《自动控制原理》课程授课教案（讲稿）第四章 根轨迹法

第_周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第四章：根轨迹法授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】熟悉和掌握根轨迹法的基本概念，根轨迹的绘制方法。了解用根轨迹法分析系统的暂态特性。【重点】根轨迹的绘制。闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，求解困难。1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法一一根轨迹法。在开环零、极点分布已知的情况下，绘制闭环极点随系统参数变化而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途：①对系统的性能进行分析；②确定系统应有的结构、参数；③进行设计和综合。41根轨迹的基本概念一、根轨迹图1.定义：根平面：在一个复平面（s平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为kg）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。2.用解析法绘制根轨迹已知：R(s)C(s)K$(0.5s + 1)Kk2Kk.=2K系统开环传递函数G(s) =s(0.5s +1)s(s + 2)s(s + 2)p2=-2开环有两个极点：pl=0，开环没有零点。闭环特征方程为：D(s) =s2 +2s + kg =0, =-1+/1-k, ; s, =-1-/1-k解得闭环特征根（亦即闭环极点）可见，当kg变化，两个闭环极点也随之连续变化。当kg从0-→8变化时，描点作出两个闭环极点的变化轨迹（1）当kg=0时，s1=0、s2=一2，此时闭环极点就是开环极点。（2）当0<kg<1时，sl、s2均为负实数，且位于负实轴的（一2，0）一段上。（3）当kg=1时，s1=s2=一1，两个负实数闭环极点重合在一起。jJk,-i

课程名称：《自动控制原理》 第 周，第 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第四章：根轨迹法 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】熟悉和掌握根轨迹法的基本概念，根轨迹的绘制方法。了解用根轨迹法分析系统的 暂态特性。 【重 点】根轨迹的绘制。 ⚫ 闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系 统其特征方程一般为高阶，求解困难。 ⚫ 1948 年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法——根轨迹法。 ⚫ 在开环零、极点分布已知的情况下，绘制闭环极点随系统参数变化而在 s 平面上移动的轨迹 （根轨迹）。 ⚫ 用途：① 对系统的性能进行分析； ② 确定系统应有的结构、参数； ③ 进行设计和综合。 4．1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹图 1.定义： 根平面：在一个复平面（s 平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复 平面就称为根平面。 根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为 kg）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的 轨迹。 2.用解析法绘制根轨迹 已知： 系统开环传递函数 开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 解得闭环特征根（亦即闭环极点） ； 可见，当 kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当 kg 从 0→∞变化时，描点作出两个闭环极点的变化轨迹 （1）当 kg = 0 时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点就是开环极点。 （2）当 0＜kg＜1 时，s1、s2 均为负实数，且位于负实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当 kg = 1 时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极点重合在一起。 ( 2) ( 2) 2 (0.5 1) ( ) + = + = + = s s k s s K s s K G s g k g = 2K g s = −1− 1− k k g 2 s1 = −1+ 1− j k g −1

(4）当11时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态，其阶跃响应为衰减的振荡过程。（5）有一个为0的开环极点，系统为型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。由上述分析过程可知，通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨迹图，这对高阶系统将是很紧重的和不现实的。为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。二、根轨迹方程绘制根轨迹的实质，在于在s平面寻找闭环特征根的位置。C(s)R(s)XG(s)H(s)G(s)C(s)闭环传递函数为Φ(s):R(s)1+G(s)H(s)闭环特征方程为l+G(s)H(s)=0即G,(s)=-1k,(s+z)m个开环零点n个开环极点（根轨迹方程）Gk(s)=-kg：根轨迹增益(s+ p,)j=l.在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、...、s8o，都是闭环特征根，即闭环极点。三、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程：s=α+jの为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。k,/(s+z,)=-1Gx(s)=I(s+ p,)i=l

