长安大学：《基础工程》第四章 桩基础的设计计算

第四章桩基础的设计计算 1.本章的核心及分析方法 本节将介绍考虑桩与桩侧土共同抵抗外荷载作用时桩身的内力计算,从而解 决桩的强度问题。重点是桩受橫轴向力时的内力计算问题。 桩在横轴向荷载作用下桩身的内力和位移计算,国内外学者提出了许多方法 目前较为普遍的是桩侧土采用文克尔假定,通过求解挠曲微分方程,再结合力的 平衡条件,求出桩各部位的内力和位移,该方法称为弹性地基梁法。 以文克尔假定为基础的弹性地基梁法从土力学观点看是不够严密的,但其基 本概念明确,方法简单,所得结果一般较安全,在国内外工程界得到广泛应用。 我国公路、铁路在桩基础的设计中常用的“m”法、就属此种方法,本节将主要 介绍“m”法 2.学习要求 本章应掌握桩单桩按桩身材料强度确定桩的承载力的方法,"m″法计算单 桩内力的各种计算参数的使用方法,多排桩的主要计算参数及其各自的含义。掌 握承台计算方法群桩设计的要点及注意事项了解桩基设计的一般程序及步骤。 本专科生均应能独立完成单排桩和多排桩的课程设计 第一节单排桩基桩内力和位移计算 、基本概念 (一)土的弹性抗力及其分布规律 1.土抗力的概念及定义式 (1)概念 桩基础在荷载(包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩)作用下产生位移及转角

1 第四章 桩基础的设计计算 1．本章的核心及分析方法 本节将介绍考虑桩与桩侧土共同抵抗外荷载作用时桩身的内力计算，从而解 决桩的强度问题。重点是桩受横轴向力时的内力计算问题。 桩在横轴向荷载作用下桩身的内力和位移计算，国内外学者提出了许多方法。 目前较为普遍的是桩侧土采用文克尔假定，通过求解挠曲微分方程，再结合力的 平衡条件，求出桩各部位的内力和位移，该方法称为弹性地基梁法。 以文克尔假定为基础的弹性地基梁法从土力学观点看是不够严密的，但其基 本概念明确，方法简单，所得结果一般较安全，在国内外工程界得到广泛应用。 我国公路、铁路在桩基础的设计中常用的“m”法、就属此种方法，本节将主要 介绍“m”法。 2．学习要求 本章应掌握桩单桩按桩身材料强度确定桩的承载力的方法，“ m ”法计算单 桩内力的各种计算参数的使用方法，多排桩的主要计算参数及其各自的含义。掌 握承台计算方法,群桩设计的要点及注意事项,了解桩基设计的一般程序及步骤。 本专科生均应能独立完成单排桩和多排桩的课程设计。 第一节 单排桩基桩内力和位移计算 一、基本概念 （一）土的弹性抗力及其分布规律 1．土抗力的概念及定义式 （1）概念 桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移及转角

使桩挤压桩侧土体,桩侧土必然对桩产生一横向土抗力σ,,它起抵抗外力和稳 定桩基础的作用。土的这种作用力称为土的弹性抗力。 (2)定义式 (4-1) 式中:σ,一一横向土抗力,kN/m2 C一一地基系数,kN/m3 x.一—深度Z处桩的横向位移,m。 2.影响土抗力的因素 (1)土体性质 (2)桩身刚度 (3)桩的入土深度 (4)桩的截面形状 (5)桩距及荷载等因素 3.地基系数的概念及确定方法 (1)概念 地基系数C表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力,单 位为kN/m3或MN/m3。 (2)确定方法 地基系数大小与地基土的类别、物理力学性质有关。 地基系数C值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测x及m后 反算得到。大量的试验表明地基系数C值不仅与土的类别及其性质有关,而且也 随着深度而变化。由于实测的客观条件和分析方法不尽相同等原因,所采用的C 值随深度的分布规律也各有不同。常采用的地基系数分布规律有图下所示的几种 形式,因此也就产生了与之相应的基桩内力和位移的计算方法

