《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第39讲 上界定理及其应用（上界定理的概念）

Lesson396第十五章上界定理及其应用主要内容Main Content虚功原理及最大塑性功原理上界定理的概念上界定理的应用一一间断速度场130起5/8124大学2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 2 第十五章 上界定理及其应用 主要内容 Main Content • 虚功原理及最大塑性功原理 • 上界定理的概念 • 上界定理的应用——间断速度场

Lesson393上界定理的概念15.2·15.2.1边界条件可动工具F,V=Vo, p=?自由边界F,速度不连续线Fapop=0, V=?固定工具F,已知外力边界FV=0, p=?p=Po, v=?3120起5/8124天学MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 3 15.2 上界定理的概念 • 15.2.1 边界条件 可动工具 Fv 固定工具 Fv v=v0，p=? v=0，p=? 自由边界 Fp 已知外力边界 Fp p=0，v=? p=p0，v=? p0 速度不连续线 Fd

Lesson39下界定理15.2.2·设刚一塑性物体的体积是V，总表面积是F，表面力p；（外载荷）在一部分表面F,上是已知的，在其余部分表面F,上位移速度v也是已知的。真实的应力场是i，应变速度场是i，边界位移速度是。对于真实的情况，令外功等于内功，有,e,dvp,v,dy =O.+F130#5/8124大AFEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 4 15.2.2 下界定理 • 设刚—塑性物体的体积是V，总表面积是F，表面 力pi（外载荷）在一部分表面Fp上是已知的，在 其余部分表面Fv上位移速度vi也是已知的。真实 的应力场是sij，应变速度场是eij ，边界位移速度 是vi 。对于真实的情况，令外功等于内功，有     = + = ' i j F i i F i i F i i v p p v dF p v dF p v dF s ijdV ' e

Lesson396·再设。,是静力许可的应力场，它在每点满足平衡方程和屈服条件。令这个虚设应力场,在真实的应变速度场上作虚功，根据虚功方程有pvdF=(p'vdF中一p,v,dFo,,dv一130±5/8124大号5MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 5 • 再设s * ij是静力许可的应力场，它在每点满足平衡 方程和屈服条件。令这个虚设应力场s * ij在真实的 应变速度场上作虚功，根据虚功方程有        = + = V i j i j F i i F i i F pi vi dF p v dF p v dF dV v p ' s e

Lesson398·两式相减并按最大塑性功原理有g.*e,dV≥p,-p,,dF:即p,y,dV,dF ≥该式为下界定理。即任何静力可能的应力分布所对应的外力必不大于真实外力。120起5/8124大学6MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 6 • 两式相减并按最大塑性功原理有 ( ) ( ) 0 ' ' ' − = −      v i j i j i j F pi pi vi dF dV v s s e     v Fv i i F pi vi dF p v dF 即 该式为下界定理。即任何静力可能的应力分布所对 应的外力必不大于真实外力

Lesson398上界定理15.2.3·用u,si,v,表示真实的应力场、塑性应变速度场和边界位移速度。此外，再设定一个虚的位移速度场v。在给定了边界速度的那一部分表面F,上，满足边界速度条件，即v=V，并且在每一点满足体积不可压缩条件。·由设定的位移速度场，可以导出应变速度场130#5/8124大学FEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 7 15.2.3 上界定理 • 用 表示真实的应力场、塑性应变速度场和 边界位移速度。此外，再设定一个虚的位移速度 场 。在给定了边界速度的那一部分表面Fv上， 满足边界速度条件，即 ，并且在每一点满 足体积不可压缩条件。 • 由设定的位移速度场，可以导出应变速度 场 ij ij i s ,e  , v * i v i i v = v  * ij e 

Lesson393OviQ1dx设定的位移速度场V，还可能包含有速度间断，假定速度沿曲面F发生间断。由于不能肯定F.是真实的速度间断面，所以沿F，的切向剪应力只能用 T表示。130±5/8124大号8MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 8 设定的位移速度场 还可能包含有速度间断，假定 速度沿曲面 发生间断。由于不能肯定 是真实的速 度间断面，所以沿 的切向剪应力只能用 表示。           +   =    i j j i ij x v x v 2 1 e * i v Fd  Fd Fd

Lesson39·真实的外力p，和内力场在虚设的位移速度场上作功，则由虚功率方程得出[ p,v,dF = J pv,dF+ [ p,v,dF =Jojejdv+Zt|Av|dFFFA式中 △是沿F。的切向速度不连续量。从物理上判断，在不连续面 E,上所消耗的功 么一定为正值，其极限是kv。130起5/8124大9TEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 9 • 真实的外力 和内力场 在虚设的位移速度场 上作功，则由虚功率方程得出 式中 是沿 的切向速度不连续量。从物理上判 断，在不连续面 上所消耗的功 一定为正 值，其极限是 。 i p  i v s ij           = + = +  F F F V F i i i i i i i j i j p v d p v dF p v dF p v dF s e dV  v dF ' * i v Fd Fd * i v * i k v

Lesson39?·按最大塑性功原理有[(o, -0,)e,dv ≥0[(oi, -o,)dsi,dV ≥0或则[pv,dF≤[o,e,dV+E[kAv"dF-[pv,dFFFd该式即为上界定理。即表示力在给定的边界位移速度上付出的功率，以在真实的位移速度场情况下为最小。或者说，由虚设位移速度场（位移场、应变速度场）算得的载荷大于或等于真实载荷。120±5/8124大学10tBetUNITEO.UNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 10 • 按最大塑性功原理有 ( )  −    V ij ij d ijdV 0 ' ' s s e ( )  −   V ij ij ijdV 0 ' ' * 或 s s e          +  − Fv V Fd Fp pi vi dF i j i jdV k v dF pi vi dF ' * s e 则 该式即为上界定理。即表示力在给定的边界位移 速度上付出的功率，以在真实的位移速度场情况下为 最小。或者说，由虚设位移速度场（位移场、应变速 度场）算得的载荷大于或等于真实载荷

Lesson398·上界定理简化表达式J≤J"=W+W.+W不等式左边J表示真实外力功率J=（pv,dFF不等式右边J表示虚构速度场下的外力功率J=「p,v,dFF,等式右边表示虚构速度场下的各项功率130#5/8124大号11MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 39 2025/8/24 11 • 上界定理简化表达式 Wi Ws Wb J J  =  +  +  * 不等式左边J表示真实外力功率  = Fv J pi vi dF 不等式右边J *表示虚构速度场下的外力功率  = Fv J pi vi dF * 等式右边表示虚构速度场下的各项功率