《自动控制原理》课程授课教案（讲稿）第二章 自动控制系统的数学模型

第周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第二章：自动控制系统的数学模型授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】了解控制系统微分方程的编写，掌握传递函数的概念，熟悉结构图的等效变换和控制系统传递函数的求取、信号流图求传递函数。【重点】求传递函数。研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表达式，称为系统的数学模型（MathematicalModel)。描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为动态及稳（静）态模型。经典控制理论中常用的数学模型有时域（TimeDomain）模型一微分方程，复频域（ComplexFrequencyDomain）模型一传递函数、动静态框图，频域（FrequencyDomain）模型一频率特性、Bode图等。这些数学模型一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的系统概念、指标体系等易手人们理解和使用，但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时域之间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论解析法建立系统的数学模型。2.1控制系统的微分方程的编写一、微分方程的建立控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。建立系统微分方程的一般步骤或方法1.分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量）

课程名称：《自动控制原理》 第 周，第 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第二章：自动控制系统的数学模型 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】了解控制系统微分方程的编写，掌握传递函数的概念，熟悉结构图的等效变换和控 制系统传递函数的求取、信号流图求传递函数。 【重 点】求传递函数。 研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关 系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的 基本性能。描述系统性能的数学表达式，称为系统的数学模型（Mathematical Model）。描述系统动 态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为动态及稳（静）态模型。 经典控制理论中常用的数学模型有时域（Time Domain）模型—微分方程，复频域（Complex Frequency Domain）模型—传递函数、动静态框图，频域（Frequency Domain）模型—频率特性、 Bode 图等。这些数学模型一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、 频域分析方法等研究系统的数学工具。 通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程， 同时，它建立起来的系统慨念、指标体系等易于人们理解和使用。 但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时， 通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般 规律。因而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时域之间的 联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。 系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。 解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参 数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。 如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加 入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。 用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果 误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许可的前提下，尽量简化 其数学模型。 本章只讨论解析法建立系统的数学模型。 2．1 控制系统的微分方程的编写 一、微分方程的建立 控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之 间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积 分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最 高导数项的阶数，又称为系统的阶数。 建立系统微分方程的一般步骤或方法： 1．分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量）

并根据需要引入中间变量。2．根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热力学定律等3．消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。举例电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。象电阻、电感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，象运算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有源器件或电源，就称为有源网络。例 2-1图中所示的电路中，电压ui（t)为输入量，uo(1)为输出量，列写该装置的微分方程式。LRu;(n)uo(n)i(0)解设回路电流为i（1）如图2-1所示．由基尔霍夫电压定律可得到Ldi()+Ri(t)+u (t)=u;(t)dt式中i()是中间变量。i(t)和uo(t)的关系为,du.(t)i(t) =?dt消去中间变量i（)，可得Lc d'u,@+ Rc d,@++ u. (t) = u,(t)dt?dt例 2-2图中所示为由两个RC电路串联而成的滤波网络。试建立输入电压ui和输出电压uo之间动态关系的微分方程。RiR24C解设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回路，有i-i)dtu =Ri+-[(i, -i,)dt= Ri, +i.d

并根据需要引入中间变量。 2．根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，忽略次要因素，并考虑相邻元件的彼此影 响，列写微分方程。 常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热力学定律等 3．消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型。 注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的 各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降阶顺序排列。 举例 电气系统 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气 网络。象电阻、电感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，象运算放大器这种本身包 含电源的器件称为有源器件。仅由无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含 有源器件或电源，就称为有源网络。 例 2-1 图中所示的电路中，电压 u i ( t )为输入量，u o ( t )为输出量，列写该装置的微分方程式。 解 设回路电流为 i ( t ) 如图 2-1 所示．由基尔霍夫电压定律可得到 式中 i ( t )是中间变量。i ( t )和 u o( t )的关系为 消去中间变量 i (t )，可得 例 2-2 图中所示为由两个 RC 电路串联而成的滤波网络。试建立输入电压 ui 和输出电压 uo 之间动态 关系的微分方程。 解 设回路电流 i1 和 i2 为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回路，有 ( ) ( ) ( ) ( ) L Ri t u t u t o i d t d i t + + = dt du t i t C o ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC o i o o + + = = +  i − i dt C u Ri i ( ) 1 1 2 1 1 1  − = +  i dt C i i dt R i C 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ) 1

