《自动控制原理》课程授课教案（讲稿）第五章 频率法

第周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第五章：频率法授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】了解频率特性的基本概念及表示方法，典型环节的频率特性，闭环系统频率特性，暂态特性与闭环频率特性的关系。熟悉和掌握系统开环频率特性的绘制，Nyquist稳定判据，系统稳态误差和开环频率特性的关系，开环对数频率特性的基本性质，系统暂态特性与开环频率特性的关系。【重点】系统开环频率特性的绘制，Nyquist稳定判据，Bode定理及其应用。频率特性法控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。。在工程实践中，往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。。控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。频率特性分析法的特点频率特性分析法（FrequencyResponse），又称为频域分析法是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：①根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能，得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响，并提出改进系统的方法。②具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。③时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。5.1频率特性的基本概念

课程名称：《自动控制原理》 第 周，第 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第五章：频率法 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】了解频率特性的基本概念及表示方法，典型环节的频率特性，闭环系统频率特性， 暂态特性与闭环频率特性的关系。熟悉和掌握系统开环频率特性的绘制，Nyquist 稳定判据， 系统稳态误差和开环频率特性的关系，开环对数频率特性的基本性质，系统暂态特性与开环频率 特性的关系。 【重 点】系统开环频率特性的绘制，Nyquist 稳定判据，Bode 定理及其应用。 频率特性法 控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能，对于一阶、二阶系统可以快 速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。 因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解 高阶系统在输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下 才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参 数。 ⚫ 在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程，而是希望避开繁复的计算， 简单、直观地分析出系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析方 法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 ⚫ 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的 响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等， 是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。 频率特性分析法的特点 频率特性分析法（Frequency Response） ，又称为频域分析法是一种图解的分析方法，它 不必直接求解系统输出的时域表达式，而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应 性能，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如： ①根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能, 得到定性和定量的结论，可 以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。 ②具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得 元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法 去建立数学模型的系统尤其有利。 ③时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及 经验公式，简化控制系统的分析与设计。 ⚫ 频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。 近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。 ⚫ 本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳 定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。 5.1 频率特性的基本概念

、基本概念示例：如图5-1所示一阶RC网络，ui（t)与uo（t)分别为输入与输出信号，其传递函数为1Uo(s)G(s)=Ts+1Ui(s)ROi(tu（tu(tOC图5-1RC网络其中T=RC，为电路的时间常数，单位为S。在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即ui（t)=Uisinのt时Ui与の分别为输入为信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。输出的拉氏变换为：1UpUo (s)=$2+02Ts+1对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：2U,ToU,r+sin(wt-arctamT w)uo(t)1+T2/1+T0输出由两项组成，第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由电路本身的时间常数工决定。第二项是稳态响应分量，当t→8时，瞬态分量衰减为0，此时电路的稳态输出为：U.lim u,(t)=sin(wt-arctanTw)=U.sin(ottg)t→o/1+T2可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅值与相位不同，输出滞后于输入。输入输出幅值比为1A输入信号为ui（t)=Uisinot输入输出相位差为@=-arctanTのV1+T?@?二者均仅与输入频率の，以及系统本身的结构与参数有关。实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r（t）=sinot时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为Css（t）=Asin（@t+p），如图所示。r(t)(t)线性定sinotAsin(wtto)常系统t图5-2线性系统及频率响应示意图

R C 图5-1 RC网络 ui(t ) u0(t ) i(t ) 线性定 常系统 sint Asin（ωt+） t r（t） Cs s（t）  图5-2 线性系统及频率响应示意图 一、基本概念 示例：如图 5-1 所示一阶 RC 网络，ui(t)与 uo(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为 G(s)= 其中 T=RC，为电路的时间常数，单位为 s。在零初始条件下， 当输入信号为一正弦信号，即 ui(t)=Uisin t 时 Ui 与  分别 为输入为信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。 输出的拉氏变换为： Uo(s)= × 对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式： 输出由两项组成，第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由电路本身的时间常数 T 决定。第二项是稳态响应分量，当 t→∞时，瞬态分量衰减为 0，此时电路的稳态输出为： 可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅值与相位不同，输出滞后于输入。 输入输出幅值比为 A= 输入信号为 ui(t)=Uisin t 输入输出相位差为 = -arctanTω 二者均仅与输入频率 ，以及系统本身的结构与参数有关。 实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正 弦信号 r（t）=sint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 Css（t）=Asin（ωt+），如图所示。 1 0 1 Ts+ = U (s) U (s) i 1 1 Ts+ 2 2 s +ω Uiω 2 2 1 1 +T ω