（4）当 1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± ，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2 的实部不随 kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线上。 （5）当 kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞，此时 s1、s2 将趋于无限远处。 可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能： （1）根轨迹增益 kg 从 0→∞时，根轨迹均在 s 平面左半部，在所有的 kg 值下系统都是稳定的。 （2）当 01 时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减的振荡过程。 （5）有一个为 0 的开环极点，系统为Ⅰ型系统，其阶跃作用下的稳态误差 ess 为零。 由上述分析过程可知，通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进 行分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨迹图，这对高阶系统将 是很繁重的和不现实的。为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系， 通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。 二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于在 s 平面寻找闭环特征根的位置。 闭环传递函数为 闭环特征方程为 即 m 个开环零点 n 个开环极点 （根轨迹方程） kg：根轨迹增益 ∴在 s 平面上凡是满足上式的任意一个点 s1、s2、.、 s∞，都是闭环特征根，即闭环极点。 三、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程 ∵ 为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) C s G s s R s G s H s  = = + 1+ G(s)H(s) = 0 GK (s) = −1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + =   = = n j j m i g i K s p k s z G s s = + j 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + =   = = n j j m i g i K s p k s z G s

幅值条件：e2ls+p,i=lEZ(s +z)-Z(s+p,)=(2k+1)元k=0,±1,±2,..相角条件：台j=l相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。四、幅值条件和相角条件应用1.用相角条件求根轨迹（试探法）相角条件：≥4($+=,)-2(s+P,)=(2k+1)元k=0，±1,±2，..-1i=l例：已知系统的开环传递函数如下，试判断s(-1,jl)，s,(-0.5,-jl)是否在根轨迹上。kgGk(s) =s(s+ 1)解：sl：(s+z.)-ZZ(s + p,) = 0- Z(s + p)-Z(s + p2)==Zs, - 2(s +1)Zi=1=-135°-90°=225°不符合相角条件，s1不在根轨迹上。2: 0-2(s2 + p)-Z(s, + p,)=-(-116.6)-(-63.4°)=180°满足相角条件，s2在根轨迹上。2.用幅值条件确定kg的值幅值条件：s+p,Js+ps+pa.s+p,|_各开环极点至测试点向量长度之积Ks+zs+=2.s+zm各开环零点至测试点向量长度之积/s+≥/=例：求上例中根轨迹上s2(-0.5,-jl)点对应的kg。解：k, =|s, + pl/s + p2| =|-0.5- j +0-0.5- j+1|=1.118×1.118=1.25s2+pl、[s2+p2|也可以用直尺测量向量的长度。4.2绘制根轨迹的基本规则由开环零、极点→当kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。一、连续性1+Gk(s)=0是kg或其它参数的连续函数。当kg从0-+连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。二、对称性：线性系统特征方程系数均为实数，：闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的分支数

( ) ( 1) g K k G s s s = + 2 1 2 2 0 ( ) ( ) ( 116.6 ) ( 63.4 ) 180 −  + −  + = − − − − = s p s p 2 1 2 2 0.5 0 0.5 1 1.118 1.118 1.25 g k s p s p j j = + + = − − + − − + =  = 幅值条件： 相角条件： 相角条件方程和 kg 无关，s 平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值 条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的 kg 时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹 的充分必要条件。 四、幅值条件和相角条件应用 1.用相角条件求根轨迹（试探法） 相角条件： 例：已知系统的开环传递函数如下，试判断 ， 是否在根轨迹上。 解：s1： 不符合相角条件， s1 不在根轨迹上。 s2： 满足相角条件， s2 在根轨迹上。 2. 用幅值条件确定 kg 的值 幅值条件： 例：求上例中根轨迹上 点对应的 kg 。 解： 、 也可以用直尺测量向量的长度。 4．2 绘制根轨迹的基本规则 由开环零、极点→当 kg 为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。 一、连续性 是 kg 或其它参数的连续函数。 当 kg 从 0→+∞连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。 二、对称性 ∵线性系统特征方程系数均为实数，∴闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根）， 根轨迹对称于实轴。 三、根轨迹的分支数 1 1 1 = + +   = = n j j m i g i s p k s z   = =  + −  + = + m i n j i j s z s p k 1 1 ( ) ( ) (2 1) k = 0，1， 2，   = =  + −  + = + m i n j i j s z s p k 1 1 ( ) ( ) (2 1) k = 0，1， 2， ( 1, 1) 1 s − j ( 0.5, 1) 2 s − − j   = =  + −  + m i n j i pj s z s 1 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 p2 = − s + p − s + ( 1) = −s1 − s1 +    = −135 −90 = −225 1 2 1 2 1 1 各开环零点至测试点向量长度之积 各开环极点至测试点向量长度之积 = + + + + + + = + + =   = = m n m i i n j j g s z s z s z s p s p s p s z s p k   ( 0.5, 1) 2 s − − j 2 p2 s2 + p1 s + 1+GK (s) = 0

