《自动控制原理》课程授课教案（讲稿）第三章 自动控制系统的时域分析

第周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第三章：自动控制系统的时域分析授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】了解系统典型输入信号，一阶，二阶系统的阶跃响应，二阶系统的暂态特性分析，劳斯稳定判据的应用，稳态误差。【重点】劳斯稳定判据，二阶系统的暂态特性分析，稳态误差。●控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常采用时城分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。·时域（TimeDomain）分析法是在一定的输入条件下，根据描述系统的微分方程或传递函数，使用拉氏变换直接求解在某种典型输入作用下，自动控制系统时域响应（TimeResponse）的表达式，从而得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线c()和性能指标（描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性）。·本章的内容是分析研究控制系统的动态性能和稳态性能。系统动态性能可以通过在典型输入信号作用下控制系统的过渡过程来评价，主要分析研究一阶系统、二阶系统的过渡过程。并对高阶系统的过渡过程作适当的介绍。3.1稳定性和代数稳定判据。设计控制系统时应满足的性能指标要求有很多，但首要的要求是系统在全部时间范围内必须能稳定工作。因为，一个控制系统一受到外界或内部扰动（如负载变化、电压波动等）就会偏离原来的工作状态：如果系统偏离平衡状态越来越远，当扰动消失后也不能恢复到原来的状态，显然这种系统是无法工作的，故稳定性是控制系统的重要性能，是系统能够正常工作的直要条件。.分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。.本节主要研究线性定常系统稳定的概念、控制系统稳定的充要条件和稳定性的代数判定方法。一、稳定的概念任何控制系统在扰动作用下都会偏离平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性就是指系统.当扰动作用消失以后，由初始偏差状态恢复到平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。下图（a）所示，一个小球放在一个凹面上，原平衡位置在A点，当小球受到外力偏离A点，如移到B点，当外力消除之后，小球经过来回几次振荡，最终回到原平衡位置，则小球系统是稳定的；反之，图（b）所示，将小球放在一个凸面上A点，当小球受到外力，偏离原来的位置，外力消除之后小球也不能回到原来的位置，则小球系统是不稳定的。AOT1(b)(a)

课程名称：《自动控制原理》 第 周，第 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第三章：自动控制系统的时域分析 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】了解系统典型输入信号，一阶，二阶系统的阶跃响应，二阶系统的暂态特性分析， 劳斯稳定判据的应用，稳态误差。 【重 点】劳斯稳定判据，二阶系统的暂态特性分析，稳态误差。 ⚫ 控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常采 用时城分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。 ⚫ 时域（Time Domain）分析法是在一定的输入条件下，根据描述系统的微分方程或传递函 数，使用拉氏变换直接求解在某种典型输入作用下，自动控制系统时域响应（Time Response）的表达式，从而得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线 c(t)和性能指标 （描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性）。 ⚫ 本章的内容是分析研究控制系统的动态性能和稳态性能。系统动态性能可以通过在典型 输入信号作用下控制系统的过渡过程来评价，主要分析研究一阶系统、二阶系统的过渡 过程。并对高阶系统的过渡过程作适当的介绍。 3.1 稳定性和代数稳定判据 ⚫ 设计控制系统时应满足的性能指标要求有很多，但首要的要求是系统在全部时间范围内 必须能稳定工作。因为，一个控制系统一旦受到外界或内部扰动（如负载变化、电压波 动等）就会偏离原来的工作状态；如果系统偏离平衡状态越来越远，当扰动消失后也不 能恢复到原来的状态，显然这种系统是无法工作的，故稳定性是控制系统的重要性能， 是系统能够正常工作的首要条件。 ⚫ 分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。 ⚫ 本节主要研究线性定常系统稳定的概念、控制系统稳定的充要条件和稳定性的代数判 定方法。 一、稳定的概念 ⚫ 任何控制系统在扰动作用下都会偏离平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性就是指系统 当扰动作用消失以后，由初始偏差状态恢复到平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态， 就称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大， 则称系统是不稳定的。 ⚫ 下图（a）所示，一个小球放在一个凹面上，原平衡位置在 A 点，当小球受到外力偏 离 A 点，如移到 B 点，当外力消除之后，小球经过来回几次振荡，最终回到原平衡位置， 则小球系统是稳定的；反之，图（b）所示，将小球放在一个凸面上 A´点，当小球受到 外力，偏离原来的位置，外力消除之后小球也不能回到原来的位置，则小球系统是不稳 定的