对后一回路，有且u。i.d由上三式消去中间变量il和i2，整理即得ui和uo之间动态关系的微分方程d'u.du +(RC, + R,C, +R,C,)o+u=uRCRCdt?dt由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应（或前一部分对后一部分的电源效应)。这反映在流过前一回路电容C1的电流上，没有后一回路时为il，而当串联上后一回路则为i1一12。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。如果在上述两个RC电路之间引入一个输入阻抗很高的隔离放大器，则可忽略它们之间的负载效应。这种方法在组合电路中经常采用，这也正是电气系统的一个优点。机械系统机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。例 2-3一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图2-3所示。m为物体质量，k为弹簧系数，为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。Z27/解在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d’x/dt2。设外作用力F为输入量，位移x为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定K律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为d'xdxFkxmdt?dtdx(+ f d(+k(1)= F(0)即mxdt?dtk和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反：粘性摩擦力的方向和速度的方向相77777反。比较例2-1和例2-3可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如例2-1的RLC串联网络系统和例2-3的弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真研究。2.2传递函数一、传递函数的概念和定义?一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。.传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影

对后一回路，有 且 由上三式消去中间变量 i1 和 i2，整理即得 ui 和 uo 之间动态关系的微分方程 由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应(或前一部分对后一部分的电源效 应)。这反映在流过前一回路电容 C1 的电流上，没有后一回路时为 i1，而当串联上后一回路则为 i1 – i2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角 度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。 如果在上述两个 RC 电路之间引入一个输入阻抗很高的隔离放大器，则可忽略它们之间的负载 效应。这种方法在组合电路中经常采用，这也正是电气系统的一个优点。 机械系统 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动 （相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。 例 2-3 一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图 2-3 所示。m 为物体质量，k 为弹簧系数，f 为 粘性阻尼系数，外力 F(t)为输入量，位移 x(t)为输出量。列写系统的运动方程。 解 在物体受外力 F 的作用下，质量 m 相对于初始状态的位移、速度、 加速度分别为 x、dx/dt、d 2x/dt2。设外作用力 F 为输入量，位移 x 为输 出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定 律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为 即 k 和 f 分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示 弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相 反。 比较例 2-1 和例 2-3 可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相 同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如例 2-1 的 RLC 串联网络系统 和例 2-3 的弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为 相似量。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真研究。 2．2 传递函数 一、传递函数的概念和定义 ⚫ 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的 信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而 不需要直接对系统输出响应进行分析。 ⚫ 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。 它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影 =  i dt C u o 2 2 1 o i o o u u dt du RC R C RC dt d u RC R C + ( 1 1 + 2 2 + 1 2 ) + = 2 2 1 1 2 2 x m F k kx dt dx F f dt d x m = − − 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 kx t F t dt dx t f dt d x t m + + =