对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅值比A与相位差β只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差β仅是の的函数，可以分别表示为A（の）与Φ（の）。若输入信号的频率在0→8o的范围内连续变化，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。因此，频率特性可定义为：线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率α在0→8的范围内连续变化时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只与系统的结构与参数有关，是线性定常系统的固有特性。A（@）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A>1）还是衰减（A0°）还是滞后（<0°）。系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率是一个变量。对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为：1A(W)=β（)=-arctanToV1+T?@?二、频率特性的表示方法对于线性定常系统，当输入一个正弦信号r（t）=Rsinのt时，则系统的稳态输出必为Css(t)=A()Rsin(@t+p(o))由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，即输入信号为Re"，输出信号为A（）Re。则输入输出之比为A(の)Rejs(a)= A(の)·ej(o)Rev0可见，输入输出的复数比恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。若用一个复数G（jの）来表示，则有G（jw）=G（j）「·eizG)=A（）·ed指数表示法G（jの）就是频率特性通用的表示形式，是の的函数。当是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G（jの）。向量的长度为A（の），向量与正实轴之间的夹角为（），并规定逆时针方向为正，即相角超前：规定顺时针方向为ImA负，即相角滞后。可由图5.3表示。另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即G(jo)=R(@)+jI(O)I ()G(jw)R（）称为实频特性，I（の）称为虚频特性。由复变函数理论可知：A(の)= /R(0) + I(@)Au)R(o)ReI(α)p(の) = arctan图5-3频率特性在R(o)复平面上的表示R(の) = A(0)cosβ()

对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅值比 A 与相位差  只与系统的结构、 参数及输入正弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比 A 与相位差  仅是 ω的函数，可以分别表示为 A（ω）与 （ω）。 若输入信号的频率ω在 0→∞的范围内连续变化，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差 将随输入频率的变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这种变化规律可以 在频域内全面描述系统的性能。 因此，频率特性可定义为： 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在 0→∞的范围内连续变化 时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特 性。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只与系统的结构与参数有关， 是线性定常系统的固有特性。 A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正 弦输入时在幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。 而 （ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的 正弦输入时在相位上是超前（＞0º）还是滞后（＜0º）。 系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率ω是一个变量。 对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为： A（ω）= （ω）= -arctanTω 二、频率特性的表示方法 对于线性定常系统，当输入一个正弦信号 r（t）=Rsinωt 时，则系统的稳态输出必为 Css（t）= A(ω)Rsin（ωt+（ω）） 由于输入、输出信号均为正弦信号，因此可以利用电路理论将其表示为复数形式，即输入信 号为 Re j0，输出信号为 A(ω)Re j()。则输入输出之比为 可见，输入输出的复数比恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频 特性的表达式。 若用一个复数 G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·e j∠G（jω） =A（ω）·e j()指数表示法 G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示 G（jω）。向量的长度为 A(ω)， 向量与正实轴之间的夹角为  (ω)，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为 负，即相角滞后。可由图 5.3 表示。 另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即 G（jω）=R（ω）+jI（ω） R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。 由复变函数理论可知： 图 5-3 频率特性在 复平面上的表示 2 2 1 1 +T ω j ( ) 0 j ( ) ( ) e Re A( )Re       = A  j ( ) ( ) ( ) 2 2 A  = R  + I  ( ) ( ) ( ) arctan     R I = R() = A() cos()