系统在扰动作用消失后，能够随着时间的推移恢复原平衡状态的稳定性，称为渐近稳定性。渐近稳定性是线性定常系统的一种特征。也就是说如果线性定常系统是稳定的，必定是渐近稳定的。·系统稳定性概念包括绝对稳定性与相对稳定性。绝对稳定性是指系统稳定与否，而相对稳定性是指在绝对稳定的前提下，系统稳定的程度。二、线性定常系统稳定的充分必要条件上述稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。因此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲8(t），这时系统的输出增量为脉冲响应c()。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的问题。若t一>o0时，脉冲响应limc(t)=0t-o即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。1.推导设闭环传递函数KTI(s+z.)C(s)R(s) = L[s(t)]= 1Φ(s) =R(s)II(s+ p,)j=l则KTI(s+z.)KT(s+z,)nC(s) = Φ(s) =Za,e'Pytc(t)= L[(s)]= L/al(s+ p,)II(s+ p,)j=lj=lα,称为极点S=-P,处的留数limc(1)=0的充分必要条件是e-P"是衰减函数，P，具有负实部。2.线性系统稳定的充分必要条件系统特征方程的根（即系统的闭环极点）均为负实部和（或）具有负实部的共轭复数（也就是说，系统的全部闭环极点都在复数平面虚轴的左半部）。3.确定系统稳定的方法①一阶、二阶系统可以直接求解特征方程的根②确定具有全部负实部特征根的系统参数的范围（间接）劳斯、奈氏、伯德图三、劳斯稳定判据劳斯稳定判据是利用特征方程式的根与系数的关系，间接判断是否有位于复平面右半部的根，从而判别系统是否稳定。1.劳斯判据定理(RouthStabilityCriterion)设线性系统的特征方程为a,s"+a-s"-+..+a,s+a=0则线性系统稳定的充要条件为特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的系数也为正值。劳斯阵的形式为

⚫ 系统在扰动作用消失后，能够随着时间的推移恢复原平衡状态的稳定性，称为渐近稳定 性。渐近稳定性是线性定常系统的一种特征。也就是说如果线性定常系统是稳定的，必 定是渐近稳定的。 ⚫ 系统稳定性概念包括绝对稳定性与相对稳定性。绝对稳定性是指系统稳定与否，而相对 稳定性是指在绝对稳定的前提下，系统稳定的程度。 二、线性定常系统稳定的充分必要条件 上述稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。因 此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲 ，这时系统的输出增量为脉冲 响应 。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的问题。若 时，脉 冲响应 即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。 1.推导 设闭环传递函数 则 称为极点 处的留数 的充分必要条件是 是衰减函数， 具有负实部。 2.线性系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根（即系统的闭环极点）均为负实部和（或）具有负实部的共轭复数（也就是 说，系统的全部闭环极点都在复数平面虚轴的左半部）。 3.确定系统稳定的方法 ① 一阶、二阶系统可以直接求解特征方程的根 ② 确定具有全部负实部特征根的系统参数的范围（间接） 劳斯、奈氏、伯德图 三、劳斯稳定判据 劳斯稳定判据是利用特征方程式的根与系数的关系，间接判断是否有位于复平面右半部的根，从 而判别系统是否稳定。 1.劳斯判据定理(Routh Stability Criterion) 设线性系统的特征方程为 则线性系统稳定的充要条件为特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯 阵的第一列的系数也为正值。 劳斯阵的形式为  (t) c(t) t → lim ( ) = 0  c t t   = = +  +  = = n j j m i i s p K s z R s C s s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) = L (t) =1   = = +  + =  = n j j m i i s p K s z C s s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )      = − = − − = =             +  + =  = n j p t n j j j m i i j a e s p K s z c t L s L 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j a pj s = − lim ( ) = 0  c t t p t j e − − pj . 1 0 0 1 + 1 + + + = − a s a − s a s a n n n n

