《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第23讲 应力状态分析（主应力及主切应力）

Lesson238第十章应力状态分析主要内容Main Content·应力状态基本概念·斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力·球应力及偏差应力130±5/8124大学2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 2 第十章 应力状态分析 主要内容 Main Content • 应力状态基本概念 • 斜面上任一点应力状态分析 • 求和约定和应力张量 • 主应力及主切应力 • 球应力及偏差应力

Lesson23110.4主应力及主切应力主应力的概念10.4.1·通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面130起5/8124大号3MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 3 10.4 主应力及主切应力 • 10.4.1 主应力的概念 • 通过坐标变换可以找到只有正应力的 坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力 称为主应力，该坐标面为主平面

Lesson23SEAC山a-sT-OS12025/8124大学4MEBEIUNITEOUNIVERSITY

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Lesson236主应力的求解1如果取微分面ABC为主.n微分面，即该微分面上Snz只有主应力而没有切应Sn=o福力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力Snsox用表示主应力，则它tay在各坐标轴上的投影为xx0S=l21TavTAxOySOt= omnyS.= onnz130±5/8124大学6MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 6 主应力的求解 • 如果取微分面ABC为主 微分面，即该微分面上 只有主应力而没有切应 力。这时，作用在此面 上的全应力就是主应力。 用 表示主应力，则它 在各坐标轴上的投影为       = = = S n S m S l nz ny nx   

Lesson238·代入到斜面应力方程中有Sn=ol=o,l+tum+t.nSm=om=t,l+o,m+t,nSn=on=tx-l+tym+on整理后可得(o-o)l+tum+tn=0(*)T,l +(o, -o)m+t,n =0Txl+tm+(o. -o)n= 0[? +m2 +n2 =1又有**130#5/8124大学7MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 7 • 代入到斜面应力方程中有      = = + + = = + + = = + + S n l m n S m l m n S l l m n n z xz yz z n y xy y z y n x x yx z x             ( ) ( ) ( )      + + − = + − + = − + + = 0 0 0 l m n l m n l m n xz yz z xy y z y x yx z x             整理后可得 又有 1 2 2 2 l + m + n = （*） （**）

Lesson238·由上面四个方程可求出主应力及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l= m= n = 0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即=0T12025/8124大号8MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 8 • 由上面四个方程可求出主应力及其方向余 弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐 次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的 解。如要方程组有其他解时，必须取该方 程组的系数行列式为零，即 ( ) ( ) ( ) = 0 − − −             xz yz z xy y z y x yx z x

Lesson23F6·展开此行列式，得-(α,+0,+0,)α23g.o,+o,o,+o,oxTX+o.toxo,o: -2tmtyt-x=0令I =(α +o,+o,)I, =-,0, +0,0. +0.0,I, =[6,0,0 -2tytytx -(LOT2则有α3-I,2-I20-I,=02011-11-17-220±5/8124大学9MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 9 • 展开此行列式，得 2 −( x + y + z ) 3  ( ) 1 x y z I =  + +       (   ) 2 2 2 + x y + y z + z x − xy + yz + z x  ( ) 0 2 2 2 2 = − x y z − xy yz z x − x yz + y z x + z xy             令  ( ) 2 2 2 2 x y y z z x xy yz z x I = −  +  +  −  + +  ( ) 2 2 2 3 x y z 2 xy yz z x x yz y z x z xy I =    −    −   +  +  则有 2 3 0 2 1 3  − I  − I  − I = 2011-11-17-2

Lesson23·三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知(α-α)-02α-03)=0展开后得3 -(,+, +0,)? +(,2 +020, +0,0)-0,020, = 0由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有120±5/8124大学10FEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 10 • 三次方程式称为应力状态特征方程。此方 程的三个根就是三个主应力，而这三个主 应力均为实根。由因式分解可知 ( − 1 )( − 2 )( − 3 ) = 0 ( ) ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0 2 1 2 3 3  −  + +  +   +  +   −   = 由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方 程，因此该式与应力状态特征方程全等。有 展开后得

Lesson23应力张量不变量I =0,+o,+0, =(o,+0,+0,(,o,+o,o, +o,a)+t?+t?+t?.x=0,02+0203+030I?9.t?I,=o.o.o.+2t.,t..t.--o,t9=0,0203Vzxxy对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I、I、I是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量2010-11-9-2130±5/8124大学11TEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 23 2025/8/24 11 应力张量不变量 x y z I 1 =  + + ( ) =  1 + 2 + 3 ( ) 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx I = −   +  +  + + + =  1  2 + 2  3 + 3  1 2 2 2 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy I =   +    −  −  −  =  1  2  3 对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而 与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐 标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称 为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。 2010-11-9-2