I() = A(@)sinβ(0)并且A（）与R（）为的偶函数，（）与I（）是的奇函数。以上函数都是的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。三、频率特性的实验求取方法向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号r(t)=Rsinot在0→8的范围内不断改变的取值，并测量与每一个值对应的系统的稳态输出Css(t)=A(o)Rsin(wt+p（@))测量并记录相应的输入输出幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随的变化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性A（）与相频特性?（）的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。四、由传递函数求取频率特性实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。设n阶系统的传递函数为N(s)N(s)G(s)=ID(s) (s+p,)(s+p,)..(s+pn)为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。输入信号为r（t)=Rsinのt输出信号的拉氏变换为N(s)RoC(s) =(s+j@)(s-jw)(s+p,)(s+p,)...(s+p.)KKKK,+K,+...s+p,s+p2(s+p.)(s+ j)(s-jw)对输出求拉氏反变换可得c(t)=(K,e-pr+K,eP"+...+K,e-P")+(K,e-Je+K_ej)系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量，对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量为：C（t）=Kee+K-ejet系数Kc和K-c可由留数定理确定可以求出 Css(t)= A()·R·sin[t+p())并有 A()=I G(s)I s=j=l G(jQ)Tβ (α)=ZG(jQ)而输入信号为r(t)=Rsint因此，A（)为系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式?（）为系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表达式系统的频率特性为G(jw) = G(s) Is=jQ=A(α) .de)由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G（s）将j代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s=α+jの。当α=0时，s=jの。所以G

并且 A(ω)与 R（ω）为ω的偶函数， (ω)与 I（ω）是ω的奇函数。 以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率特性， 具有直观、简便的优点，应用广泛。 三、频率特性的实验求取方法 向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号 r（t）=Rsinωt 在 0→∞的范围内不断改变ω的取值，并测量与每一个ω值对应的系统的稳态输出 Css（t）= A(ω)Rsin（ωt+（ω）） 测量并记录相应的输入输出幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随ω的变 化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性 A(ω)与相频特性 （ω）的表达式，便可求出完整 的频率特性表达式。 四、由传递函数求取频率特性 实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系统各变量之间相互关系的数学表达式， 都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可 以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法称为解析法。 设 n 阶系统的传递函数为 G(s)= = 为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。输入信号为 r(t)=Rsinωt 输出信号的拉氏变换为 C（s）= × = 对输出求拉氏反变换可得 系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量，对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳 态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为负，瞬态 分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量为： cs s(t) =Kce -jωt +K-ce jωt 系数 Kc 和 K-c 可由留数定理确定 可以求出 Css(t)= A(ω)·R·sin[ωt+ (ω)] 并有 A(ω)= | G（s）| s=jω =| G（j ω）|  (ω)=∠G（jω） 而输入信号为 r(t)=Rsinωt 因此，A(ω)为系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式  (ω)为系统的输出与输入幅值比，为系统的相频特性表达式 系统的频率特性为 G（jω）= G（s）|s=jω= A(ω)·e j() 由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数 G（s）将 jω代替 其中的 s 而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量 s =σ+jω。当σ=0 时，s = jω。所以 G I() = A()sin() D(s) N(s) (s+p )(s+p ).(s+p ) N(s) 1 2 n (s+p )(s+p ).(s+p ) N(s) 1 2 n (s + jω)(s - jω) Rω (s - jω) K + (s + jω) K + (s + p ) K + .+ s + p K + s + p K c -c n n 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 j t c j t c p t n p t p t c t K e K e K e K e K e n   − − − − − = + +  + + +

（j）就是α=0时的G（s）。即当传递函数的复变量s用j@代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。可以用图5-4表示为线性定常系统，传递函数为G（s）A(o)R-sin[ottpRsin@tG(ja)=G(s) l-je（=A(Q) .g)图5-4由系统传递函数求取频率特性示意图A()是幅频特性，(の)是相频特性因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。例5.1已知单位负反馈系统的开环传递函数为1G,(s)=s+1当输入信号为r（t）=sin2t时，求闭环系统的稳态输出。解：系统的闭环传递函数为11G(s)=_s+1$+211+s+11系统的频率特性为G(j@) =G(s)j +21幅频特性为A(0) =V0?+40相频特性为p(o) = -arctan -2利用频率特性的概念，c(t) = A(の)sin[2t + @()l系统的稳态输出为1sin[2t-45°]c(t) =将=2代入得：/8输出表达式说明该系统对此输入信号在幅值上衰减，同时响应在时间上有滞后。小结、频率特性的物理意义。1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率@在0→8的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。。3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关4，频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。二、频率特性的数学意义频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换，如图5-5所示。dssjodt微分方程传递函数频率特性（以t为变量）（以s为变量）（以为变量）