响。.当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为G（s），即：L[c(t)]C(s)G(s) :L[r()]-R(s)控制系统微分方程式的一般形式为：d"c(t)d"-c(t)dc( + agc(t) =+aadt"dtn-1dtd"r(t)dm-lr(t)dr(0 +bor(t)b+b.+bdt"dim-dt设r（t)、c（t）初始条件为零，并对上式进行拉氏变换，经整理得：b.s"+b.-s- +...+b,s+b.M(s)C(s)G(s)R(s)N(s)a,s"+an-,s-+..+as+a.M(s)传递函数的分子多项式：N(s) -传递函数的分母之多项式。二、传递函数的性质1.传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量怎样变化无关。2.传递函数还可以用下式表达：II(s+ z)b.s" +d.--s-+ +.+d,s+diG(s)EKs"+C-,sn-I+..+cs+CanII(s+ p,)j=lke=bm上式中一零极点形式传递函数的增益：an-=(i=1,2,,m）一一分子多项式MF0的根，称为零点；-p,(j= 1,2,..",n)分母多项式Λ=0的根，称为极点。N（s）=O是控制系统的特征方程式，它与微分方程式的特征方程式一一对应。一ZI、一p可为实数或复数。注意，只有当上式中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递函数的零、极点才会和系统的零、极点完全相同；分母多项式的阶次才代表系统的阶次。3.传递函数还可用时间常数的形式来表示II(t,s+1)G(s)-bxd's+d.+d's+1Ka"c,s"+cs"+.+c's+1I(T,s+1I)传递函数的求取1.直接计算法对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数。2.求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数

响。 ⚫ 当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号 c（t）的拉氏变换式与输入信号 r（t）的 拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为 G（s），即： 控制系统微分方程式的一般形式为： 设 r（t）、c（t）初始条件为零，并对上式进行拉氏变换，经整理得： M（s）──传递函数的分子多项式； N（s）──传递函数的分母之多项式。 二、 传递函数的性质 1. 传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量 怎样变化无关。 2. 传递函数还可以用下式表达： 上式中 ──零极点形式传递函数的增益 ； ──分子多项式M=0的根，称为零点； ──分母多项式N=0的根，称为极点。 N（s）=0是控制系统的特征方程式，它与微分方程式的特征方程式一一对应。－zi、 －pi可为实数或复数。 注意，只有当上式中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递函数的零、极点才会 和系统的零、极点完全相同；分母多项式的阶次才代表系统的阶次。 3．传递函数还可用时间常数的形式来表示 传递函数的求取 1. 直接计算法 对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初 始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数。 2. 求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电 阻、电容和电感的阻抗传递函数。     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R s C s L r t L c t G s = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a m m m m m m n n n n n n + ++ + + ++ + = − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + +  + + + +  + + = = − − − −   = = − − − − + + = + + + + + + + + =  n j j m i i n g n n m m m n m s p s z K s c s c s c s d s d s d a b G s 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( )   n m g a b k = z (i 1,2, ,m) − i =  p ( j 1,2, , n) − j =    = = − − − − + + =  +  + +  +  +  + +  + =  n j j m i i n n n n m m m m T s s K c s c s c s d s d s d s a b G s 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( 1) ( 1) 1 1 ( )   

元件名称电路形式元件微分方程阻抗传递函数电阻RU(s)u(t) = Ri(t)Z(s)RI(s)电感Lu(t) = L di()U(s)Z(s)LsI(s)dt电容CU(s)+Z(s)u(t)I(s)Cs3.利用动态框图求取传递函数R对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态框图和框图运算法则，可方便地求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。4.利用梅逊公式求取传递函数该方法将在后面讨论。。例2-5解法1求例2-1在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感L、电容C和电阻R，分别用它们的复阻抗求解往往是比较简便的。令Z1=R+Ls，为电阻和电感的复数阻抗之和：为电容的复数1阻抗。则1Z,U.(s)CsG(s) =U(s)LCs2+ RCs +1Z + Z,1R+ Ls +Cs解法2例2-1的RLC串联电路的微分方程为~d'u.(l)++ Rc d,@ + 1,()= u()LCdt?dt当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为1U.(s)G(s)U,(s)LCs2+ RCs +1三、典型环节的传递函数S若通过微分方程的最简单形式（如一阶或二阶微分方程式）描述元件或其中一部分的动态性能时，通常称这种简单形式为典型环节（TypicalElements）。控制系统中有许多结构性质不同的元件，只要它们的数学模型的形式相同，则其动态性能也必然存在内在的联系，因而可以把它们归成一类，以有利于研究系统内部各单元之间的动态关系。控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。同时，基于环节的定义，一个元福件可能是一个典型环节，但也可能包含数个典型环节，或者由数个典型环节构成一个环节。典型环节都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用带框的图形符号（包含输入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体。1.比例环节比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系成正比关系，既它的输出量能够无Y(s)失真、无滞后地，按一定的比例复现输入量。其传递函数为=KG(s)X(s)