S4ana,-2a,-45-1an-1an-3a.-sSnbb,b,SnC,C,c5"-4d,d,d......s?ee,s'J.Sao劳斯阵的前两行由特征方程式的系数组成：第一行由第1、3、5....项系数组成：第二行由第2、4、6...项系数组成。以下各行系数由下列公式计算：aan- -a,an-sa.,an--a,an-7a.a.-,-a,an-3b. =b, =b,a,-1an-1an-1ba-- -b,an-ba-s -b,ar--ba-, -b,ar-lC, =C,=C=bb,b,在劳斯阵的第一行旁边注明s，第二行旁边注明s-1.。上述计算一直进行到第n行，即旁边注有s的行为止。劳斯阵的排列成倒三角形。B在展开劳斯阵列的过程中，可以用一个正整数去除或乘某一整行，不会改变所得的结论。结论：劳斯表第一列元素符号改变的次数为具有正实部根的个数。（右极点，不包括临界极点）劳斯阵计算过程中的两种特殊情况：1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行或不好判别。为了解决这个问题，可以用一个很小的正数来代替等于零的该第一列系数。2)某行的各系数全为零这种情况下，劳斯表的计算工作也由于出现无穷大而无法继续进行。为了解决这个问题，可以利用各元为零的那一行的上一行各元作为系数，构成一个辅助方程，再用辅助方程求导一次后的系数来代替各元为零的那一行。辅助方程的解就是原特征方程的部分特征根，而且这部分特征根对称于原点，即必有虚根或右根。因此系统是不稳定的。例1已知三阶系统的特征方程如下，试确定系统稳定的充要条件。a,s+a,s+as+a=0

⚫ 劳斯阵的前两行由特征方程式的系数组成：第一行由第 1、3、5 .项系数组成；第二行由 第 2、4、6.项系数组成。以下各行系数由下列公式计算： ⚫ 在劳斯阵的第一行旁边注明 s n，第二行旁边注明 s n-1 .。上述计算一直进行到第 n 行，即 旁边注有 s 1 的行为止。劳斯阵的排列成倒三角形。 ⚫ 在展开劳斯阵列的过程中，可以用一个正整数去除或乘某一整行，不会改变所得的结论。 结论：劳斯表第一列元素符号改变的次数为具有正实部根的个数。（右极点，不包括临界极点） 劳斯阵计算过程中的两种特殊情况： 1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零 这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行或不好判别。 为了解决这个问题，可以用一个很小的正数来代替等于零的该第一列系数。 2)某行的各系数全为零 这种情况下，劳斯表的计算工作也由于出现无穷大而无法继续进行。为 了解决这个问题，可以利用各元为零的那一行的上一行各元作为系数，构成一个辅助方程，再用 辅助方程求导一次后的系数来代替各元为零的那一行。辅助方程的解就是原特征方程的部分特征 根，而且这部分特征根对称于原点，即必有虚根或右根。因此系统是不稳定的。 例 1 已知三阶系统的特征方程如下，试确定系统稳定的充要条件。 n s n−1 s n−2 s n−3 s n−4 s n a a n−1 b1 a n−2 a n−3 2 b 2 c d2 1 c 1 d 1 e 1 f 0 a 2 s 1 s 0 s a n−4 a n−5 3 b 3 c d3 2 e . . . . . . . . 1 1 2 3 1 − − − − − = n n n n n a a a a a b 1 1 4 5 2 − − − − − = n n n n n a a a a a b 1 1 6 7 3 − − − − − = n n n n n a a a a a b 1 1 3 2 1 1 b b a b a c n− − n− = 1 1 5 3 1 2 b b a b a c n− − n− = 1 1 7 4 1 3 b b a b a c n− − n− = 1 0 0 2 2 3 a3 s + a s + a s + a =

解列劳斯表asSa,a2S2aoSiaa,-a,a0azSoa稳定的充要条件：①ai>0，②ala2一a0a3>0例2已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。s*+2s*+3s+4s+5=0解列劳斯表s435-S302 (1)4 (2)S2501S30so5：劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有2个正实部根例3试判别某系统的稳定性。其特征方程为s*+2s+3s2+6s+4=0解列劳斯表S4134S3260S2400(8)S10(68-8)/eSO4由于是很小的正数，所以(6ε-8)e为负数，则劳斯表第一列各元的符号改变了两次。因此，系统不稳定，特征方程有两个右根。例4试判别某系统的稳定性。设其特征方程为s°+s+5s*+3s*+8s2+2s+4=0解列劳斯表