2 使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力  zx ，它起抵抗外力和稳 定桩基础的作用。土的这种作用力称为土的弹性抗力。 （2）定义式  zx = Cxz （4-1） 式中：  zx ——横向土抗力，kN/m2； C ——地基系数，kN/m3； z x ——深度 Z 处桩的横向位移，m。 2．影响土抗力的因素 （1）土体性质 （2）桩身刚度 （3）桩的入土深度 （4）桩的截面形状 （5）桩距及荷载等因素 3．地基系数的概念及确定方法 （1）概念 地基系数 C 表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力，单 位为 kN/m3 或 MN/m3。 （2）确定方法 地基系数大小与地基土的类别、物理力学性质有关。 地基系数 C 值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测 z x 及  zx 后 反算得到。大量的试验表明,地基系数 C 值不仅与土的类别及其性质有关，而且也 随着深度而变化。由于实测的客观条件和分析方法不尽相同等原因，所采用的 C 值随深度的分布规律也各有不同。常采用的地基系数分布规律有图下所示的几种 形式，因此也就产生了与之相应的基桩内力和位移的计算方法

c=ezu 图4-1地基系数变化规律 现将桩的几种有代表性的弹性地基梁计算方法概括在表下中。 桩的几种典型的弹性地基梁法 表4-1 计算方法图号地基系数随深度分布 地基系数C表达式 说明 m法40a)与深度成正比 C=mZ m为地基土比例系数 K法40b)|桩身第一挠曲零点以上抛物 C=K K为常数 线变化,以下不随深度变化 C值法450c)与深度呈抛物线变化 c为地基土比例系数 张有龄法450d)沿深度均匀分布 C=Ko K0为常数 上述的四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同,其计算结果是有 差异的。实验资料分析表明,宜根据土质特性来选择恰当的计算方法。 (二)单桩、单排桩与多排桩 1.单排桩的概念与力的分配 (1)概念 是指与水平外力H作用面相垂直的平面上,仅有一根或一排桩的桩基础。 (2)力的分配 对于单排桩,如下图所示桥墩作纵向验算时,若作用于承台底面中心的荷载 为 当N在单排桩方向无偏心时,可以假定它是平均分布在各桩上的

3 图 4-1 地基系数变化规律 现将桩的几种有代表性的弹性地基梁计算方法概括在表下中。 桩的几种典型的弹性地基梁法 表 4-1 计算方法 图 号 地基系数随深度分布 地基系数 C 表达式 说 明 m 法 4-50a） 与深度成正比 C=mZ m 为地基土比例系数 K 法 4-50b） 桩身第一挠曲零点以上抛物 线变化，以下不随深度变化 C=K K 为常数 C 值法 4-50c） 与深度呈抛物线变化 C=cZ0.5 c 为地基土比例系数 张有龄法 4-50d） 沿深度均匀分布 C=K0 K0为常数 上述的四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同，其计算结果是有 差异的。实验资料分析表明，宜根据土质特性来选择恰当的计算方法。 （二）单桩、单排桩与多排桩 1．单排桩的概念与力的分配 （1）概念 是指与水平外力 H 作用面相垂直的平面上，仅有一根或一排桩的桩基础。 （2）力的分配 对于单排桩，如下图所示桥墩作纵向验算时，若作用于承台底面中心的荷载 为 N、H、My ，当 N 在单排桩方向无偏心时，可以假定它是平均分布在各桩上的

H M1= (42) 式中:n—一桩的根数 当竖向力N在单排桩方向有偏心距e时,如图所示,即M=Ne,因此每根桩 上的竖向作用力可按偏心受压计算,即 图4-2单桩、单排桩及多排桩 图4-3单排桩的计算 N M P (42) 由于单桩及单排桩中每根桩桩顶作用力可按上述简单公式计算,所以归成 类 2.多排桩概念基力的分配 (1)概念 是指在水平外力作用平面内有一根以上桩的桩基础(对单排桩作横桥向验算 时也属此情况)。 (2)力的分配 不能直接应用上述公式计算各桩顶上的作用力,须应用结构力学方法另行计 算 (三)桩的计算宽度 1.定义

4 即 n M M n H n N P y i = ; Qi = ; i = （4-2） 式中： n——桩的根数。 当竖向力 N 在单排桩方向有偏心距 e 时，如图所示，即 Mx=Ne，因此每根桩 上的竖向作用力可按偏心受压计算，即 图 4-2 单桩、单排桩及多排桩 图 4-3 单排桩的计算 2 i x i i y M y n N P  =  （4-2） 由于单桩及单排桩中每根桩桩顶作用力可按上述简单公式计算，所以归成一 类。 2．多排桩概念基力的分配 （1）概念 是指在水平外力作用平面内有一根以上桩的桩基础（对单排桩作横桥向验算 时也属此情况）。 （2）力的分配 不能直接应用上述公式计算各桩顶上的作用力，须应用结构力学方法另行计 算。 （三）桩的计算宽度 1．定义

