《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第28讲 变形力学方程（应力应变关系方程——本构方程）

Lesson288第十二章变形力学方程主要内容Main Content力平衡微分方程屈服条件应力应变关系方程等效应力、等效应变平面变形和轴对称变形130±5/8124大学2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 2 第十二章 变形力学方程 主要内容 Main Content • 力平衡微分方程 • 屈服条件 • 应力应变关系方程 • 等效应力、等效应变 • 平面变形和轴对称变形

Lesson28612.3应力应变关系方程·塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程或物理方程。.6u.Dii=130起5/8124大号3MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 3 12.3 应力应变关系方程 • 塑性变形时应力与应变的关系称为本构关 系，其数学表达式称为本构方程或物理方 程。 ( ) i j i j x y z xy yz z x  = f  , , , , ,

Lesson28弹性变形时的应力应变关12.3.1+系弹性变形的特点·应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合·弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的单值关系·弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化，泊松比小于0.520±5/8124大学MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 4 12.3.1 弹性变形时的应力应变关 系 弹性变形的特点 • 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴 与全量应变主轴重合 • 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过 程无关），应力与应变之间存在统一的单 值关系 • 弹性变形时，应力张量使物体产生体积变 化，泊松比小于0.5

Lesson288·虎克定律E：弹性模量泊松比V.=EcET = 2GyG剪切模量2(1 +v)·广义虎克定律1[gx-v(c, +.]TX2GH1, -v(o. +o.)CTyzE2G2012-5-7-31[.-v( +,)]8Tzx22G130#5/8124大学5MEBEIUNITEO UNIVERSITT

Lesson 28 2025/8/24 5 • 虎克定律 • 广义虎克定律 E：弹性模量 v：泊松比 xy xy G   2 1 = yz yz G   2 1 = zx zx G   2 1 =  = E  = 2G  ( ) x x y z E  =  −  + 1  ( ) y y z x E  =  −  + 1  ( ) z z x y E  =  −  + 1 剪切模量 2(1+ ) = E G 2012-5-7-3

Lesson28由 ,=[,-v(,+.)] =[,-v(o,+,+.)+v, ]3v1+vQm而EE1-2vGm0mE则3v1+v1-2v1+18r8OOOmmmEEEE即1+vaOmE2G130#5/8124大6MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 6  ( ) x x y z E  =  −  + 1 由  ( )  x x y z x E =  −  + + +  1 x m E E    1  3 − + = m E  1− 2 − ( ) x m E    − + = 则 1 x  m − x m E E    1  3 − + = m m E    1− 2 = 而 ( ) x m x m x E G       − =  + − = 2 即 1 1

Lesson286·同理1+vCCmE2G11+vmE2G所以广义虎克定律可写成求和约定的形式克罗内克儿记号2V1[1, i= jE2G2.[0,ij130#5/8124大？MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 7 • 同理 ( ) y m y m y E G       − =  + − = 2 1 1 ( ) z m y m z E G       − =  + − = 2 1 1 所以广义虎克定律可写成求和约定的形式 i j i j m i j G E      1 2 2 1 − =  +     = = i j i j ij 0, 1,  克罗内克儿记号

Lesson286·弹性变形的比列及差比形式188886V2xyz.x9'2Ga00aOXzxxyyz1888Gr85888y2xyyzxzx992G9000a002Zxzx7xyyz130±5/8124大8MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 8 • 弹性变形的比列及差比形式 z x G z x yz yz xy xy z z y y x x 2 1 =  =  =  =   =   =               z x G z x yz yz xy xy z x z x y z y z x y x y 2 1 =  =  =  = − − = − − = − −                  

Lesson28ZO,,EzOx,Ex广义虎克定律的矩阵形式Oy,eyX000a81-v-VXX00089y-V-V10001862-V-V100000(1+v)ETxyxy00000(1+v)0yz100000(1 +CZ20130±5/8124大学9EBEIUNITEO UNIVERSITT

Lesson 28 2025/8/24 9 广义虎克定律的矩阵形式                                           + + + − − − − − − =                       z x yz xy z y x z x yz xy z y x E                      0 0 0 0 0 (1 ) 0 0 0 0 (1 ) 0 0 0 0 (1 ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Lesson28塑性变形时的应力应变关12.3.2系塑性变形的特点·体积不变，泊松比v=0.5：应力、应变为非线性关系1全量应变与应力主轴不一定O重合塑性变化不可逆一一无单值一一对应关系一一与加载路径有关52·对于应变硬化材料，卸载后0e6efey的屈服应力比初始屈服应力高130±5/8724大学102011-12-8-3TEOUNIVERSIT

Lesson 28 2025/8/24 10 12.3.2 塑性变形时的应力应变关 系 塑性变形的特点 • 体积不变，泊松比v=0.5 • 应力、应变为非线性关系 • 全量应变与应力主轴不一定 重合 • 塑性变化不可逆——无单值 一一对应关系——与加载路 径有关 • 对于应变硬化材料，卸载后 的屈服应力比初始屈服应力 高 2011-12-8-3

Lesson28：6应变增量与小变形及大变形的关系应变增量d与小变形ε数值大小处于同一数量级，都属于无穷小量；·大变形是对应变增量进行积分获得的Yde130起5/8124大号11MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 28 2025/8/24 11 应变增量与小变形及大变形的关 系 • 应变增量 与小变形 数值大小处于同一 数量级，都属于无穷小量； • 大变形是对应变增量进行积分获得的 d   d  d