解 列劳斯表 ∴稳定的充要条件：①ai＞0，② a1 a2－ a0 a3＞0 例 2 已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 解 列劳斯表 ∴劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有 2 个正实部根 例 3 试判别某系统的稳定性。其特征方程为 解 列劳斯表 S4 S3 S2 S1 S0 1 3 4 2 6 0 0(ε) 4 0 (6ε-8)/ε 0 4 由于是很小的正数，所以(6ε-8)/ε为负数，则劳斯表第一列各元的符号改变了两次。因此，系统 不稳定，特征方程有两个右根。 例 4 试判别某系统的稳定性。设其特征方程为 解 列劳斯表 S 4 S3 S 2 S1 S 0 1 3 5 2（1） 4 （2） 0 1 5 0 -3 0 5 S 3 S 2 S 1 S 0 3 a 2 a 1 a 0 a 2 1 2 3 0 a a a − a a 0 a 0 2 3 4 5 0 4 3 2 s + s + s + s + = 2 3 6 4 0 4 3 2 s + s + s + s + = 5 3 8 2 4 0 6 5 4 3 2 s + s + s + s + s + s + =

S6584S53200 →25°+6s°+4=0S446（辅助方程S30(8)0(12)0(0)将辅助方程求导一次，得8.5°+125=0S2403S14/30SO4求解25+6s2+4=0得：sl，2=±j:$34=±//2故所以系统不稳定，有两对共轭虚根4、劳斯稳定判据的应用·分析系统参数变化对稳定性的影响（用劳斯稳定判据确定系统个别参数的取值范围）。.KP：临界放大系数.使系统稳定的开环放大系数的临界值。例5已知单位负反馈系统的开环传递函数为KG(s) =s(0.1s+1)(0.25s+1)试确定使系统稳定的开环放大倍数K的取值范围。解闭环系统的特征方程为：s(0.1s +1)(0.25s +1)+ K = 0s3+14s?+40s+40K=0根据劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件是：[K>014×40-1×40K>0使系统稳定的开环放大系数K的取值范围为：0<K<14开环临界放大系数为：Kp=14。确定系统的相对稳定性①相对稳定性的定义一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离表示系统的相对稳定性或稳定裕度。般来说，0愈大则系统的稳定度愈高。②利用劳斯稳定判据系统的稳定度a方法：以s-z-α代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在s平面中s--α直线的左半部分，即具有α以上的稳定裕度。jos平面Xx00X举例：上例若要系统具有α=1以上稳定裕度量，试确定K

S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0 1 5 8 4 1 3 2 0 2 6 4 0 （辅助方程 ） 0(8) 0(12) 0(0)将辅助方程求导一次，得 3 4 0 4/3 0 4 求解 得： s1，2=±j；s3，4=±j 故所以系统不稳定，有两对共轭虚根 4、劳斯稳定判据的应用 ⚫ 分析系统参数变化对稳定性的影响（用劳斯稳定判据确定系统个别参数的取值范围）。 ⚫ KP：临界放大系数.使系统稳定的开环放大系数的临界值。 例 5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试确定使系统稳定的开环放大倍数 K 的取值范围。 解 闭环系统的特征方程为： 根据劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件是： 使系统稳定的开环放大系数 K 的取值范围为：0<K<14 开环临界放大系数为： K p=14。 确定系统的相对稳定性 ① 相对稳定性的定义 一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此， 以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离σ表示系统的相对稳定性或稳定裕度。 一般来说，σ愈大则系统的稳定度愈高。 ② 利用劳斯稳定判据系统的稳定度 a.方法：以 s=z-σ代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件， 则该系统的特征根都落在 s 平面中 s=-σ直线的左半部分，即具有σ以上的稳定裕度。 举例：上例若要系统具有 以上稳定裕度量，试确定 K。 s平面 0 jω σ σ 2 6 4 0 4 2 → s + s + = 8 12 0 3 s + s = 2 6 4 0 4 2 s + s + = 2 (0.1 1)(0.25 1) ( ) + + = s s s K G s s(0.1s +1)(0.25s +1) + K = 0 14 40 40 0 3 2 s + s + s + K =     −    14 40 1 40 0 0 K K  =1

