内蒙古科技大学：《材料成型控制工程基础》课程授课教案（讲义）第6章 最优控制系统与自适应控制系统

物 内 蒙古科技大学教案 材料与冶金学院李振亮 课程名称：《材料成型控制工程基础》（第6章，共11章） 编写时间：2010年8月30日 6最优控制系统与自适应控制系统 授课章节 6.1最优控制系统6.2最小值原理6.3基于二次性能指标的最优控制系统6.4自适应控制系 统 本章内容属于现代控制策略的范畴。学习本章，要了解古典变分法与现代变分法的区别和联 目的要求 系、最小值原理的历史发展：熟悉三次性能指标的最优控制系统、自适应控制的相关概念： 掌握现代控制理论的主要研究内容，最优控制系统的分类、性能指标、数学模型、求解方法。 重点：重点掌握泛函数、变分法、哈密尔顿函数等概念，能够从泛函和变分法的角度到 重点难点 解最小值原理的实质，并能应用最小值原理来求解时间最优问题。 难点：二次性能指标

1 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案 材 料 与 冶 金 学 院 李 振 亮 课程名称：《材料成型控制工程基础》 （第 6 章，共 11 章） 编写时间：2010 年 8 月 30 日 授课章节 6 最优控制系统与自适应控制系统 6.1 最优控制系统 6.2 最小值原理 6.3 基于二次性能指标的最优控制系统 6.4 自适应控制系 统 目的要求 本章内容属于现代控制策略的范畴。学习本章，要了解古典变分法与现代变分法的区别和联 系、最小值原理的历史发展；熟悉二次性能指标的最优控制系统、自适应控制的相关概念； 掌握现代控制理论的主要研究内容，最优控制系统的分类、性能指标、数学模型、求解方法。 重点难点 重点：重点掌握泛函数、变分法、哈密尔顿函数等概念，能够从泛函和变分法的角度理 解最小值原理的实质，并能应用最小值原理来求解时间最优问题。 难点： 二次性能指标

6最优控制系统与自适应控制系统 本章将介绍最优控制理论与自适应控制理论中的一些基本知识。 6.1最优控制系统 最优控制是现代控制理论中的优化技术，旨在寻求某种性能指标要求下的一种最好的 控制箭路。采用最优控制理论，可以使控制系统的某一性能指标估达到极小（或极大），从 而实现最优控制系统的设计。20世纪50年代末贝尔曼(RE.Bellman))创立“动态规划”原 理、庞特里亚金(Pontryagin)创立“最大值原理”，从那时开始最优控制理论得到了迅速 发展。 6.1.1最优控制系统的定义 最优控制系统是这样的一种系统，它在完成要求的控制任务时，能使某项性能指标为 品代值 下面给出几类最优控制系统的可能形式 (1)在整个控制过程中使误差达到极小的系统。 (2)时间最优控制系统。在控制量受约束的条件下，如何在最短时间内，将系统 从初始状态转移到预定状态，这一类控制问愿被称为时间最优控制问题。 (3)是代末情地制系统。且右要求的局什终了本小的系统 (4) 能量（燃料）最优控制系统。消耗最少能量（燃料）的系统 最大可靠性系统、最小投资系统，等等。 6.12最优控制系统的性能指标 通常，最优控制系统的性能指标分成如下三类： (】)积分型性能指标（拉格朗日型） =，a (6-1) (2)末值型性能指标（梅耶尔型） 掌握 J()=x()t] (6-2) 内蒙古科技大学教案

2 6 最优控制系统与自适应控制系统 本章将介绍最优控制理论与自适应控制理论中的一些基本知识。 6.1 最优控制系统 最优控制是现代控制理论中的优化技术，旨在寻求某种性能指标要求下的一种最好的 控制策略。采用最优控制理论，可以使控制系统的某一性能指标值达到极小（或极大），从 而实现最优控制系统的设计。20 世纪 50 年代末贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原 理、庞特里亚金（Pontryagin）创立“最大值原理”，从那时开始最优控制理论得到了迅速 发展。 6.1.1 最优控制系统的定义 最优控制系统是这样的一种系统，它在完成要求的控制任务时，能使某项性能指标为 最优值。 下面给出几类最优控制系统的可能形式： （1） 在整个控制过程中使误差达到极小的系统。 （2） 时间最优控制系统。在控制量受约束的条件下，如何在最短时间内，将系统 从初始状态转移到预定状态，这一类控制问题被称为时间最优控制问题。 （3） 最优末值控制系统。具有要求的最优终了状态 x(tf)的系统。 （4） 能量（燃料）最优控制系统。消耗最少能量（燃料）的系统。 （5） 最大可靠性系统、最小投资系统，等等。 6.1.2 最优控制系统的性能指标 通常，最优控制系统的性能指标分成如下三类： （1）积分型性能指标(拉格朗日型)    = f t t J u L x t u t dt 0 ( ) ( ), ( ) （6-1） (2)末值型性能指标（梅耶尔型） ( ) [ ( ), ] f f J u =  x t t （6-2） 掌握 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案