线性定常系统，传递函数为G（s） G（jω）= G（s）|s=jω = A(ω)·e j() Rsinωt A(ω)·R·sin[ωt+ (ω) ] 图5-4 由系统传递函数求取频率特性示意图 微分方程 （以t为变量） 传递函数 （以s为变量） 频率特性 （以ω为变量） 图5-5 控制系统数学模型之间的转换关系 s dt d  s  j （jω）就是σ=0 时的 G（s）。即当传递函数的复变量 s 用 jω代替时，传递函数转变为频率特 性，这就是求取频率特性的解析法。可以用图 5-4 表示为 A(ω)是幅频特性， ()是相频特性 因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁 琐计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。 例 5.1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 当输入信号为 r（t）=sin2t 时，求闭环系统的稳态输出。 解：系统的闭环传递函数为 系统的频率特性为 幅频特性为 相频特性为 利用频率特性的概念， 系统的稳态输出为 将ω=2 代入得： 输出表达式说明该系统对此输入信号在幅值上衰减，同时响应在时间上有滞后。 小结 一、频率特性的物理意义 ⚫ 1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输 入信号的频率ω在 0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。 ⚫ 2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。 ⚫ 3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输 出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。 ⚫ 4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后” 作用。 二、频率特性的数学意义 频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、传递函数之间可以相互转换，如图 5-5 所示。 1 1 ( ) + = s G s k 2 1 1 1 1 1 1 ( ) + = + + + = s s s G s 2 1 ( ) ( ) + = = =    j G j G s s j 4 1 ( ) 2 + =  A  2 ( ) arctan    = − c(t) = A()sin[2t +()] sin[2 45 ] 8 1 c(t) = t − 

以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。三、频率特性的应用。1.频率特性包含了系统或元件的全部动态结构参数，是系统在频域中的数学模型，运用它分析、研究控制系统性能的方法称为频率特性分析法。?2.频率特性为使用实验法求取未知系统或元件的数学模型提供了切实可行的办法。但有关频率特性的推导是在系统稳定的前提下进行的，如果系统不稳定，就不能观测到系统输出的稳态分量，因而无法使用实验法求取系统的频率特性。虽然频率特性的概念是从稳定系统推导出来的，但我们知道，系统的输出总是由两个分量组成的，其稳态分量并不依赖于系统的结构参数（与系统的稳定性无关），主要取决于输入信号。因此，从理论上讲，稳态分量总是可以从系统的动态响应中分离出来。所以频率特性的定义可以推广为：线性定常系统输出的稳态分量与正弦输入信号的复数比。也就是说，不论系统稳定与否，其频率特性总是存在的。。3．由傅立叶变换可知，输入信号可以分解为一系列不同频率谐波的迭加。根据频率特性的物理意义，系统相当于一个广义的滤波器，控制系统的输出就是通过这一滤波器的各次谐波分量的迭加。频率特性不同，则系统对不同的信号具有不同的输出。使用频域法校正控制系统，就是将系统设计成为合理地放大有用信号、衰减无用信号，并按要求进行相移的广义滤波器。五、常用频率特性曲线频率特性是输出量与输入量的幅值比和相位差随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出幅值比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合。系统（或环节）的频率响应曲线的表示方法很多，其本质都是一样的，只是表示的形式不同而已。频率特性曲线通常采用以下三种表示形式。1.幅相频率特性曲线（奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。奈氏图反映A(）与@（）随变化的规律。·2.对数频率特性曲线，包括：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为对数坐标图或波德图，坐标系为半对数坐标。波德图反映L()=201gA（）与β（)随1gの变化的规律。。3.对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。尼柯尔斯图反映L)=201gA（の)随β（）的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。5.2幅相频率特性及其绘制5.2.1幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点，极坐标轴为直角坐标的实轴。由于系统的频率特性表达式为G（j@）=A（）·ed)对于某一特定频率のi下的G（jのi）总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A（のi），与正实轴的夹角为β（のi）。由于A(の)和()是频率的函数，当在0→的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图5-6所示