解：将S=z-1代入原系统的特征方程，得(z-1)3+14(z-1)2+40(z-1)+40K=0整理得=3+11-2+15z+(40K-27)=0根据劳斯判据，稳定的充要条件是[40K-27>0(11x15-(40K-27)>0则0.675<K<4.8结构不稳定系统及其改进①结构不稳定系统C(s)R(s)K.KK.Ts+1电动机减速器开环传递函数：K,K.K,G(s) :s'(T s+1I)Ts+s?+K=0特征方程：其中：K=KK.K,有缺项（s缺项），该系统不稳定这种仅仅通过调整参数无法稳定的系统，称为结构不稳定系统。必须加校正改变结构。情况：单位负反馈系统其前向通路包含有两个或两个以上的积分环节方法：（1）改变积分环节的性质（加入局部反馈KH）用反馈包围积分环节KiX,(s)Y(s)SKK.惯性环节积分环节变为：Y(s)X(s) s+K,KHK,KmK,总前向通道传递函数为:G,(s)=($+ K,K)s(Tm.s+1)特征方程：1+G(s)=0T.s+(1+K,K,T.)s?+K,K,S+K,K.K,=0不再缺项，只要适当选择参数，便可以使系统稳定。KuK,也可对电动机与及减速器加反馈以改变积分性质来实现：Y2(s)X,(s)a.改善系统的稳定性s(TmS+)b，改变系统的型别，降低了系统的静态性能K（2）引入比例-微分环节吉（引入开环零点）KC(s)R(s)tas+1s(Ts+)

解：将 代入原系统的特征方程，得 整理得 根据劳斯判据，稳定的充要条件是 则 结构不稳定系统及其改进 ① 结构不稳定系统 开环传递函数： 特征方程： 其中： 有缺项（ 缺项），该系统不稳定 这种仅仅通过调整参数无法稳定的系统，称为结构不稳定系统。必须加校正改变结构。 情况：单位负反馈系统其前向通路包含有两个或两个以上的积分环节 方法： （1）改变积分环节的性质（加入局部反馈 KH） 用反馈包围积分环节 积分环节变为： 惯性环节 总前向通道传递函数为： 特征方程： 不再缺项，只要适当选择参数，便可以使系统稳定。 也可对电动机与及减速器加反馈以改变积分性质来实现： a. 改善系统的稳定性 b. 改变系统的型别，降低了系统的静态性能 （2）引入比例-微分环节 （引入开环零点） s = z −1 ( 1) 14( 1) 40( 1) 40 0 3 2 z − + z − + z − + K = 11 15 (40 27) 0 3 2 z + z + z + K − =     − −  −  11 15 (40 27) 0 40 27 0 K K 0.675 K  4.8 ( 1) ( ) 2 1 2 + = s T s K K K G s m m 0 3 2 T m s + s + K = K = K1K m K2 1 s K KH s K X s Y s 1 1 1 1 ( ) ( ) + = ( ) ( 1) ( ) 1 1 2 + + = s K K s T s K K K G s H m m k 1+Gk (s) = 0 (1 ) 1 1 2 0 2 1 3 T m s + + K KHT m s + K KH s + K K m K =

特征方程：1+G,(s)=0Ts+$?+Kts+K=0稳定的充要条件是：T.>0;K>0；T，>T一定条件下，引入开环零点，可增加稳定性。3.2典型输入和阶跃响应性能指标控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号（即外作用）的解析表达式。然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因而在分析和设计控制系统时，需要有一个对控制系统的性能进行比较的基准，这个基准就是系统对预先规定的具有典型意义的试验信号，即典型输入信号的响应。为评价控制系统的性能，需要选择若干典型输入信号。选取的典型输入信号的原则：①典型性，能充分反映系统动态性能；②简单，便于分析，处理：③能使系统工作在最不利情况下的输入信号设描述线性定常系统的闭环传递函数为Φ(s)，R(s)表示给定输入的拉氏变换式，Y(s）表示输出的拉氏变换式。在零初始条件下有Y(s)= Φ(s) R(s)对上式两边取拉氏反变换，得到系统输出的时域解()=L-I [Y(s)] = L-[Φ(s) R(s)]：系统的输出取决于两个因素：输入信号的形式和系统的结构即闭环传递函数。一、典型输入信号r(t)1.阶跃函数0, 1<0定义： r(0)=A,1≥0阶跃函数称A为阶跃函数的阶跃值。当A=1时，称为单位阶跃函数，记作1（1）。·拉普拉斯变换：[4-()=4s如：给定输入电压接通、指令的突然转换、负荷的突变等，均可视为阶跃输入。2.斜坡函数（或速度阶跃函数）斜坡函数又称为速度函数，数学描述定义为r()r(t)0,1<0定义：r(t)=Bt, 1≥ 0图3.2斜坡函数