计算桩的内力与位移时不直接采用桩的设计宽度(直径),而是换算成实际工 作条件下相当于矩形截面桩的宽度b,b称为桩的计算宽度。 2.采用计算宽度的原因 为了将空间受力简化为平面受力,并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的 相互遮蔽作用。 3.计算方法 根据已有的试验资料分析,现行规范认为计算宽度的换算方法可用下式表示: K0·K·b(或d) (4-3) 式中:b(或d)一一与外力H作用方向相垂直平面上桩的边长(宽度或直径) K,——形状换算系数,即在受力方向将各种不同截面形状的桩宽度乘以 K,换算为相当于矩形截面宽度,其值见表; K。——受力换算系数,即考虑到实际桩侧土在承受水平荷载时为空间受力 问题,简化为平面受力时所采用的修正系数,其值见表 K一一各桩间的相互影响系数。如图所示,当水平力作用平面内有多 根桩时,桩柱间会产生相互产生影响。为了考虑这一影响,可将桩 的实际宽度(直径)乘以系数K,其值按下式决定:L1≥0.6h时K=1.0; 当L1<0.6h时 计算宽度换算 表4-2 基础形状 形状换算系数Kr 受力换算系数K。1 d 91d

5 计算桩的内力与位移时不直接采用桩的设计宽度（直径），而是换算成实际工 作条件下相当于矩形截面桩的宽度 b1，b1称为桩的计算宽度。 2．采用计算宽度的原因 为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的 相互遮蔽作用。 3．计算方法 根据已有的试验资料分析，现行规范认为计算宽度的换算方法可用下式表示： b1 = Kf · K0 · K ·b （ 或d ） （4-3） 式中： b （ 或d ）——与外力 H 作用方向相垂直平面上桩的边长（宽度或直径）； K f ——形状换算系数，即在受力方向将各种不同截面形状的桩宽度乘以 K f ，换算为相当于矩形截面宽度，其值见表； K0——受力换算系数，即考虑到实际桩侧土在承受水平荷载时为空间受力 问题，简化为平面受力时所采用的修正系数，其值见表； K——各桩间的相互影响系数。如图所示，当水平力作用平面内有多 根桩时，桩柱间会产生相互产生影响。为了考虑这一影响，可将桩 的实际宽度（直径）乘以系数 K，其值按下式决定：L1≥0.6h1 时 K=1.0； 当 L1＜0.6h1 时 计算宽度换算 表 4-2 名 称 符号 基 础 形 状 形状换算系数 Kf 1.0 0.9 B d 1−0.1 0.9 受力换算系数 K0 b 1 1 + d 1 1+ B 1 1+ d 1 1+

K=b 1-bL1 (4-4) 0.6h1 式中:L1一与外力作用方向平行的一排桩的桩间净距(图3-53) 加—一地面或局部冲刷线以下桩柱的计算埋入深度,可按下式计算,但h 值不得大于桩的入土深度(h),h1=3(d+1)m d一桩的直径,m: b一一根据与外力作用方向平行的所验算的一排桩的桩数n而定的系数。 当n=1时b′=1,当n=2时b=06,当n=3时b=0.5,当n≥4时b=0.45。 但桩基础中每一排桩的计算总宽度mb不得大于(B'+1),当mb大于(B+1) 时,取(B'+1)。B'为边桩外侧边缘的距离。 当桩基础平面布置中,与外力作用方向平行的每 排桩数不等,并且相邻桩中心距≥(b+1)时,可按 桩数最多一排桩计算其相互影响系数K值,并且各桩 可采用同一影响系数。 为了不致使计算宽度发生重叠现象,要求以上综 合计算得出的b1≤2b。 以上的计算方法比较复杂,理论和实践的根据也 是不够的,因此国内有些规范建议简化计算。圆形柱:中中中中 当d≤lm时,b1=0.9(1.5d+0.5);当d>1m时,b1=0.9 图4-4相互影响系数计算 (d+1)。方形桩:当边宽b≤1m时,b1=1.5b0.5:当边宽>1m时,b1=b+1。而 国外有些规范更为简单:柱桩及桩身尺寸直径0.8m以下的灌注桩,b=d+1(m); 其余类型及截面尺寸的桩,b1=1.54+0.5(m) (四)刚性桩与弹性桩 为计算方便起见,按照桩与土的相对刚度,将桩分为刚性桩和弹性桩。 1.弹性桩 当桩的入土深度h>二时,这时桩的相对刚度小,必须考虑桩的实际刚度