以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规 律，是经典控制理论中最常用的数学模型。 三、频率特性的应用 ⚫ 1．频率特性包含了系统或元件的全部动态结构参数，是系统在频域中的数学模型，运用它 分析、研究控制系统性能的方法称为频率特性分析法。 ⚫ 2．频率特性为使用实验法求取未知系统或元件的数学模型提供了切实可行的办法。但有关 频率特性的推导是在系统稳定的前提下进行的，如果系统不稳定，就不能观测到系统输出的稳态 分量，因而无法使用实验法求取系统的频率特性。 虽然频率特性的概念是从稳定系统推导出来的，但我们知道，系统的输出总是由两个分量组成的， 其稳态分量并不依赖于系统的结构参数（与系统的稳定性无关），主要取决于输入信号。因此， 从理论上讲，稳态分量总是可以从系统的动态响应中分离出来。所以频率特性的定义可以推广为： 线性定常系统输出的稳态分量与正弦输入信号的复数比。也就是说，不论系统稳定与否，其频率 特性总是存在的。 ⚫ 3．由傅立叶变换可知，输入信号可以分解为一系列不同频率谐波的迭加。根据频率特性的 物理意义，系统相当于一个广义的滤波器，控制系统的输出就是通过这一滤波器的各次谐波分量 的迭加。频率特性不同，则系统对不同的信号具有不同的输出。使用频域法校正控制系统，就是 将系统设计成为合理地放大有用信号、衰减无用信号，并按要求进行相移的广义滤波器。 五、常用频率特性曲线 频率特性是输出量与输入量的幅值比和相位差随频率变化的规律。在实际应用中，为直观地看出 幅值比与相位差随频率变化的情况，是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线，并从 这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性、快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合。 系统(或环节)的频率响应曲线的表示方法很多,其本质都是一样的,只是表示的形式不同而 已。频率特性曲线通常采用以下三种表示形式： ⚫ 1.幅相频率特性曲线（奈氏曲线），图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图，坐标系为极坐标。 奈氏图反映 A(ω)与  (ω)随ω变化的规律。 ⚫ 2.对数频率特性曲线，包括： 对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。图形常用名为对数 坐标图或波德图，坐标系为半对数坐标。波德图反映 L(ω)=20lg A(ω)与  (ω)随 lgω变化的 规律。 ⚫ 3.对数幅相频率特性曲线，图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图，坐标系为对数幅相坐标。 尼柯尔斯图反映 L(ω)=20lg A(ω)随  (ω)的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。 5.2 幅相频率特性及其绘制 5.2.1 幅相频率特性曲线（奈氏图）基本概念 绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点,极坐标轴为 直角坐标的实轴。 由于系统的频率特性表达式为 G（jω）=A（ω）·e j() 对于某一特定频率ωi 下的 G（jωi）总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长 度为 A（ωi），与正实轴的夹角为 （ωi）。 由于 A()和 ()是频率的函数，当ω在 0→∞的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均 随之连续变化，不同ω下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线 （奈氏曲线），如图 5-6 所示

I在绘制奈氏图时，常把作为参变R.9量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清(o)G楚地看出该系统频率特性的变化规.A(00律。G (j)图5-6极坐标图的表示方法前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是?的偶函数，而相频特性与虚频特性是①的奇函数，即G（jの）与G（-jα）互为共轭。因此，假定の可为负数，当在-8o-0的范围内连续变化时，相应的奈氏图曲线G（i@）必然与G（i）对称于实轴。@取负数虽然没有实际的物理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，再求出系统幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线。具体步骤如下：1.求系统或元件的传递函数G（s）●2.用jo代替S，求出频率特性G（j@）。3.求出幅频特性A（）与相频特性?（@）的表达式，也可求出实频特性与相频特性，帮助判断G（jの）所在的象限。4.在0→8的范围内选取不同的の，根据A（@）与@（）表达式计算出对应值，在坐标图上描出对应的向量G（j@），将所有G（jの）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。5.2.2典型环节的奈氏图一、比例环节I.比例环节的传递函数为G(s)=K用jo替换S，可求得比例环节的频率特性表达式为G(jo)=K0-0幅频特性A()=|K=KD相频特性（）=0°0R.R比例环节的奈氏图如图5-7所示。可以看出，比例环节的幅频特性图5-7比例环节的幅相频率特性相频特性均与频率の无关。所以当の由0变到o,G(jo)始终为实轴上一点，说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用：p()=0，表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。二、积分环节积分环节的传递函数为I.G(s) =s?1R.积分环节的频率特性为G(j@)=jo0幅频特性为A(の)=|1/0=1/@0-0与角频率の成反比图5-8积分环节的幅相频率特性相频特性为()=-90°积分环节的幅相频率特性如图5-8所示，在0<①<的范围内，幅频特性与负虚轴重合。积分环节的奈民图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90°