开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环数都为n个，当kg从0→+o变化时，n个根在s平面上连续形成n条根轨迹。条根轨迹对应一个闭环极点随kg的连续变化轨迹。根轨迹的分支数=系统的阶数四、根轨迹的起点和终点由幅值条件有：/s+z,n≥mK/s+p1.起点：kg=0，等式右边=8o，仅当s=-p,(j=1,2,",n）成立..n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。2.终点：kg=80，等式右边=0①当s=-zi=1,2,.,m）成立，m条根轨迹终止于m个开环零点处；②由于>m时，只有s→8处s"=lim1方程左边=lim=05-→0 g" 5-0 51-m.另外n一m条根轨迹终止于处（土，相角可为任意方向）。结论：根轨迹以n个开环极点为起点；以m个开环零点为终点，另外n一m条根轨迹终止于无穷远处。五、实轴上的根轨迹①（s+pz）(s,+p3）两向量对称于实轴，引起的io5平面相角大小相等、方向相反；（s+z,）、（s,+=）两向量也对称于实轴，引起1-00的相角大小相等、方向相反判断s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。0-PP②位于s1左边的实数零、极点(s,+z）、（s+p4)向量引起的相角为0°8：判断s1是否落在根轨迹上，位于sI左边的零、R.Jo.-Ps极点不考虑。23③位于s1右边的实数零、极点：每个零、极点提供180°相角，其代数和为奇数，则满足相角条件。结论：s1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则s1位于根轨迹上。六、根轨迹的渐近线若n>m，当kg从0+时，有(n-m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角9，截距为-O。的一组渐近线趋向无穷远处。= ±180(2k+1)k=0,1,2…．取够n-m个夹角n-m与实轴交点的坐标：Z(-p,)-E(-z,)开环极点和-开环零点和i=lj=lOan-mn-m仅当s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近，kg→α，根轨迹才与渐近线重合

开环传递函数为 n 阶，故开环极点和闭环数都为 n 个，当 kg 从 0→+∞变化时，n 个根在 s 平面上连续形成 n 条根轨迹。 一条根轨迹对应一个闭环极点随 kg 的连续变化轨迹。 根轨迹的分支数=系统的阶数 四、 根轨迹的起点和终点 由幅值条件有： 1.起点：kg=0，等式右边= ∞，仅当 成立 ∴n 条根轨迹起始于系统的 n 个开环极点。 2.终点：kg= ∞ ，等式右边=0 ①当 成立，m 条根轨迹终止于 m 个开环零点处； ②由于 n>m 时，只有 s→ ∞处 ∴另外 n－m 条根轨迹终止于∞处（±∞，相角可为任意方向）。 结论：根轨迹以 n 个开环极点为起点；以 m 个开环零点为终点，另外 n－m 条根轨迹终止于无穷 远处。 五、实轴上的根轨迹 ① 、 两向量对称于实轴，引起的 相角大小相等、方向相反； 、 、 两向量也对称于实轴，引起 的相角大小相等、方向相反 ∴判断 s1 是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。 ② 位于 s1 左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角为 0° ∴判断 s1 是否落在根轨迹上，位于 s1 左边的零、 极点不考虑。 ③ 位于 s1 右边的实数零、极点： 每个零、极点提供 180°相角，其代数和为奇数，则满足相角 条件。 结论：s1 右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则 s1 位于根轨迹上。 六、根轨迹的渐近线 若 n>m，当 kg 从 0→+∞时，有(n–m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角θ，截距为 的 一组渐近线趋向无穷远处。 与实轴交点的坐标： 仅当 s 足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近， kg→∞，根轨迹才与渐近线重合。 1 1 1 m i i n g j j s z n m K s p = = + =  +   s p ( j 1,2, ,n) = − j =  s z (i 1,2, ,m) = − i =  0 1 = lim = lim = − → → n m s n m s s s s 方程左边 ( ) 1 p2 s + ( ) 1 p3 s + ( ) 1 2 s + z ( ) 1 3 s + z ( ) 1 1 s + z ( ) 1 p4 s + ( ) k 取够n m个夹角 n m k = − − + =    0,1,2, 180 2 1  n m n m p z n j m i j i a − − = − − − − − =   =1 =1 开环极点和 开环零点和 ( ) ( )  − a