6 图 4-4 相互影响系数计算 1 1 0.6 1 ' ' h b L K b  − = + （4-4） 式中：L1——与外力作用方向平行的一排桩的桩间净距（图 3-53）； h1——地面或局部冲刷线以下桩柱的计算埋入深度，可按下式计算，但 h1 值不得大于桩的入土深度（ h ），h1=3(d+1) m； d——桩的直径，m； b——根据与外力作用方向平行的所验算的一排桩的桩数 n 而定的系数。 当 n =1 时 b =1，当 n =2 时 b =0.6，当 n =3 时 b =0.5，当 n ≥4 时 b =0.45。 但桩基础中每一排桩的计算总宽度 1 nb 不得大于（ B +1），当 nb1 大于（ B +1） 时，取（ B +1）。 B 为边桩外侧边缘的距离。 当桩基础平面布置中，与外力作用方向平行的每 排桩数不等，并且相邻桩中心距≥（b+1）时，可按 桩数最多一排桩计算其相互影响系数 K 值，并且各桩 可采用同一影响系数。 为了不致使计算宽度发生重叠现象，要求以上综 合计算得出的 b1≤2b。 以上的计算方法比较复杂，理论和实践的根据也 是不够的，因此国内有些规范建议简化计算。圆形桩： 当 d≤1m 时，b1=0.9（1.5d+0.5）；当 d＞1m 时，b1=0.9 （d+1）。方形桩：当边宽 b≤1m 时，b1=1.5b+0.5；当边宽＞1m 时，b1=b+1。而 国外有些规范更为简单：柱桩及桩身尺寸直径 0.8m 以下的灌注桩，b1=d+1（m）； 其余类型及截面尺寸的桩，b1=1.5d+0.5（m）。 （四）刚性桩与弹性桩 为计算方便起见，按照桩与土的相对刚度，将桩分为刚性桩和弹性桩。 1．弹性桩 当桩的入土深度  2.5 h  时，这时桩的相对刚度小，必须考虑桩的实际刚度

按弹性桩来计算。其中a称为桩的变形系数,a={m El 刚性桩 当桩的入土深度h≤二时,则桩的相对刚度较大,计算时认为属刚性桩, 法计算桩的内力和位移 (一)计算参数 地基土水平抗力系数的比例系数m值宜通过桩的水平静载试验确定。但由于 试验费用、时间等原因,某些建筑物不一定进行桩的水平静载试验,可采用规范 提供的经验值如下表所示。 非岩石类土的比例系数m值 土的分类 m或mo(MN/m4) 流塑粘性土五>1、淤泥 软塑粘性土1>几>0.5、粉砂 5~10 3 硬塑粘性土0.5>>0、细砂、中砂 10~20 4 坚硬、半坚硬粘性土<0、粗砂 20~30 卵石 密实粗砂夹卵石,密实漂卵石 80~120 在应用上表时应注意以下事项 1.由于桩的水平荷载与位移关系是非线性 的,即m值随荷载与位移增大而有所减小,因 此,m值的确定要与桩的实际荷载相适应。 地面或最大冲刷线 般结构在地面处最大位移不超过10mm,对位 t! m 移敏感的结构、桥梁工程为6mm。位移较大时, 应适当降低表列m值。 2.当基桩侧面由几种土层组成时,从地面 或局部冲刷线起,应求得主要影响深度h=2 图4-5比例系数m的换算 (d+1)米范围内的平均m值作为整个深度内的m值(见图4-5)对于刚性桩

