).将 s = j 带入特征方程求解 规则 8.闭环极点的和与积. 系统特征方程(n>m 时)为 ( ) ( ) n n n n m j j n i i s − p + K s − z = s + a s + + a s + a − − = =   1 1 1 1 1 1  ( ) n n i i =  s − s = s =1 ( ) 0 1 1 1 + + − =         + − = − = n i n i n i i s s  s

S:=- ∏I(s 可利用此性质判闭环极点s的分布情况 n-m≥2时,∑S=∑P=-a1常数 一些s变化后另一些s会做相反变化 三.闭环极点的确定: Pi 1.在根轨迹上任取一点可由K1 确定相应的K值. 2给定ξ值可由β=cos-做射线求得一对共轭复根

1 1 s a n i  i = − = ( ) n n i i  − s = a =1 可利用此性质判闭环极点 i s 的分布情况 1 1 1 n m 2 s p a n i i n i −   i =  = − = = 时， 常数 一些 i s 变化后,另一些 i s 会做相反变化. 三． 闭环极点的确定: 1.在根轨迹上任取一点,可由   = = − − = m j j n i i s z s p K 1 1 1 确定相应的 K1 值. 2.给定  值,可由   1 cos− = 做射线,求得一对共轭复根