例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定s平面上根轨迹的渐近线方向。k,(s+1)Gx(s) =s(s+4)(s +2s+2)jo解：开环极点：-pi=0,-p2=-1+jl,-p=-1-jl,-p4=-4s平面开环零点：-2=-1n-m=33条趋于无穷远处-0, =- (0)+(-1+J)+(-1-J)-(-1) _ - 5413O截距0A?60°k=0180(2k+1)= 180 (2k +1)180°k=13n-m300°k=22夹角七、根轨迹的分离点和会合点tjco1.分析：1.如图，(-00,-z,][-P1,-,]为实轴上的根轨迹两条根轨迹分别由-P和-P出发，随-P2-2Pg的增大，会合于a点继而又分开，离开实轴，a0h进入复平面，再回到实轴，会合于b点再离开，一条终止于一Z，，另一趋于负无穷远处。若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般多出现在实轴上。2.规律：①若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点；②若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点：③若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。土180°在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角3.求分离角（会合角)）：0.=1为相分离的根轨迹分支数4.分离点的求取①重根法[A(s)=0特征方程：A(s)=0具有重根，则A(s)=0kg I(s +z)N(s)Gk (s)kgD(s)(s +pj)N(S)=0特征方程：1+kD(s)D(s)+ k_N(s)= 0A(s)= D(s)+k,N(s)= 0A'(s)= D(s)+ k,N'(s)= 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 D s N s k s p k s z G s n g j j m i g i K = + + =   = = 例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定 s 平面上根轨迹的渐近线方向。 解：开环极点： 开环零点： 3 条趋于无穷远处 截距 夹角 七、根轨迹的分离点和会合点 1.分析：1.如图， ， 为实轴 上的根轨迹 两条根轨迹分别由 和 出发，随 kg 的增大，会合于 a 点继而又分开，离开实轴， 进入复平面，再回到实轴，会合于 b 点再离开， 一条终止于 ，另一趋于负无穷远处。 若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇 后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般 多出现在实轴上。 2.规律：① 若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点； ② 若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点； ③ 若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也 可能都没有。 3.求分离角（会合角）： 在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角 l 为相分离的根轨迹分支数 4. 分离点的求取 ① 重根法 特征方程： 具有重根，则 特征方程： ( ) ( )( ) 2 ( 1) 4 2 2 g K k s G s s s s s + = + + + − p1 = 0,−p2 = −1+ j1,−p3 = −1− j1,−p4 = −4 − z1 = −1 n−m = 3 3 5 4 1 (0) ( 1 1) ( 1 1) ( 1) = − − + − + + − − − − − = − j j  a ( ) ( )      = = = = + = − + =  300 2 180 1 60 0 3 180 2 1 180 2 1 k k k k n m k      ( , ] 1 − −z [ , ] −p1 −p2 − p1 2 − p 1 − z l d   = 180  A(s) = 0 ( )  ( )    = = 0 0 A s A s 0 ( ) ( ) 1+ = D s N s kg D(s) + kgN(s) = 0 ( ) ( )     =  +  = = + = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 A s D s k N s A s D s k N s g g