r (t) A 阶跃函数 r(t) Bt t 图3.2 斜坡函数 特征方程： 稳定的充要条件是: ； ； 一定条件下，引入开环零点，可增加稳定性。 3.2 典型输入和阶跃响应性能指标 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必 须了解输入信号（即外作用）的解析表达式。然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具 有随机性而无法预先确定，因而在分析和设计控制系统时，需要有一个对控制系统的性能进行比 较的基准，这个基准就是系统对预先规定的具有典型意义的试验信号，即典型输入信号的响应。 为评价控制系统的性能，需要选择若干典型输入信号。 选取的典型输入信号的原则：① 典型性，能充分反映系统动态性能； ② 简单，便于分析，处理； ③ 能使系统工作在最不利情况下的输入信号 设描述线性定常系统的闭环传递函数为φ(s)，R(s)表示给定输入的拉氏变换式，Y(s) 表示输 出的拉氏变换式。在零初始条件下有 Y(s) = φ(s) R(s) 对上式两边取拉氏反变换，得到系统输出的时域解 y(t)＝L –1 [Y(s)] ＝ L –1 [φ(s) R(s)] ∴ 系统的输出取决于两个因素：输入信号的形式和系统的结构即闭环传递函数。 一、典型输入信号 1. 阶跃函数 0，t < 0 定义：r (t) = A，t ≥ 0 ⚫ 称 A 为阶跃函数的阶跃值。当 A＝1 时，称为单位阶跃函数，记作 1（t）。 ⚫ 拉普拉斯变换 ： ⚫ 如：给定输入电压接通、指令的突然转换、负荷的突变等，均可视为阶跃输入。 2. 斜坡函数（或速度阶跃函数） 斜坡函数又称为速度函数，数学描述定义为 r (t) 0，t < 0 定义：r (t) = Bt，t ≥ 0 1+Gk (s) = 0 0 3 2 T m s + s + K d s + K = Tm  0 K  0 d  T m  s A L[A1(t)] =

斜坡函数的微分为阶跃函数，它表示斜坡函数的速度变化，故称B为斜坡函数的速度阶跃值。当B=1时，称为单位斜坡函数。rctB拉普拉斯变换为：L[r(1)]=-S3.加速度函数（或抛物线函数）定义：[0, t<0r(t)=图3-3加速度函数-Ct2, t≥02加速度函数的一次微分为斜坡函数，二次微分为阶跃函数。二次微分表示抛物线函数的加速度变化，故称C为加速度阶跃值。当C=1时，称为单位加速度函数。C拉普拉斯变换为：L[r(t)]=s4.脉冲函数Ar (t), (0≤ t<h)1定义：(0)=0(t<0,t≥h)T脉冲函数其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，r(t)图形见上图。若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，则有,t=0及 Jt°r(t)dt = A0,t≠0r(t)=当A=1（h-0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作8()。理想单位脉冲函数的拉普拉斯变换为：L[S(t)]=15.正弦函数X定义：r(t)=Asin@t式中 A-一振幅A一角频率XS图3-5正弦函数二、阶跃响应性能指标控制系统的时域响应，从时间顺序上，一般划分为动态和稳态两个过程。动态过程，又称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指时间1趋于无穷时的系统输出状态。动态过程提供有关系统平稳性的信息，用动态性能描述（DynamicPerformanceSpecification）：稳态过程表征系统的输出量最终复现输入量的程度，用稳态性能Steady-StatePerformanceSpecification即稳态误差来描述。初始状态为零的控制系统，典型输入作用下的输出，称为典型时间响应，如阶跃函数信号输入时，系统的输出称为阶跃响应。通常，控制系统的动态性能都是以系统对单位阶跃的响应为依据来评价控制系统性能的优劣。控制系统的典型单位阶跃响应曲线，如下图所示。te(r)0.05c(0)