G (j2)  Re (1)  (2) A (1) A (2) G ( j1)  图5-6 极坐标图的表示方法 Im Im R e 0 K →0 → 图5-7 比例环节的幅相频率特性 →0 → 0 R e 图5-8 积分环节的幅相频率特性 Im 前面已经指出，系统的幅频特性与实频特性是ω的偶函数，而相频特性与虚频特性是ω的奇 函数，即 G（jω）与 G（-jω）互为共轭。因此，假定ω可为负数，当ω在-∞→0 的范围内连续 变化时，相应的奈氏图曲线 G（jω）必然与 G（jω）对称于实轴。ω取负数虽然没有实际的物 理意义，但是具有鲜明的数学意义，主要用于控制系统的奈氏稳定判别中。 当系统或元件的传递函数已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性，再求出系统 幅频特性、相频特性或者实频特性、虚频特性的表达式，再逐点计算描出奈氏曲线。具体步骤如 下： ⚫ 1.求系统或元件的传递函数 G（s） ⚫ 2.用 jω代替 s，求出频率特性 G（jω） ⚫ 3.求出幅频特性 A(ω)与相频特性 （ω）的表达式，也可求出实频特性与相频特性，帮助 判断 G（jω）所在的象限。 ⚫ 4.在 0→∞的范围内选取不同的ω，根据 A(ω)与 （ω）表达式计算出对应值，在坐标图 上描出对应的向量 G（jω），将所有 G（jω）的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏 曲线。 5.2.2 典型环节的奈氏图 一、比例环节 比例环节的传递函数为 G(s)=K 用 j 替换 s，可求得比例环节的频率特性表达式为 G(j)=K 幅频特性 A(ω)= | K |= K 相频特性 （ω）=0º 比例环节的奈氏图如图 5-7 所示。可以看出,比例环节的幅频特性、 相频特性均与频率  无关。所以当  由 0 变到,G(j)始终为实轴 上一点，说明比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用； ()=0º,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。 二、积分环节 积分环节的传递函数为 积分环节的频率特性为 幅频特性为 A()=|1/|=1/ 与角频率ω成反比 相频特性为 ()=-90º 积分环节的幅相频率特性如图 5-8 所示，在 0＜＜的范围内,幅频特性与负虚轴重合。 积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低， 对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为 90º。 在绘制奈氏图时，常把ω作为参变 量，标在曲线旁边，并用箭头表示频 率增大时曲线的变化轨迹，以便更清 楚地看出该系统频率特性的变化规 律。 s G s 1 ( ) =    1 1 ( ) j j G j = = −

a三、微分环节理想微分环节的传递函数为JG(s)=S频率特性为G(jo)=jo4-0190故幅频特性为A(0)=0=0与の成正比。R.相频特性为Φ(0)=90°。理想微分环节的奈氏图如图5-9所示，在0<の<8的范围内其奈氏图与正虚轴重合。可见，理想微分环节是高通滤波器，图5-9理想微分环节的幅相频率特性输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90°，说明输出对输入有提前性、预见性作用。四、惯性环节1惯性环节的传递函数为G(s) =Ts +1频率特性为11To一G(jo) =+1T0+1T?+1jTo+1Ia根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出实频特性恒≥0，而虚频特性恒≤0，由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。11幅频特性A(の)=jT@+1]/(To)*+1图5-10惯性环节幅相频率特性相频特性o(o)=-arctan To当の从0变到时，可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点，见表 5-1表 5-101/T010A(m)1120°g()45°90°根据这些数据，可以绘出幅相频率特性，如图5-10所示，这是一个位于第四象限的半圆，圆心为(1/2,0)，直径为1。若惯性环节的比例系数变为K，则幅频特性成比例扩大K倍，而相频特性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为（K/2,0)，直径为K。由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0°一-90°。五、一阶微分环节Ajl一阶微分环节的传递函数为JG(s)=(ts+1)t为环节的时间常数Gia)频率特性为G(jの)=(jto+l)可见一阶微分环节的实频特性恒为1，而虚频特性与输入频率の成正比，0幅频特性为与输入频率の成正比。A()= /1+(t)?R图5-11一阶微分环节的幅相频率特性相频特性为p(o)=arctan(ot)当の从0变到时，可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点，见表5-2表 5-201/so812A(a)000°45°90°2e