消kg得D(s)N(s)-N(s)D'(s)=0→s分离点举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。hGx(s)=s(s+1)(s +2)N(s)=1解：（用重根法）D(s)= s(s+1)(s +2)= s3 +3s2 +2sN'(s)=0D'(s)= 3s +6s +2D(s)N'(s)- N(s)D'(s)= 3s2 +6s+2 = 0S, = 0.423, = 1.577(- p =0判断：开环极点有三个-P,=-1(- P, = -2：在实轴上根轨迹-80,-2]，「-1,0]则s1满足，为分离点。八、根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角29.-200,=180°+菜i=l元a入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角S1人Qao.70P=180°+0.j=l121a003-P,-21-P302-P2九、根轨迹与虚轴的交点随着kgt，根轨迹可能由s左半平面→右半平面，系统会从稳定→不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。求解方法（两种方法）：①令s=jの代入闭环特征方程A(s)=0，再令Re[A(s)]=Im[A(s)]=0求出交点坐标和g。②劳斯判据：第一列有0元素（纯虚根），代入辅助方程，此处的增益临界根轨迹增益kgp。例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益kgp。kgGx(s)=s(s+1)(s+2)A(s)= s(s+1)(s+2)+k, = s +3s2 +2s+k. =0解：①令s=jの代入有（jの)+3(j)?+2(jo)+k=0(kp-30)+j(20-03)=0[0=0[k-302=0[0=±/2[kgp=0[20-03=0kp=6

消 kg 得 →s 分离点 举例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。 解：（用重根法） 判断：开环极点有三个 ∴ 在实轴上根轨迹 ， 则 s1 满足，为分离点。 八、根轨迹的出射角和入射角 出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角 入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角 九、根轨迹与虚轴的交点 随着 kg↑，根轨迹可能由 s 左半平面→右半平面，系统会从稳定→不稳定，根轨迹与虚轴的 交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。 求解方法（两种方法）： ① 令 代入闭环特征方程 ，再令 求出交点坐标和 kg。 ②劳斯判据：第一列有 0 元素（纯虚根），代入辅助方程，此处的增益→临界根轨迹增益 kgp。 例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益 kgp。 解：① 令 代入有 D(s)N(s) − N(s)D(s) = 0 ( ) ( +1)( + 2) = s s s k G s g K D(s) s(s 1)(s 2) s 3s 2s 3 2 = + + = + + N(s) =1 ( ) 3 6 2 2 D s = s + s + N(s) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6 2 0 2 D s N s − N s D s = s + s + = 1.577 0.423 2 1 = − = − s s      − = − − = − − = 2 1 0 3 2 1 p p p (−,−2] [−1,0]    = = = + − n j a j j m i a i 1 1  180       = = = + − m i b i i n j b j 1 1  180    s = j A(s) = 0 ReA(s)= ImA(s)= 0 ( ) ( +1)( + 2) = s s s k G s g K ( ) ( 1)( 2) 3 2 0 3 2 A s = s s + s + + kg = s + s + s + kg = s = j ( ) 3( ) 2( ) 0 3 2 j + j + j + kgp = ( 3 ) (2 ) 0 2 3 kgp −  + j  − =    − = − = 2 0 3 0 3 2   kgp     = = 0 0 gp k      = =  6 2 gp k 