      = 0 2 1 0 0 ( ) 2 Ct t t r t ， ， 图3-3 加速度函数 r (t) c t2 t r (t) t h 脉冲函数 A 斜坡函数的微分为阶跃函数，它表示斜坡函数的速度变化，故称 B 为斜坡函数的速度阶跃值。 当 B＝1 时，称为单位斜坡函数。 拉普拉斯变换为 ： 3. 加速度函数（或抛物线函数） 定义： 加速度函数的一次微分为斜坡函数，二次微分为阶跃函数。二次微分表示抛物线函数的加速 度变化，故称 C 为加速度阶跃值。当 C＝1 时，称为单位加速度函数。 拉普拉斯变换为 ： 4. 脉冲函数 ，( 0 ≤ t < h ) 定义：r(t) = 0 ， (t <0,t≥h) 其中脉冲宽度为 h，脉冲面积等于 A，r (t)图形见上图。若对脉冲的宽度 h 取趋于零的极限，则有 ∞ ，t = 0 r (t) = 0 ，t ≠ 0 及  +  − r(t)dt = A 当 A=1（h→0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作δ(t) 。 理想单位脉冲函数的拉普拉斯变换为： 5. 正弦函数 定义：r(t)＝A sinωt 式中 A —— 振幅 ω —— 角频率 图3-5 正弦函数 二、阶跃响应性能指标 ⚫ 控制系统的时域响应，从时间顺序上，一般划分为动态和稳态两个过程。动态过程，又 称为过渡过程或暂态过程，是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。稳态过程是指 时间 t 趋于无穷时的系统输出状态。动态过程提供有关系统平稳性的信息，用动态性能描述 （Dynamic Performance Specification）；稳态过程表征系统的输出量最终复现输入量的程度， 用稳态性能 Steady-State Performance Specification 即稳态误差来描述。 ⚫ 初始状态为零的控制系统，典型输入作用下的输出，称为典型时间响应，如阶跃函数信 号输入时，系统的输出称为阶跃响应。通常，控制系统的动态性能都是以系统对单位阶跃的 响应为依据来评价控制系统性能的优劣。控制系统的典型单位阶跃响应曲线，如下图所示。 2 [ ( )] s B L r t = 3 [ ( )] s C L r t = h A L[ (t)] = 1

根据系统的单位阶跃响应曲线，采用一些数值型的特征参量。这些特征参量又称为时域性能指标。单位阶跃响应曲线1.动态性能指标：1）延迟时间td：响应曲线从零至第一次到达稳态值的50%所需要的时间。2）上升时间tr：响应曲线从零至第一次到达稳态值所需要的时间。有些情况下，指输出响应由稳态值的10%上升到90%所需的时间。3）峰值时间tp：响应曲线从零至第一个峰值所需要的时间。4）调节时间ts：响应曲线从零到达且以后不再超过稳态值的土5%或土2%误差范围所需的最小时间。调节时间又称为过渡过程时间。5）最大超调量%：在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数，0%表示式为c(tp) - c(c0)0%=9x100%c()式中c（8）为t-→8时的输出值。6）振荡次数N：在调节时间内，c（t）偏离（αo）的振荡次数。2.稳态性能指标稳态性能指标主要用稳态误差ess描述。稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳定的控制系统，才会有稳态过程，此时讨论系统的稳态误差才有意义。e=1-c(0)0.05c(0)1e0)fo只取调节时间ts作为动态性能指标单调变化的阶跃响应曲线3.3一阶系统的动态响应、一阶系统的时域数学模型一阶系统的时域微分方程为 dc() + c(t)= r(t)7dt式中c（t）和r（t）分别为系统的输出、输入量：T为时间常数，具有时间“秒的量纲，此外时间常数T也是表征系统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节。由上式在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为C(S) _1(S)=R(S)TS+1一阶系统的结构图

根据系统的单位阶跃响应曲线，采用一些数值型的特征参量。这些特征参量又称为时域性能 指标。 单位阶跃响应曲线 1. 动态性能指标： 1）延迟时间 td ：响应曲线从零至第一次到达稳态值的 50%所需要的时间。 2）上升时间 tr ：响应曲线从零至第一次到达稳态值所需要的时间。有些情况下，指输出响应由 稳态值的 10 %上升到 90 %所需的时间。 3）峰值时间 t p ：响应曲线从零至第一个峰值所需要的时间。 4）调节时间 ts ：响应曲线从零到达且以后不再超过稳态值的±5％或±2％误差范围所需的最小 时间。调节时间又称为过渡过程时间。 5）最大超调量σ％ ：在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分数，σ％表示式为 式中 c（∞）为 t→∞ 时的输出值。 6）振荡次数 N ：在调节时间内，c（t）偏离 c（∞）的振荡次数。 2. 稳态性能指标： 稳态性能指标主要用稳态误差 e ss 描述。稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度 量。稳定的控制系统，才会有稳态过程，此时讨论系统的稳态误差才有意义。 只取调节时间 ts 作为动态性能指标 单调变化的阶跃响应曲线 3.3 一阶系统的动态响应 一、一阶系统的时域数学模型 一阶系统的时域微分方程为 式中 c（t）和 r（t）分别为系统的输出、输入量；T 为时间常数，具有时间“秒”的量纲，此外时 间常数 T 也是表征系统惯性的一个主要参数，所以一阶系统也称为惯性环节。 由上式在初始条件为零时两边取拉氏变换，可得其闭环传递函数为 一阶系统的结构图 100% ( ) ( ) ( ) %   −  = c c t c P  e =1− c() ss ( ) ( ) ( ) c t r t dt dc t T + = 1 1 ( ) ( ) ( ) + = = R S TS C S  S