3. 利用动态框图求取传递函数 对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态框图和框图运算法则，可方便地 求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。 4. 利用梅逊公式求取传递函数 该方法将在后面讨论。 例 2-5 解法 1 求例 2-1 在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感 L、电容 C 和电阻 R，分别用它 们的复阻抗求解往往是比较简便的。令 Z1=R+Ls，为电阻和电感的复数阻抗之和；为电容的复数 阻抗。则 解法 2 例 2-1 的 RLC 串联电路的微分方程为 当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为 三、 典型环节的传递函数 ⚫ 若通过微分方程的最简单形式（如一阶或二阶微分方程式）描述元件或其中一部分的动态 性能时，通常称这种简单形式为典型环节（Typical Elements）。 ⚫ 控制系统中有许多结构性质不同的元件，只要它们的数学模型的形式相同，则其动态性 能也必然存在内在的联系，因而可以把它们归成一类，以有利于研究系统内部各单元之间 的动态关系。 ⚫ 控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。同时，基于环节的定义，一个元 件可能是一个典型环节，但也可能包含数个典型环节，或者由数个典型环节构成一个环节。 ⚫ 典型环节都可以用功能框（Function Block）表示。功能框是用带框的图形符号（包含输 入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体。 1．比例环节 比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系成正比关系，既它的输出量能够无 失真、无滞后地，按一定的比例复现输入量。其传递函数为 u(t) = Ri(t) dt di t u t L ( ) ( ) = =  i t dt C u t ( ) 1 ( ) R I s U s Z s = = ( ) ( ) ( ) Ls I s U s Z s = = ( ) ( ) ( ) I s Cs U s Z s 1 ( ) ( ) ( ) = = 电容C 电感L 电阻R 元件名称 电路形式 元件微分方程 阻抗传递函数 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 + + = + + = + = = LCs RCs Cs R Ls Cs Z Z Z U s U s G s i o ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC o i o o + + = 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = U s LCs RCs U s G s i o K X s Y s G s = = ( ) ( ) ( )

2.微分环节理想微分环节的特点是，其输出量与输入量的一阶微分成正比，即Y(s)式中 dx(t)T一时间常数。其传递函数为 G(s)TSJ(t) =tX(s)dtcMo(t)u;(1)当T《1时，才能近似地得到G(s)~TS理想微分环节输入输出关系与积分环节正好相反，传递函数互为倒数。这种理想微分环节在实际中难以得到，往往使用一些近似环节来执行微分作用，我们称它们为实际微分环节。3.积分环节积分环节的输出量是输入量对时间的积分，即y(t)=KJx(t)dt式中K为比例系数，K与时间量纲有关。当输入量和输出量为相同的理量时，K的量纲为s，故1可将积分环节的系数（积分时间常数）写成K=TY(s) _K积分环节的传递函数为G(s)：X(s)SLi(tug(n)4.一阶微分环节该环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和，其传递函数为G（s）=S十1比例微分环节为比例环节和理想微分环节的叠加。比例-微分环节与惯性环节的传递函数互为倒数。5.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输出量和输入量之间的关系可用以下的微分方程描述dy(t)+ y(t) = Kx(t)dtKY(s)对应的传递函数为G(s)式中T--时间常数：K-一比例系数。X(s)Ts + 1

