《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第29讲 变形力学方程（等效应力及等效应变、平面变形和轴对称变形）

Lesson29第十二章变形力学方程主要内容Main Content·力平衡微分方程屈服条件应力应变关系方程等效应力、等效应变平面变形和轴对称变形130±5/8124大2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 2 第十二章 变形力学方程 主要内容 Main Content • 力平衡微分方程 • 屈服条件 • 应力应变关系方程 • 等效应力、等效应变 • 平面变形和轴对称变形

7Lesson298等效应力、等效应变12.4C·把看成经过某一变形程B度下的单向应力状态的屈服极限,则可称,为变形抗DA8力。如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到D点，如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点C处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极限，统称为金属变形抗120#5/824。大学3UNITERSIT

Lesson 29 2025/8/24 3 12.4 等效应力、等效应变 • 把ss看成经过某一变形程 度下的单向应力状态的屈 服极限,则可称ss为变形抗 力。 A B C D e s • 如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到D点， 如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开 始卸载时所对应的应力附近（即点C处）发生屈 服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力 提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单 向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变 形过程中的继续屈服极限，统称为金属变形抗 力

Lesson296等效应力12.4.1口是单向拉伸的情况下得到的，那么对于复杂应力状态，Q,与什么对应？02130±5/8124大学MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 4 12.4.1 等效应力  ss是单向拉伸 的情况下得到 的，那么对于 复杂应力状态， ss与什么对应？ 1 s s 2 s 3

Lesson296由Mises屈服条件[(01 -02) +(02 -0,) +(03 -0,)]=20? =6k可以改写为[[0 -0,) +(0, -0,) +(0, -0,]]= 0,130±5/8124大5MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 5 • 由Mises屈服条件 ( ) ( ) ( )  2 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 6k s −s + s −s + s −s = s s = 可以改写为 ( ) ( ) ( )  s −s + s −s + s −s =s s 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 1

Lesson296·若令[(0 -0,)+(0, -0,) +(0,-0)]]则金属屈服时有=0则为等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态de2011-12-8-2130±5/8124大学6MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 6 • 若令 s e =s s ( ) ( ) ( )  2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 1 s e = s −s + s −s + s −s 则金属屈服时有 se 则为等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态。 2011-12-8-2

Lesson298·对于单向拉伸<，时，金属处于弹性状态,=，时，金属进入塑性状态同样，复杂应力状态时，α。<α、时，金属处于弹性状态α。=α，时，金属进入塑性状态130±5/8124大7MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 7 • 对于单向拉伸 s1 s s 时，金属处于弹性状态 s1 =s s 时，金属进入塑性状态 同样，复杂应力状态时， s e s s 时，金属处于弹性状态 s e =s s 时，金属进入塑性状态

Lesson296·在一般应力状态下，等效应力为。= /31, Vo -0, +(0,-0. +(o -0.) +6( +t +t当材料屈服时有0。=0, = V3k其中，为单向应力状态下获得的屈服极限130#5/8124大8MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 8 • 在一般应力状态下，等效应力为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 3 x y y z z x xy yz z x e I s s s s s s    s = − + − + − + + + =  当材料屈服时有 k s e =s s = 3 其中ss，为单向应力状态下获得的屈服极限

Lesson296等效应变12.4.2·在简单应力状态下，我们可以得到一条应力一应变关系曲线，若知道了变形程度，则其所对应的应力，从该曲线上也可以得到。·那么可以说，对同一金属在同样的变形温度一变形速度条件下，等效应力取决于变形程度。如果这样的话，一般应力状态是否存在这一应力一应变关系曲线？130#5/8124大9EBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 9 12.4.2 等效应变 • 在简单应力状态下，我们可以得到一条应 力—应变关系曲线，若知道了变形程度， 则其所对应的应力，从该曲线上也可以得 到。 • 那么可以说，对同一金属在同样的变形温 度—变形速度条件下，等效应力取决于变 形程度。如果这样的话，一般应力状态是 否存在这一应力—应变关系曲线？

Lesson298·金属的加工硬化程度取决于金属内的变形潜能，一般应力状态和简单应力状态在加工硬化程度上等效，意味着两者的变形潜能相同。变形潜能取决于塑性变形功耗，可以认为，如果一般应力状态和简单应力状态的塑性变形功耗相等，则两者在加工硬化程度上等效。130±5/8124大10EBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 10 • 金属的加工硬化程度取决于金属内的变形 潜能，一般应力状态和简单应力状态在加 工硬化程度上等效，意味着两者的变形潜 能相同。变形潜能取决于塑性变形功耗。 • 可以认为，如果一般应力状态和简单应力 状态的塑性变形功耗相等，则两者在加工 硬化程度上等效

Lesson296·取主轴时，对于微小的塑性应变增量，单位体积内的塑性变形功为dA, =o'de +2de2 +o'de按矢量积有dA, ='·d =dcos0由增量理论，塑性应变增量主轴与偏差应力主轴重合5-26-3dA, =lda130±5/8124大11TEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 29 2025/8/24 11 • 取主轴时，对于微小的塑性应变增量，单 位体积内的塑性变形功为 1 1 2 2 3 3 dA s de s de s de p =  +  +  按矢量积有 s e s e cos     dAp =  d =  d 由增量理论，塑性应变增量主轴与偏差应力主轴重合 s e   dAp =  d 5-26-3