7 图 4-5 比例系数 m 的换算 按弹性桩来计算。其中  称为桩的变形系数， 5 1 EI mb  = 2．刚性桩 当桩的入土深度 h ≤ a 2.5 时，则桩的相对刚度较大，计算时认为属刚性桩， 二、“m”法计算桩的内力和位移 （一）计算参数 地基土水平抗力系数的比例系数 m 值宜通过桩的水平静载试验确定。但由于 试验费用、时间等原因，某些建筑物不一定进行桩的水平静载试验，可采用规范 提供的经验值如下表所示。 非岩石类土的比例系数 m 值 序 号 土 的 分 类 m 或 m0（MN/m4） 1 流塑粘性土 IL＞1、淤泥 3～5 2 软塑粘性土 1＞IL＞0.5、粉砂 5～10 3 硬塑粘性土 0.5＞IL＞0、细砂、中砂 10～20 4 坚硬、半坚硬粘性土 IL＜0、粗砂 20～30 5 砾砂、角砾、圆砾、碎石、卵石 30～80 6 密实粗砂夹卵石，密实漂卵石 80～120 在应用上表时应注意以下事项 1．由于桩的水平荷载与位移关系是非线性 的，即 m 值随荷载与位移增大而有所减小，因 此，m 值的确定要与桩的实际荷载相适应。一 般结构在地面处最大位移不超过 10mm，对位 移敏感的结构、桥梁工程为 6mm。位移较大时， 应适当降低表列 m 值。 2．当基桩侧面由几种土层组成时，从地面 或局部冲刷线起，应求得主要影响深度 hm=2 （d+1）米范围内的平均 m 值作为整个深度内的 m 值（见图 4-5）对于刚性桩

hm采用整个深度h。 当hm深度内存在两层不同土时 mh2+m2(2h1+h2h2 当hm深度内存在三层不同土时: m2+m2(2h+h2)h2+m2(2h+2h2+h2 3.承台侧面地基土水平抗力系数Cn n-n 式中:m—一承台埋深范围内地基土的水平抗力系数,MN/m4 -承台埋深, 4.地基土竖向抗力系数Co、Cb和地基土竖向抗力系数的比例系数m (1)桩底面地基土竖向抗力系数Co Co=moh (4-8) 式中:m-—桩底面地基土竖向抗力系数的比例系数,kN/m4,近似取m=m; h—一—桩的入土深度(m),当h小于10m时,按10m计算。 (2)承台底地基土竖向抗力系数Cb Cb=mohn (49) 式中:hn--承台埋深(m),当hn小于1m时,按1m计算。 岩石地基竖向抗力系数Co 表3-17 单轴极限抗压强度标准值Rc(MPa) Co (MN/m) 15000 注:当Rc为表列数值的中间值时,C0采用插入法确定。 (二)符号规定 在公式推导和计算中,取4-6图所示的坐标系统,对力和位移的符号作如下规 定:横向位移顺x轴正方向为正值;转角逆时针方向为正值;弯矩当左侧纤维受

8 hm 采用整个深度 h。 当 hm 深度内存在两层不同土时： 2 2 1 2 2 2 1 1 (2 ) hm m h m h h h m + + = (4-5) 当 hm 深度内存在三层不同土时： 2 2 1 2 2 3 1 2 3 3 2 1 1 (2 ) (2 2 ) hm m h m h h h m h h h h m + + + + + = （4-6） 3．承台侧面地基土水平抗力系数 Cn Cn=m·hn （4-7） 式中：m——承台埋深范围内地基土的水平抗力系数，MN/m4； hn——承台埋深，m。 4．地基土竖向抗力系数 C0、Cb和地基土竖向抗力系数的比例系数 m0 （1）桩底面地基土竖向抗力系数 C0 C0=m0h （4-8） 式中：m0——桩底面地基土竖向抗力系数的比例系数，kN/m4，近似取 m0=m； h——桩的入土深度(m)，当 h 小于 10m 时，按 10m 计算。 （2）承台底地基土竖向抗力系数 Cb Cb=m0hn （4-9） 式中：hn——承台埋深(m)，当 hn 小于 1m 时，按 1m 计算。 岩石地基竖向抗力系数 C0 表 3-17 单轴极限抗压强度标准值 RC（MPa） C0（MN/m3） 1 ≥25 300 15000 注：当 RC为表列数值的中间值时，C0采用插入法确定。 （二）符号规定 在公式推导和计算中，取 4-6 图所示的坐标系统，对力和位移的符号作如下规 定：横向位移顺 x 轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩当左侧纤维受