2．微分环节 理想微分环节的特点是，其输出量与输入量的一阶微分成正比，即 式中 τ — 时间常数。 其传递函数为 当τ « 1 时，才能近似地得到 理想微分环节输入输出关系与积分环节正好相反，传递函数互为倒数。这种理想微分环节在 实际中难以得到，往往使用一些近似环节来执行微分作用，我们称它们为实际微分环节。 3．积分环节 积分环节的输出量是输入量对时间的积分，即 式中 K 为比例系数，K 与时间量纲有关。当输入量和输出量为相同的理量时，K 的量纲为 s -1，故 可将积分环节的系数（积分时间常数 ）写成 积分环节的传递函数为 4．一阶微分环节 该环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和，其传递函数为 比例微分环节为比例环节和理想微分环节的叠加。比例-微分环节与惯性环节的传递函数互为倒数。 5．惯性环节 惯性环节又称非周期环节，其输出量和输入量之间的关系可用以下的微分方程描述 对应的传递函数为 式中 T——时间常数；K ——比例系数。 dt dx t y t ( ) ( ) =  s X s Y s G s = = ( ) ( ) ( ) G(s) s y(t) = K x(t)dt  1 K = s K X s Y s G s = = ( ) ( ) ( ) G(s) = s +1 ( ) ( ) ( ) y t Kx t dt dy t T + = ( ) 1 ( ) ( ) + = = Ts K X s Y s G s

6.振荡环节u,(r)o(r)i(t)dy(t)dy(t)振荡环节的微分方程是+ y(t) = x(t)dt?dt1o.Y(s)其传递函数为 G(s)：Ts?+2Ts+1s?+250S+0X(s)一阻尼比式中T—时间常数；①一自然振荡角频率；E7.二阶微分环节二阶微分环节的微分方程为d'x(t)dx(t)y(t)= t2ET+ x(t)dt?dt二阶微分环节的传递函数与振荡环节的传递函数互为倒数。Y(s)=ts?+2Es+1G(s) =X(s)2.3控制系统结构图及其简化一、结构图的基本概念系统结构图又称方块图，他是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的：方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函数。表明了系统的组成、信号的传递方向；1.2表示出了系统信号传递过程中的数学关系：3可揭示、评价各环节对系统的影响：4.易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；

6．振荡环节 振荡环节的微分方程是 其传递函数为 式中 T——时间常数；  n—自然振荡角频率； ξ——阻尼比 7．二阶微分环节 二阶微分环节的微分方程为 二阶微分环节的传递函数与振荡环节的传递函数互为倒数。 2．3 控制系统结构图及其简化 一、结构图的基本概念 系统结构图又称方块图，他是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的 联系，将各方块连接起来构成的；方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用 箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函数。 1. 表明了系统的组成、信号的传递方向； 2. 表示出了系统信号传递过程中的数学关系； 3. 可揭示、评价各环节对系统的影响； 4. 易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数； 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n X s T s Ts s s Y s G s     + + = + + = = ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 x t dt dx t dt d x t y t = +  + 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 = = s + s + X s Y s G s   ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 y t x t dt dy t T dt d y t T +  + =

5.直观、方便（图解法）。二、组成和建立1.组成（结构图四要素）①方块：一个元件（环节）r(t)(t)G(s)()R(s)r(t)②信号流线：箭头表示信号传递方向R(s)r(0)r(0)③分支点信号多路输出且相等R()R(s)r@R(s)r(t)r()干b(t)相加点（综合点、比较点）R(s)R(s)FB(S相同性质的信号进行去取代数和b(d)（相同量纲的物理量）[B(s)把一个系统的各个环节全用函数方块表示，并且根据各环节信号的相互关系，用信号流线和相加点把各个函数方块连接起来，这样形成的一个完整图形就是系统的动态结构方块图。下图是一个负反馈系统的方块图。，相加点分支点X(s)Y(s)G(S)H(S2.结构图的建立①步骤a.列出描述每个元件的拉普拉斯变换方程。b.以构成结构图的基本要素表示每个方程，并将各环节的传递函数填入方块图内：将信号的拉普拉斯变换标在信号线附近。c.按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的结构图连接起来，以构成系统的结构图。②举例R1R2·绘出如图所示两级RC网络的结构图。i3·解（1）列写运动方程LCCt-M1u-u, = Rii=i-i[idt=u, u-y=Rii,dt = 1C（2）将上面各式取拉氏变换。取零初始条件，并整理成因果关系式1I(s)=[U(s)-U,(s)]-I(s)=I(s)-I,(s)U(s)= I(s)RC,sI1I,(s) =[U,(s)- Y(s)]Y(s) =I,(s)RC,s