C(S)R(S)R(S)C(S)1TS + 1TS一阶系统的结构图典型输入响应单位阶跃响应输入r（t）=1（t)、即R(S)=1/S时，系统输出量的拉氏变换式为1111C(S) = Φ (S) R(S)=TS+1 SSS+1/Tt≥0c (t)=l-e-t/T输出响应由两部分组成。一是与时间1无关的定值1"，称为稳态分量；二是与时间1有关的指数项e-1/T，称为暂态（或动态、瞬态)分量。当t-→8o时，暂态分量衰减到零，输出量等于输入量，没有稳态误差（ess=0）。响应曲线如图所示。初始斜率=70.9500.8650.632=I-e-s/T10.05TT102T3T47阶系统的单位阶跃响曲线由上述分析可知：?时间常数工是表征系统响应的唯一参数，它与系统响应之间具有确定的对应关系。例如T时，c（t）=0.632，=2～4T时所对应的（t）值如图所示。这就是用实验法求取一阶系统时间常数T的方法。系统响应曲线在t=0处的斜率最大，即：dc(t)dt运用这一特点也可以通过实验法求取时间常数T。同时，这一特点也是区分一阶系统和非周期响应曲线与高阶系统的无超调响应曲线的基本标志，后者在=0处的斜率为0。两个分量的概念1）c（）由两个部分（即两个分量）组成。其中一个分量是随时间衰减的，称为暂态分量（或瞬态分量）。另一分量与输入信号成正比，称为稳态分量（或静态分量）。稳态分量与输入信号[R(s)=1/s)的极点(s=0)有关，而与传递函数的极点无关：暂态分量与传递函数［G(s)=1/(Ts+1)

R(S) C(S) R(S) — C(S) 一阶系统的结构图 1 1 TS + TS 1 二、 典型输入响应 单位阶跃响应 输入 r（t）＝1（t）、即 R(S)＝1/S 时，系统输出量的拉氏变换式为 c（t）=1- e – t / T t≥0 输出响应由两部分组成。一是与时间 t 无关的定值“1”，称为稳态分量；二是与时间 t 有关 的指数项 e – t / T ，称为暂态 (或动态、瞬态)分量。当 t→∞时，暂态分量衰减到零，输出量 等于输入量，没有稳态误差（ess = 0）。响应曲线如图所示。 由上述分析可知： ⚫ 时间常数 T 是表征系统响应的唯一参数，它与系统响应之间具有确定的对应关系。例如 t=T 时，c（t）=0.632 ，t=2～4T 时所对应的 c（t）值如图所示。这就是用实验法求取一阶系统 时间常数 T 的方法。 ⚫ 系统响应曲线在 t=0 处的斜率最大，即： ⚫ 运用这一特点也可以通过实验法求取时间常数 T。同时，这一特点也是区分一阶系统和非周 期响应曲线与高阶系统的无超调响应曲线的基本标志，后者在 t=0 处的斜率为 0。 两个分量的概念 1）c（t）由两个部分（即两个分量）组成。其中一个分量是随时间衰减的，称为暂态分量（或 瞬态分量）。另一分量与输入信号成正比，称为稳态分量（或静态分量）。稳态分量与输入信号[R （s）=1/s]的极点（s=0）有关，而与传递函数的极点无关；暂态分量与传递函数[ ] C(t） 一阶系统的单位阶跃响曲线 TS S S S T C S S R S 1/ 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) +  = − + =  = t T e dt T dc t t o t T t o ( ) 1 1 1 =         = = − = G(s) =1 (Ts +1)