(3)综合性能指标（波尔扎型） Jm)=x0,1y]+广xt),u) (6-3) 6.1.3最优控制问题的数学模型 系统最优控制问题的数学模型可以用如下4个方程来描述： (1)给定系统的状态方程 x()=f(.u( (2)状态方程的边界条件 1=n x(to)=xo x(t)ES (3)给定性能指标 掌握 I(w0=x(0,t]+'Lx(t),ut)] (4)允许控制域) ut)eU 确定一个最优控制“*)的过程，就是使系统从初始状态x)转移到终端状态(t) 并使性能指标J侧具有极大（极小）值。 6.14最优控制问题的求解方法 最优控制问题常用的求解方法有如下三种 (1)古典变分法 (2)动态规划法 (3)最小值原理 本章只者重介绍最小值原理的相关知识。 6.2最小值原理 原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控制的成果，在 1956-1958年间逐步创立了“最大值原理”，把经典变分法求极值问题进行了推广，特别 是对控制函数)受限制这一类问题的求解行之有效，而对)不受限的情况，用该原理求 掌握 解则和经典变分法是一样的。通常该原理又称为“最小值原理” 即当控制作用的大小限 制在一定范围内时， 由最 控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最 小值 原理的证明非常复杂，本章只介绍最小值原理的内容及其应用，略去了该原理的数学证 明。 6.2.1最小值原理 设系统的状态方程为： x(t)=fx().u(t) (64) 式中x为n维状态向量 x=1x1X2x 内 蒙 古科技大学教案

3 (3)综合性能指标（波尔扎型）  = + f t t f f J u x t t L x t u t 0 ( ) [ ( ), ] [ ( ), ( )] （6-3） 6.1.3 最优控制问题的数学模型 系统最优控制问题的数学模型可以用如下 4 个方程来描述： (1) 给定系统的状态方程 x(t) = fx(t),u(t) • (2)状态方程的边界条件 0 t = t 0 0 x(t ) = x f t = t x t S ( f ) (3)给定性能指标  = + f t t f f J u x t t L x t u t 0 ( ) [ ( ), ] [ ( ), ( )] (4)允许控制域 u(t) u(t)U 确定一个最优控制 u*(t)的过程，就是使系统从初始状态 x(t0)转移到终端状态 x(tf) ， 并使性能指标 J(u)具有极大（极小）值。 6.1.4 最优控制问题的求解方法 最优控制问题常用的求解方法有如下三种： （1） 古典变分法 （2） 动态规划法 （3） 最小值原理 本章只着重介绍最小值原理的相关知识。 6.2 最小值原理 原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控制的成果，在 1956~1958 年间逐步创立了“最大值原理”，把经典变分法求极值问题进行了推广，特别 是对控制函数 u(t)受限制这一类问题的求解行之有效，而对 u(t)不受限的情况，用该原理求 解则和经典变分法是一样的。通常该原理又称为“最小值原理”，即当控制作用的大小限 制在一定范围内时，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值。这 一原理的证明非常复杂，本章只介绍最小值原理的内容及其应用，略去了该原理的数学证 明。 6.2.1 最小值原理 设系统的状态方程为： x(t) = fx(t),u(t) • （6-4） 式中 x 为 n 维状态向量 x=[x1 x2 .xn] T 掌握 掌握 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案

W为r维控制向量： a-fww.wf 并且一般“要受到限制 ,mn≤4，≤4m (6-5) 给定性能指标为： J0)='x),0】 (6-6) 现在的问题是，需要在满足式6-5的允许控制中，确定一个控制变量仙，使式64描述的系统从初 态x)转移到终态 展桃整的过程中，式66描述的系统性能指标失现极不值二 这个转移过程中的控制变量 所以，求解系统最小值的过程，就是当系统的状态方程为)，把系统从给定初态0)=xm时刻转 移到终端时刻y给定的自由终端状态，并使性能指标J()的值达到最小。 实现极小值的最优控制应满足的必要条件是： 设u()是最优控制，x0是对应于“()的最优轨线。引入一个标量函数H,又称“哈密尔顿 (Hamiltonian)函数Hx(),2(t),u(t】”。对于哈密尔顿(Hamiltonian)函数 x0),40=0+20/x, 则必存在一个与u)和x)相对应的伴随变量20，满足： (1))和x()是下列伴随方程的唯一解 oa'( (6-7) (6-8) (2)在初态)给定，终端时刻给定，终端状态自由的情况下，边界条件为： x(to)=xo x(t)=x (6-9) 4;mn≤4，≤l,m (3)如果Hx'(),),()在[,内连续，并在极值处对的一阶偏导数存在，哈密顿函数 Hx(),),()】对控制变量u实现最小值，即： Hx(),),u() =w0 (6-10) 内蒙古科技大学教案