得（舍去）Ke交点坐标：±jo=j2kgp=6=3K=2解：②劳斯判据5312S23kg6-kgs10350kg当k。=6时，sl行等于0，有一对纯虚根，辅助方程3s2+k=0s2=2s=±j/2十、闭环极点的和与积设系统的开环传递函数为I(s+z)(s"+bm-++...+bs+b.)Gx(s)=k(s" +an-'s"-I +...+a,s+aI(s+pij=由根与系数的关系：C(-p,)=-an-Ij=1系统的闭环特征方程为A(s)=s"+an-isn-I +...+a,s+a, +km+b.sm-l+...+bs+b=(：A(s）是一个n阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为一Si,-S2，-S，，则A(s)= s" +cn-s"- +...+co =0(-s,)=-Cn-1闭环极点之和由根与系数的关系：ⅡI(-s,)=(-1)"c。 闭环极点之积E(-p,)=const-当n-m≥2时，a,-=c-1表明，随着kg1，若闭环一些特征根增加时，另一些特征根必定减小，以保持其代数和为常数。即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。①可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。②对于某一kg，若已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为S.2=土j/2，试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益kgpkgGk(s)=s(s+1)(s +2)解：闭环特征方程：A(s)=s3+3s?+2s+k。=0：开环极点之和：0+(-1)+（-2)==3闭环极点之和; (-s,)+(-s)+(-s2)=(-s,)+(j/2)+(-j/2)=-3

1 1 ( ) − =  − = − n n j pj a 得 （舍去） ∴ 交点坐标： 解：② 劳斯判据 当 时， s1 行等于 0，有一对纯虚根，辅助方程 十、闭环极点的和与积 设系统的开环传递函数为 由根与系数的关系： 系统的闭环特征方程为 ∴ 是一个 n 阶方程，设闭环极点（特征方程根）分别为 ，则 由根与系数的关系： 当 时， ∴ 表明，随着 kg↑，若闭环一些特征根增加时，另一些特征根必定减小，以保持其代数和为常数。 即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。 ① 可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。 ② 对于某一 kg，若已知（n-1）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。 例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为 ，试求其相应的第三个闭环 极点，并求交点处的临界根轨迹增益 kgp 解： 闭环特征方程： ∵ 开环极点之和： 闭环极点之和： ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 1 0 0 n n m m A s s a s a s a k s b s b s b n g m − − = + + + + + + + + + = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 0 1 m i m i m K g g n n n n j j s z s b b s b G s k k s a s a s a s p − = − − = + + + + + = = + + + + +    j =  j 2 = 6 gp k 3 2 = = gp k K 1 2 3 0 s 3 s 2 s 1 s 0 g k 3 6 g − k g k kg = 6 3 0 2 s + kg = 2 2 s = s =  j 2 A(s) n − s ,−s , ,−s 1 2  ( ) 0 0 1 = + 1 + + = − − A s s c s c n n n         − = − − = −   = − = 闭环极点之积 闭环极点之和 0 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) s c s c n n j j n n j j n − m  2 n−1 = n−1 a c s p const n j j n j  − j = − = =1 =1 ( ) ( ) s1,2 =  j 2 ( ) ( +1)( + 2) = s s s k G s g K ( ) 3 2 0 3 2 A s = s + s + s + kg = 0 + (−1) + (−2) = −3 (−s3 ) +(−s1 ) +(−s2 ) = (−s3 ) +( j 2) +(− j 2) = −3

..(-s,)=-3II(-s,)=(j/2)x(-j/2)x(-3)=(-1)°cg =-kgr又-=6小结：①按10条规则→绘制控制系统从kg=0→+8o时根轨迹的草图→直观分析kg变化对性能的影响；②进一步根据幅角条件，采用试探法准确确定若干点的位置（特别是虚轴附近或原点附近）精确根轨迹。4.3控制系统根轨迹的绘制k.、单回路系统的根轨迹1.例设系统的开环传递函数为 G;(s)=s(s+1)(s+2)，试绘制系统的根轨迹。解：①根轨迹对称于实轴②n-m=3≥2，根轨迹有3条，分别始于开环极点0，-1，一2，止于无穷远处③按根轨迹上的点其实轴右侧的开环零、极点个数之和为奇数，可知根轨迹区域为（-o0,十2]【-1,0]④n-m=3，近线共有3条60°k=0180°(2k +1)_ 180°(2k+1)渐近线与实轴正方向夹角为：:0=1180°k=13n-m300°k=2(0)+(-1+ j1) +(-1- j1)-(-1) 5截距：-。=34-1③实轴上开环极点一1和0之间有根轨迹，[-1,0]之间有分离点，用重根法或极值法求解分离点5=-0.42处分离角：0,=±180°_±180°（l：分离支数）±90°I2-S, = -2.16③分离点处时第3个闭环特征根（-S）+（-0.42)×2=0+-1)+（-2）1+G(s)=0I/s + ≥.k/s+p,Ek.=（各开环极点与分离点向量幅值之积）Js+p;k，=0.42×0.58×1.58=0.385?：n-m=3≥2可估计根轨迹的走势a一条分支以极点一2为起点向左移动至无穷远处，另一条分支以极点0为起点开始向左移动，余下的分支以极点一1为起点向右移动，为保持平衡，向右分支必须走得更快，所以分离点在中央偏右一0.42处；b.以一2为起点的分支不断向左，所以其它两条分支经分离点后必向右推进，至无穷远；c.kg =kgp =6 时, s1,2=±jV/2 =±j1.414 (-s,)=Z(-p,)-(jV2)-(-j/2)=-3