5. 直观、方便（图解法）。 二、组成和建立 1.组成（结构图四要素） ①方块：一个元件（环节） ②信号流线：箭头表示信号传递方向 ③分支点 信号多路输出且相等 ④相加点（综合点、比较点） 相同性质的信号进行去取代数和 （相同量纲的物理量） 把一个系统的各个环节全用函数方块表示，并且根据各环节信号的相互关系，用信号流线和相加 点把各个函数方块连接起来，这样形成的一个完整图形就是系统的动态结构方块图。下图是一个 负反馈系统的方块图。 2.结构图的建立 ①步骤 a. 列出描述每个元件的拉普拉斯变换方程。 b. 以构成结构图的基本要素表示每个方程，并将各环节的传递函数填入方块图内；将信号的拉普 拉斯变换标在信号线附近。 c. 按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的结构图连接起来，以构成系统的结构图。 ②举例 ⚫ 绘出如图所示两级 RC 网络的结构图。 ⚫ 解 （1）列写运动方程 （2）将上面各式取拉氏变换。取零初始条件，并整理成因果关系式 u u Ri − 1 = 1 1 2 i = i − i  1 = 1 1 1 i dt u C 1 2 2 u − y = R i  i dt = y C 2 2 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( )] R I s = U s −U s ( ) ( ) ( ) 1 2 I s = I s − I s C s U s I s 1 1 1 1 ( ) = ( ) 2 2 1 1 ( ) [ ( ) ( )] R I s = U s −Y s C s Y s I s 2 2 1 ( ) = ( )

（3）作出相应的方块图，如下图所示。1,)1) 1G)0,s)Ua-I,(s)--12(0)U,(s)Yo)U)8Ry(.)(a)U(s)-ytso(6)（4）将各元件方块图按信号流向联结起来，便得到两级RC网络的方块图，如图(b)所示。注意：图(b)并不等于两个RC网络的方块图的串联，因为两级RC电路之间有负载效应。结构图的等效变换三为求得整个系统的传递函数，进行简化，相当于在结构图上进行代数运算，常有：①环节合并：②信号分支点或相加点的移动。基本原则：变换前后待求系统的输出量、输入量之间数学关系保持不变方块图变换规则：1.串联环节的简化：若干环节串联起来的总传递函数等于各环节传递函数的乘积（各环节间应无负载效应）。以下图所示的串联环节为例，可知：Y(s)X (s)Y;(s)G,(s)Gi(s)G(s)Y(s)(a)G(s) =G(s)G,(s)...G(s)X(s)Y(s)X (s)Gi(s) G2(s) ...Gr(s)(b)2.并联环节的简化：若干环节并联起来的总传递函数等于各环节传递函数的代数和。以下图所示的并联为例，可知Y,(s)Gr(s)Y(s)X (s)Y.(s)G(s)Y(s).Y(s) -Y,(s)+Y,(s)G(s)=Y3(s)G;(s)X(s)X(s)(a)=G(s)-G,(s)+G,(s)Y(s)X(s)G(s)-G2(s) +G,(s)(b)3．反馈回路的简化下图（a）表示的具有反馈联接的最基本的闭环系统，设GB（s）为该闭环系统的传递函数，则其等效方块图如下图(b)所示