三、微分环节 理想微分环节的传递函数为 G(s)=s 频率特性为 G(j)=j 故幅频特性为 A()=||= 与  成正比。 相频特性为  ()=90º。 理想微分环节的奈氏图如图 5-9 所示，在 0＜＜的范围内, 其奈氏图与正虚轴重合。可见，理想微分环节是高通滤波器， 输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前 作用，输出超前输入的相位恒为 90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。 四、惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性为 根据实频特性与虚频特性表达式，可以判断出 实频特性恒≥0，而虚频特性恒≤0，由此可见 惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。 幅频特性 A()= 相频特性 ()= -arctan T 当  从 0 变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，例如可以绘出三个点， 见表 5-1 表 5-1 根据这些数据,可以绘出幅相频率特性,如图 5-10 所示,这是一个位于第四象限的半圆,圆心 为(1/2,0),直径为 1。 若惯性环节的比例系数变为 K，则幅频特性成比例扩大 K 倍，而相频特 性保持不变，即奈氏图仍为一个半圆，但圆心为(K/2,0),直径为 K。 由惯性环节的奈氏图可知，惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为 0º→ -90º。 五、一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为 G(s)=(s+1)  为环节的时间常数 频率特性为 可见一阶微分环节的实频特性恒为 1，而虚频特性与输入频率  成正比。 幅频特性为 与输入频率  成正比。 相频特性为 ()=arctan() 当  从 0 变到时,可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图，可以绘出三个点， 见表 5-2 表 5-2 1 1 ( ) + = Ts G s 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 + − + + = + =      T T j jT T G j ( ) 1 1 1 1 2 + = jT + T G( j) = ( j +1) 2 A() = 1+ ()

根据这些数据绘出幅相频率特性，如图5-11所示，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率の越大，放大倍数越大：且输出超前于输入，相位超前范围为0°→90°，输出对输入有提前性、预见性作用。一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频于扰信号的问题。六、二阶振荡环节1二阶振荡环节的传递函数为G(s)=T2s? +2Ts +1式中T为时间常数；为阻尼比，0≤2。且振荡环节与负虚轴的交点频率为-1/T,R幅值为1/2g)。12由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0°→-180°：同时的取值1/2对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况图5-12振荡环节的幅相频率特性1.5>0.707幅频特性A（@随的增大而单调减小，如图5-12中所对应曲线，此刻环节有低通滤波作用。当>1时，振荡环节有两个相异负实数极点，若足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1/2）～0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，如图5-13所示。kaPn1/(2g)1/T11(22图5-13过阻尼振荡环节的幅相频率特性图5-14振荡环节的幅相频率特性

根据这些数据绘出幅相频率特性,如图 5-11 所示，是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线。 由一阶微分环节的奈氏图可知，一阶微分环节具有放大高频信号的作用，输入频率  越大， 放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为 0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作 用。 一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD 控制器），PD 控制器常 用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。 六、二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数为 式中 T 为时间常数; 为阻尼比,0≤＜1。 振荡环节的频率特性为 可以判断出虚频特性恒≤0，故曲线必位于第三与第四象限。 振荡环节的幅频特性为 相频特性为 以  为参变量,计算不同频率  时的幅值和相角, 其中几个重要的特征点见表 5-3。 表 5-3 在极坐标上画出  由 0 变到时的矢量端点的轨迹, 便可得到振荡环节的幅相频率特性,如图 5-12 所示， 且 1＞2。且振荡环节与负虚轴的交点频率为 =1/T， 幅值为 1/(2)。 由奈氏图可知，振荡环节具有相位滞后的作用， 输出滞后于输入的范围为 0º→-180º；同时  的取值 对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况 1.  ＞0.707 幅频特性 A()随  的增大而单调减小，如图 5-12 中 1 所对应曲线，此刻环节有低通滤波 作用。当 ＞1 时，振荡环节有两个相异负实数极点，若  足够大，一个极点靠近原点，另一个 极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为 1/(2)≈0，奈氏图 近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节，如图 5-13 所示。 2 1 1 ( ) 2 2 + + = T s Ts G s  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (2 ) 2 (1 ) (2 ) 1 1 2 1 ( )              T T T j T T T Tj T G j − + − − + − = + − = 2 2 2 2 (1 ) (2 ) 1 ( )     T T A − + =       − = − 2 2 1 2 ( ) arctan      T T