4 u 为 r 维控制向量： u=[u1 u2.ur] T 并且一般 u 要受到限制 ui min  ui  ui max （6-5） 给定性能指标为：  = f t t J u L x t u t 0 ( ) [ ( ), ( )] （6-6） 现在的问题是，需要在满足式 6-5 的允许控制中，确定—个控制变量 u(t)，使式 6-4 描述的系统从初 态 x(t0)转移到终态 x(tf)的过程中，式 6-6 描述的系统性能指标实现极小值。这个转移过程中的控制变量 u(t)就称为最优控制，记为 u*(t)。 所以，求解系统最小值的过程，就是当系统的状态方程为 x(t) • ，把系统从给定初态 x(t0)= x0 时刻转 移到终端时刻 tf 给定的自由终端状态 x(tf)，并使性能指标 J (u) 的值达到最小。 实现极小值的最优控制应满足的必要条件是： 设 u*(t)是最优控制，x*(t)是对应于 u*(t)的最优轨线。引入一个标量函数 H，又称“哈密尔顿 （Hamiltonian）函数 H[x(t),(t),u(t)] ”。对于哈密尔顿（Hamiltonian）函数 H[x(t),(t),u(t)] = Lx(t),u(t)+ (t) fx(t),u(t) 则必存在一个与 u*(t)和 x*(t)相对应的伴随变量 λ*(t)，满足： （1）λ*(t)和 x*(t)是下列伴随方程的唯一解       = • ( ), ( ), ( ) ( ) * * * * H x t t u t x t （6-7）   x H x t t u t t   = − • ( ), ( ), ( ) ( ) * * * *   （6-8） （2）在初态 x(t0)给定，终端时刻 tf 给定，终端状态 x(tf)自由的情况下，边界条件为： 0 0 * x (t ) = x f f x (t ) = x * （6-9） ui min  ui  ui max （3）如果 [ ( ), ( ), ( )] * * H x t  t u t 在[t0, tf]内连续，并在极值处对 u(t)的一阶偏导数存在，哈密顿函数 [ ( ), ( ), ( )] * * H x t  t u t 对控制变量 u (t)实现最小值，即：   0 ( ), ( ), ( ) ( ) * * * * =   = u H x t t u t  u u t （6-10） 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案

这样，就确定了最优控制“。所以将式64中系统从初态o)转移到某个终态)， 并使式6-6中的性能指标实现极小值的问题，也就是求最优控制函数)使哈密顿函数实 现最小值的问题。显然，控制方程610也可以写成如下形式： Hx'0),20,u'0】=mmHx'0,20,0】 (6-11) 求解该最优控制问题时，通过控制方程6-10或611可求得： w(t0=(x,元，t0 (6-12) 再把，)分别代入状态方程6-7和伴随方程6-8中，在边界条件方程69条件下分 别进行正向和反向积分，即解两边边界值问题可以得到状态变量和伴随变量的解)与0)， 最后把()与()代入式6-12即可得到最优控制㎡) 应该指出，最小值原理放宽了应用条件使性能指标获得全局最小H为全局最小)：但 是最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符合最小值原理的控制能否使 性能指标取最小值，还需根据问题的物理性质来进一步判断，如果根据物理意义已经确定 所讨论最优控制问题的解是存在的，而由最小值原理求得的控制又只有一个，那么该控制 就是最优控制。若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号，即可应用最 小值原理来求解。 6.2.2应用举例 了 6.3基于二次性能指标的最优控制系统 了解（自学 不讲。可作为 “课程论文” 的学习内容) 6.4自适应控制系统 6.4.1自适应控制系统的定义 熟悉 6.4.2自适应控制系统的基本结构

5 这样，就确定了最优控制 u*(t)。所以将式 6-4 中系统从初态 x(t0)转移到某个终态 x(tf)， 并使式 6-6 中的性能指标实现极小值的问题，也就是求最优控制函数 u*(t)使哈密顿函数实 现最小值的问题。显然，控制方程 6-10 也可以写成如下形式； [ ( ), ( ), ( )] min [ ( ), ( ), ( )] * ( ) * * H x t t u t H x t t u t u t U    = （6-11） 求解该最优控制问题时，通过控制方程 6-10 或 6-11 可求得： ( ) ( , , ) * u t = u x  t （6-12） 再把 u(x, λ, t)分别代入状态方程 6-7 和伴随方程 6-8 中，在边界条件方程 6-9 条件下分 别进行正向和反向积分，即解两边边界值问题可以得到状态变量和伴随变量的解 x(t)与 λ(t)， 最后把 x(t)与 λ(t)代入式 6-12 即可得到最优控制 u*(t)。 应该指出，最小值原理放宽了应用条件使性能指标获得全局最小(H 为全局最小）；但 是最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符合最小值原理的控制能否使 性能指标取最小值，还需根据问题的物理性质来进一步判断，如果根据物理意义已经确定 所讨论最优控制问题的解是存在的，而由最小值原理求得的控制又只有一个，那么该控制 就是最优控制。若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号，即可应用最 小值原理来求解。 6.2.2 应用举例 6.3 基于二次性能指标的最优控制系统 6.4 自适应控制系统 6.4.1 自适应控制系统的定义 6.4.2 自适应控制系统的基本结构 了解 了解（自学， 不讲。可作为 “课程论文” 的学习内容） 熟悉