（3）作出相应的方块图，如下图所示。 （4）将各元件方块图按信号流向联结起来，便得到两级 RC 网络的方块图，如图(b)所示。 注意：图(b)并不等于两个 RC 网络的方块图的串联，因为两级 RC 电路之间有负载效应。 三、 结构图的等效变换 为求得整个系统的传递函数，进行简化，相当于在结构图上进行代数运算，常有： ①环节合并；②信号分支点或相加点的移动。 基本原则：变换前后待求系统的输出量、输入量之间数学关系保持不变 方块图变换规则： 1．串联环节的简化：若干环节串联起来的总传递函数等于各环节传递函数的乘积（各环节间应无 负载效应）。以下图所示的串联环节为例，可知： 2．并联环节的简化：若干环节并联起来的总传递函数等于各环节传递函数的代数和。以下图所示 的并联为例，可知 3．反馈回路的简化 下图（a）表示的具有反馈联接的最基本的闭环系统，设 G B ( s )为该闭环系统的传递函数， 则其等效方块图如下图 (b)所示。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 G s G s G s X s Y s G s = =  n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 G s G s G s X s Y s Y s Y s X s Y s G s = − + − + = =

Y(s) E(s)G(s) [X(s)B(s)]G(s)G(s):A(s)Y(s)2(SX(s)X(s)X(s)G(s)_[X(s)+Y(s)H(s)G(s) = G(s)+G,(s)H(s)G(s)X(s)B(s)H(s)(a)Y(s)G(s)G(s)G.(s) =Y(s)X(s)G(s)X(s)1±G(s)H(s)1±G,(s)1 ± G(s) H(s)(b)式中Gx(s)闭环系统的开环传递函数，B(s)G.(s)=G(s)H(s) E(s)开环传递函数无量纲。注意：开环传递函数是闭环系统分析中的一个重要概念。开环传递函数并不是指开环系统的传递函数，它主要用来研究控制系统的固有性能，其系数与系统的特征参数相对应。4.相加点的移动法则：相加点移动后应保持原输出信号不变。（1）相加点后移相加点由传递函数为G的方块图之前移至该方块之后，如下图所示，需要在X2信号流向线上加一个传递函数为G的方块。X, +(X,+X)GX,G+X:GGX:（2）相加点前移读者自己试分析。（3）相加点互移两相邻相加点之间的换位移动，无需作其它变换。[x;X+X-X:+X,Xi+X-X:X2Ix,5分支点的移动法则：分支点移动后应保持分支点引出线上的信号不变。（1）分支点前移分支点由传递函数为G的方块之后移至该方块之前，如下图所示，需要在分支点引出线上加一个传递函数为G的方块。X.X,GXLX.GX.G-（2）分支点后移：读者自己试分析。（3）分支点由相加点之后移至相加点之前如下图所示，需要在分支点引出线上加一个情况完全相同的相加点。XX.X,-X.X,-X

式中 GK(s) —— 闭环系统的开环传递函数， • 开环传递函数无量纲。 • 注意：开环传递函数是闭环系统分析中的一个重要概念。开环传递函数并不是指开环系统 的传递函数，它主要用来研究控制系统的固有性能，其系数与系统的特征参数相对应。 4．相加点的移动法则：相加点移动后应保持原输出信号不变。 （1）相加点后移 相加点由传递函数为 G 的方块图之前移至该方块之后，如下图所示，需要在 X2 信号流向线上加一个传递函数为 G 的方块。 （2）相加点前移 读者自己试分析。 （3）相加点互移 两相邻相加点之间的换位移动，无需作其它变换。 5．分支点的移动法则：分支点移动后应保持分支点引出线上的信号不变。 （1）分支点前移 分支点由传递函数为 G 的方块之后移至该方块之前，如下图所示，需要在分支 点引出线上加一个传递函数为 G 的方块。 （2）分支点后移：读者自己试分析。 （3）分支点由相加点之后移至相加点之前 如下图所示，需要在分支点引出线上加一个情况完全 相同的相加点。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s H s G s X s X s Y s H s G s X s X s B s G s X s E s G s X s Y s G s B B    = = = = = 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s G s H s G s X s Y s G s K B  =  = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s B s G s G s H s K = =