∴ 又 ∴ 小结： ① 按 10 条规则→绘制控制系统从 kg=0→+∞时根轨迹的草图→直观分析 kg 变化对性能的影响； ② 进一步根据幅角条件，采用试探法准确确定若干点的位置（特别是虚轴附近或原点附近） → 精确根轨迹。 4．3 控制系统根轨迹的绘制 一、单回路系统的根轨迹 1.例 设系统的开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹。 解：① 根轨迹对称于实轴 ② ，根轨迹有 3 条，分别始于开环极点 0，－1 ，－2，止于无穷远处 ③ 按根轨迹上的点其实轴右侧的开环零、极点个数之和为奇数，可知根轨迹区域为 ④ ，渐近线共有 3 条 渐近线与实轴正方向夹角为： 截距： ⑤ 实轴上开环极点－1 和 0 之间有根轨迹，∴ 之间有分离点，用重根法或极值法求 解分离点 处分离角： （l：分离支数） ⑥ 分离点处时第 3 个闭环特征根 ∴ ⑦ ∵ ∴可估计根轨迹的走势 a. 一条分支以极点－2 为起点向左移动至无穷远处，另一条分支以极点 0 为起点开始向左移 动，余下的分支以极点－1 为起点向右移动，为保持平衡，向右分支必须走得更快，所以 分离点在中央偏右－0.42 处； b. 以－2 为起点的分支不断向左，所以其它两条分支经分离点后必向右推进，至无穷远； c. 时， (−s3 ) = −3 gp n j j  −s = j  − j  − = − c = −k = 0 3 1 ( ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 1) = 6 gp k ( ) ( +1)( + 2) = s s s k G s g K n−m = 3 2 (−,−2] [−1,0] n−m = 3 ( ) ( )      = = = = + = − + =  300 2 180 1 60 0 3 180 2 1 180 2 1 k k k k n m k      3 5 4 1 (0) ( 1 1) ( 1 1) ( 1) = − − + − + + − − − − − = − j j  a [−1,0] s = −0.42 =     =   = 90 2 180 180 l  d ( ) ( 0.42) 2 0 ( 1) ( 2) −s3 + −  = + − + − 1+GK (s) = 0 − s3 = −2.16 1 1 1 = + +   = = n j j m i i g s p s z k ( ) 1  各开环极点与分离点向量幅值之积 = = + n j g pj k s kg = 0.420.581.58 = 0.385 n−m = 3 2 kg = kgp = 6 s1,2 =  j 2 =  j1.414 (−s3 ) =(−pj ) −( j 2) −(− j 2) = −3