2.0≤≤0.707当の增大时，幅频特性A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率のr，所对应的向量长度为谐振峰值Mr=A(or）=A（or)/A（o）。谐振表明系统对频率or下的正弦信号的放大作用最强。由幅频特性A（@对频率①求导数，并令其等于零，可求得谐振角频率or和谐振峰值Mr，如图5-14所示。可得振荡环节的谐振角频率/1-252 =0, /1-250T1谐振峰值为M, = A(@,)=25/1-52可见随的减小，谐振峰值所增大，谐振频率のr也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率のn。谐振峰值M越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量越大。当=0时，r～n，征～8，即振荡环节处于等幅振荡状态。5.2.3开环奈氏图的绘制一定义系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Φ（jの）与开环频率特性Gk（iα），分别对应于系统的闭环传递函数Φ（s）与开环传递函数Gk（s）。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。系统的开环频率特性为II(j0t, +1)l(-t,o +2jo5t +1)KXial=G(io):(jo)"II(joT, +II(-T° +2joG,T, +1)-对于由多个典型环节组合而成的系统，其频率特性应该满足下面的规律：-G(j@)=G(j)A(0)=A(の)p(0) =Zp(0)i=li=l-控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的。可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性A()与相频特性()的表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环奈氏图。二基本绘制规律当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用A(@）与（)等的表达式描点，在曲线的重要部分修正。1.低频段（の-→0），Gk（jα）的低频段表达式为KmG,(jo)=(jo)"根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则，X求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为口型KP(の)=-V.900A(0)=G ()=0型0'I 型可见低频段的形状（幅值与相位）均与系统的2 -0型别v与开环传递系数K有关。图5-不同型别系统的幅相频率1)0型系统，V=0:A（0）=K，β(0)=0°

2. 0≤≤0.707 当  增大时，幅频特性 A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至 衰减为 0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率 r，所对应的 向量长度为谐振峰值 Mr= A(r) = A(r)/ A(0) 。谐振表明系统对频率 r 下的正弦信号的放大 作用最强。由幅频特性 A()对频率  求导数,并令其等于零,可求得谐振角频率 r 和谐振峰值 Mr，如图 5-14 所示。 可得振荡环节的谐振角频率 谐振峰值为 可见随  的减小,谐振峰值 Mr 增大，谐振频率 r 也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率 n。谐振峰值 Mr 越大，表明系统的阻尼比  越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的 最大超调量σ%也越大。当 =0 时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。 5.2.3 开环奈氏图的绘制 一 定义 系统的频率特性有两种，由反馈点是否断开分为闭环频率特性Ф（jω）与开环频率特性 Gk （jω），分别对应于系统的闭环传递函数Ф（s）与开环传递函数 Gk（s）。由于系统的开环传 递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般 是基于系统的开环频率特性。 系统的开环频率特性为 对于由多个典型环节组合而成的系统，其频率特性应该满足下面的规律： 控制系统是由典型环节组成的，则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是 基本相同的。可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性 A()与相频特性 ()的 表达式，或由分母有理化求出实频特性与虚频特性，再由奈氏图的基本绘制方法求出系统的开环 奈氏图。 二 基本绘制规律 当系统开环传递函数为多个典型环节组合时，其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似，具 有一定的规律。可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线，再利用 A()与 ()等的 表达式描点，在曲线的重要部分修正。 1.低频段（→0），Gk（jω）的低频段表达式为 根据向量相乘是幅值相乘、相位相加的原则， 求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为 可见低频段的形状（幅值与相位）均与系统的 型别 v 与开环传递系数 K 有关。 1）0 型系统，v =0：A（0）=K，(0)=0º 图 5-15 2 2 1 2 1 2 1  r = −  =  n −  T 2 2 1 1 ( )    − M r = A r =     = = = = + − + + + − + + =  1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( 1) ( 2 1) ( 1) ( 2 1) ( ) ( ) n j n l j l l l m k k k k m i i k v j T T j T j j j K G j              = = n i i G j G j 1 ( ) ( ) = = n i A Ai 1 () () = = n i i 1 ()  () ( ) ( ) k v K G j j   = k v K A G  () = () = () = − 90