拉时为正值;横向力顺x轴方向为正值,如4-7图所示。 承台底面 ↑·, 图4-6桩身受力图示 (三)桩的挠曲微分方程的建立及其解 桩顶若与地面平齐(z=0),且 已知桩顶作用水平荷载Q。及弯矩 此时桩将发生弹性挠曲,桩侧 土将产生横向抗力σx,如图3-55 所示。从材料力学中知道,梁的挠 图4-7x2、φM、a的符号规定 度与梁上分布荷载q之间的关系式,即梁的挠曲微分方程为 E (49) 式中:E、Ⅰ一分别为梁的弹性模量及截面惯矩。 因此可以得到桩的挠曲微分方程为 EI ur q=-0x·b1=-mx:·b (4-10) 式中:E、Ⅰ一分别为桩的弹性模量及截面惯矩; x—一桩侧土抗力,x=Cx2=m么x:,C为地基系数 b一一桩的计算宽度; x——桩在深度〓处的橫向位移(即桩的挠度)。 将上式整理可得

9 图 4-7 xz、φz、Mz、Qz的符号规定 拉时为正值；横向力顺 x 轴方向为正值，如 4-7 图所示。 图 4-6 桩身受力图示 （三）桩的挠曲微分方程的建立及其解 桩顶若与地面平齐（Z=0），且 已知桩顶作用水平荷载 Q0 及弯矩 M0，此时桩将发生弹性挠曲，桩侧 土将产生横向抗力σzx，如图 3-55 所示。从材料力学中知道，梁的挠 度与梁上分布荷载 q 之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为 q dZ d x EI = − 4 4 （4-9） 式中：E、I——分别为梁的弹性模量及截面惯矩。 因此可以得到桩的挠曲微分方程为 4 1 1 4 q b mZx b dZ d x EI zx z = − = −  = −  （4-10） 式中：E、I——分别为桩的弹性模量及截面惯矩；  zx ——桩侧土抗力，  zx = Cxz = mZxz ，C 为地基系数； 1 b ——桩的计算宽度； z x ——桩在深度 z 处的横向位移（即桩的挠度）。 将上式整理可得

dix 1>x+atx:=0 (4-11) 式中:a一一桩的变形系数或称桩的特征值(l/m), 其余符号意义同前。 从桩的挠曲微分方程中不难看出,桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度 (包括桩身材料和截面尺寸)以及桩周土的性质等有关,a是与桩土变形相关的 系数 式(4-11)为四阶线性变系数齐次常微分方程,在求解过程中注意运用材料 力学中有关梁的挠度x与转角、弯矩M和剪力Q之间的关系,即 M=elx. (4-12)10 dz Q=EI 就可用幂级数展开的方法求出桩挠曲微分方程的解(具体解法可参考有关专著)。 若地面处即Z=0处,桩的水平位移、转角、弯矩和剪力分别以x、φ、M和Q 表示,则桩挠曲微分方程(式4-11)的解即桩身任一截面的水平位移x.的表达式 为 M Al B Ela 利用式(4-13),对x求导计算,并通过归纳整理后,便可求得桩身任截面的转 角φ、弯矩M2及剪力Q:的计算公式 =xX A2+∞B2 <C+Q (4-14)

10 0 1 4 4 + z = z Zx EI mb dZ d x 或 0 5 4 4 + z = z a Zx dZ d x （4-11） 式中：  ——桩的变形系数或称桩的特征值（1/m）， 5 1 EI mb  = 其余符号意义同前。 从桩的挠曲微分方程中不难看出，桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度 （包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有关，  是与桩土变形相关的 系数。 式（4-11）为四阶线性变系数齐次常微分方程，在求解过程中注意运用材料 力学中有关梁的挠度 z x 与转角  z 、弯矩 M z 和剪力 Qz 之间的关系，即          = = = 3 3 2 2 dZ d x EI dZ d x M EI dZ dx z z z z z z Q  （4-12） 就可用幂级数展开的方法求出桩挠曲微分方程的解（具体解法可参考有关专著）。 若地面处即 Z =0 处，桩的水平位移、转角、弯矩和剪力分别以 0 x 、 0、M0 和 Q0 表示，则桩挠曲微分方程（式 4-11）的解即桩身任一截面的水平位移 z x 的表达式 为 3 1 0 2 1 0 1 0 0 1 D EI C EI M xz x A B     Q = + + + （4-13） 利用式（4-13），对 z x 求导计算，并通过归纳整理后，便可求得桩身任截面的转 角  z 、弯矩 M z 及剪力 Qz 的计算公式： 3 2 0 2 2 0 2 0 0 2 D EI C EI M x A B z       Q = + + + （4-14）