80*160Kg=0.385Ksp-6#=0.385-20.420-31-601.0414Kanks2.例：设系统开环传递函数 G,(s)=，试绘制系统大致的根轨迹。s(s+3)(s2 + 2s + 2)解（1）无开环零点，开环极点-P=0，-P,=-3，-P3.4=-1±J在实轴上根轨迹[-3，0]。（2）n一m=4，有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点0 = (2k+1)180°=±45°±135°40-3-1+j-1-j=-1.250.4（3）实轴上的分离点hN(s)G,(s)=s(s+3)(s? +2s+2)D(s)N'(s)D(s)- N(s)D'(s) = -(4s3 +15s2 +16s +6) = 0±180°S,~-2.3为根轨迹的分离点，切线0902S2,3=0.73±j0.37(舍去)（4）起始角（出射角）0. =180° - Z(-1 + j) - Z(-1+ j + 3)- 90°-1流90°=-71.6=180°-(90°+ tg"1)-tg2（5）与虚轴的交点系统特征方程为A(s)=s*+5s°+8s°+6s+k,=0令s=jの代入有(jの)*+5(jの)"+8(j@)?+6(j@)+k。=0(@4-8@2+k.)+j(6-5@)=0

2.例：设系统开环传递函数 ，试绘制系统大致的根轨迹。 解（1）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹[-3，0]。 （2） ，有 4 条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点 （3）实轴上的分离点 （4）起始角（出射角） （5）与虚轴的交点 系统特征方程为 令 代入有 ( 3)( 2 2) ( ) 2 + + + = s s s s k G s g k − p = 0 , − p = −3 , − p = −1 j 1 2 3,4 n − m = 4 1.25 4 0 3 1 1 45 , 135 4 (2 1)180 = − − − + − − − = =   + = j j k a o o o   0.73 0.37( ) 90 2 180 2.3 ( ) ( ) ( ) ( ) (4 15 16 6) 0 ( ) ( ) ( 3)( 2 2) ( ) 2,3 1 3 2 2 舍去 为根轨迹的分离点，切线 s j s N s D s N s D s s s s D s N s s s s s k G s d g K =    − =  −  = − + + + = = + + + =          90 71.6 2 1 180 (90 1) 180 ( 1 ) ( 1 3) 90 1 1 3 = − + − − = − = −  − + −  − + + − − − tg tg j j  p ( ) 5 8 6 0 4 3 2 A s = s + s + s + s + k g = s = j ( ) 5( ) 8( ) 6( ) 0 4 3 2 j + j + j + j + k g = ( 8 ) (6 5 ) 0 4 2 3  −  + k g + j  −  =

0-802+k.=060-503=00=0の1,2 = ±1.1(舍去)即st，=±j1.1k=0k,=8.16203.圆弧根轨迹当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，这时根轨迹可能是直线或圆弧，但只要根轨迹一旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。①圆心：开环零点j② 半径: R= /(p -z)(p, -2)+4Kg=6k,(s+4)求根轨迹。例：设系统开环传递函数G,(s)=2s(s + 2)6H02-8-6解：两个开环极点：P,=0,-P,=-22一个开环零点：一2=-4Kg=6根轨迹在实轴上的区间：(-00,-4],[-2,0]圆心：（(-4,j0)半径：R= /(0+4)(-2+4)=2.833.47x4.9当闭环特征根变至实部为一4时，其对应的62.83

− p1 = 0,−p2 = −2 − z1 = −4 0  j −1 − 3 − 2.3 3. 圆弧根轨迹 当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，这时根轨迹可能是直线或圆弧，但只要根轨 迹一旦离开实轴，必然是沿圆弧移动。 ① 圆心：开环零点 ② 半径： 例：设系统开环传递函数 ， 求根轨迹。 解：两个开环极点： 一个开环零点： 根轨迹在实轴上的区间： 圆心： 半径： 当闭环特征根变至实部为－4 时，其对应的 8 0 4 2  −  + k g = 6 5 0 3  −  = 1.1 8.16 1.1 ( ) 0 0 1 2 1 2 s j k k g g =     = =     = = ， ， 舍去 即   ( )( ) 1 2 R = p − z p − z ( 2) ( 4) ( ) + + = s s k s G s g k (−,−4],[−2,0] (−4, j0) R = (0 + 4)(−2 + 4) = 2.83 6 2.83 3.47 4.9 =  k g =