河南大学：《电路原理》课程教学资源（课件讲稿）第14章 线性动态电路的复频域分析

第十四章线性动态电路的复频域分析 ●重点 (1)拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理

第十四章 线性动态电路的复频域分析 重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理

14.1 拉普拉斯变换的定义 1.拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时域函数 )与频域函数Fs)联系起来，把时域问题通过数学变换为频 域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便 求解。 拉氏变换： 对应 时域函数f)原函数) 频域函数F(S(象函数)

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时域函数 f(t)与频域函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为频 域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便 求解。 14.1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏变换法 拉氏变换： 对应 时域函数f(t)(原函数) 频域函数F(s)(象函数)

例 熟悉的变换 对数变换 把乘法运算变换为对数加法运算 A x B=AB ↓ 个 g A+lg B=lg AB 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算 正弦量i1+i2=i 相量

相量法 I I I i i i            1 2 1 2 相量 正弦量 把时域的正弦运算变换为复数运算 例 熟悉的变换 对数变换 A B AB A B AB lg lg lg        把乘法运算变换为对数加法运算

2.拉氏变换的定义 一个定义在0，∞)区间的函数0的拉普拉斯变换式定义为 F(s)=f(t)e-"di 正变换 s为复数 s=0+jo Fs)称为f)的象函数，t)称为F⑤)的原函数

2. 拉氏变换的定义 一个定义在 [0,∞)区间的函数f(t) 的拉普拉斯变换式定义为 F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 (s) ( ) 0 F f t e dt st     s为复数 s    j 正变换

F(s)=()e-"di 正变换 w-2 F(s)esds 反变换 简写 烟网 正变换 反变换 应用拉氏变换进行电路分析的方法称为电路的复频域分 析法，又称运算法

(s) 2 1 ( ) F e ds j f t st c j c j       反变换 应用拉氏变换进行电路分析的方法称为电路的复频域分 析法，又称运算法。           ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f t F s F s f t 简写 正变换 反变换 (s) ( ) 0 F f t e dt st     正变换

F(s)=[f(t) 正变换 简写 f)=-[F(s] 反变换 注 F(s))ed=f()e-"df)e"d 在=0至=0+ )=δ()时此项≠0 ② 象函数F(s)用大写字母表示，如Is),Us)。 原函数t)用小写字母表示，如i(),(t)

注 在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项  0           ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f t F s F s f t 简写 正变换 反变换 F s f t e dt f t e dt f t e dt st st st               0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 象函数F(s) 用大写字母表示,如 I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。 2

3 象函数F(S)存在的条件： 。f()edt为有限值 e为收敛因子 如果存在有限常数M和c使函数)满足： f(t)≤Met∈0，ool 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即)的拉氏变换式F(s)总存在

如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足： f (t)  Me t [0,] ct 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。 3 象函数F(s) 存在的条件： ( ) 为有限值 0 f t e dt st     e st 为收敛因子

3.典型函数的拉氏变换 F(s)=f()e-"dt (1)单位阶跃函数的象函数 f(t)=(t) Fs)=[s(t】=et)e"dh 二 h e 00 1 S

3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 ( ) ( ) 0 F s f t e dt st      f (t)   (t) F s t t e dt st      0 ( ) [ ( )]  ( )      0 1 st e s s 1      0 e dt st

(2)单位冲激函数的象函数 f(t)=6(t) F(s)=[(]=[6(te "dt =[8(t)e-"dt =e-"=1 (3)指数函数的象函数 f(t)=ea 00 F(s)=Pe"=[e"e-"di -e (s-a)t s+a 0. s-a

(3)指数函数的象函数        0 1 (s )t e s     s 1 (2)单位冲激函数的象函数      0 0 (t)e dt st  f (t)   (t) F s t t e dt st      0 ( ) [ ( )]  ( ) 1 0    s e t f t e ( )  F s e  e e dt t t st      0 ( )  

14.2拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 若[f()]=F(s),出[f()】=F2(s) 则[A)+A,f)]=A,[f)]+A,2[f2()] =A,F(S)+A2F2(S)A1,A为任意实常数 证：2[A0+A,)=[A0+AO A(te"d+(te"de =A F(s)+A2F2(S)

14.2 拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质   f t f t e dt st      0 1 1 2 2 A ( ) A ( ) f t e dt f t e dt st st          0 2 2 0 1 1 A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) 1 1 2 2  F s  F s A ( ) A ( ) 1 1 2 2  F s  F s [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 1 1 2 2 若 f t  F s f t  F s A ( ) A ( ) 1 1 2 2 则 f t  f t A  ( ) A  ( ) 1 1 2 2  f t  f t A ( ) A ( ) 1 1 2 2 证： f t  f t A1 , A2 为任意实常数