《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第24讲 应力状态分析（球应力及偏差应力）

Lesson246第十章应力状态分析主要内容Main Content·应力状态基本概念·斜面上任一点应力状态分析·求和约定和应力张量、主应力及主切应力球应力及偏差应力130±5/8124大2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 2 第十章 应力状态分析 主要内容 Main Content • 应力状态基本概念 • 斜面上任一点应力状态分析 • 求和约定和应力张量 • 主应力及主切应力 • 球应力及偏差应力

Lesson2410.5球应力及偏差应力·10.5.1球应力·由应力张量第一不变量I=x+0,+0, =(@,+2+o,)令(,+,+)=(++)=一称为应力状态的平均应力，其大小也与坐标系无关。130±5/8124大学3MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 3 10.5 球应力及偏差应力 • 10.5.1 球应力 • 由应力张量第一不变量 x y z I 1 =  + + ( ) =  1 + 2 + 3 令 ( ) m x y z  = I =  + + 3 1 3 1 1 ( ) 1 2 3 3 1 =  + + 称 为应力状态的平均应力，其大小也与 坐标系无关。  m

Lesson246·在主坐标系下，若斜面的方向余弦取[7 =m=nl=1/ /3则斜面上的正应力为0n =0,1? +02m? +03n? ==(0, +02 +0,))=g,3这样的斜面有8个构成一个正八面体。作用在这些面上的应2力称为八面体应力130#5/8124大学4MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 4 • 在主坐标系下，若斜面的方向余弦取 l = m = n =1 3 则斜面上的正应力为 ( ) 1 2 3 2 3 2 2 2 1 3 1  n = l + m + n =  + + =  m 这样的斜面有8个， 构成一个正八面体。 作用在这些面上的应 力称为八面体应力

Lesson248和八面体·八面体应力可分为八面体正应力6%切应力, +cO1因t =(01 -02)12m? +(02 -03) m?n? +(o3 -0,)n212所以V(01-02)+(α2 -0,)+(g3 -0,)-1：=130#5/8124大学52011-11-22-2MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 5 • 八面体应力可分为八面体正应力 和八面体 切应力 。  8 8  ( ) 8 1 2 3 1 3 1 3 1 I  = m =  + + = ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 3 2 8 1 2 3 1  =  − +  − +  − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 l m m n n l  n =  − +  − +  − 因 所以 2011-11-22-2

Lesson246·作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变换无关的常量。若过一点各向受同一符号和同样大小的主应力作用，则过该点任意微分斜面上的切应力为零，因而不会产生塑性变形，仅发生体积的弹性变化。此时我们定义p=-α0为静水压力12025/8124大号6FEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 6 • 作用在八面体面上的正应力是与坐标轴变 换无关的常量。若过一点各向受同一符号 和同样大小的主应力作用，则过该点任意 微分斜面上的切应力为零，因而不会产生 塑性变形，仅发生体积的弹性变化。 • 此时我们定义 p = − m 为静水压力

Lesson248·当坐标轴取主轴时，斜面上的应力有Sn=S=.mSSn3n2n[Sm3=, n222aa032}2+m2 +n2 =椭球面方程2XVZx?+y? =α?aC130±5/8124大学7MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 7 • 当坐标轴取主轴时，斜面上的应力有      = = = S n S m S l n n n 3 3 2 2 1 1    1 2 2 2 l + m + n = 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 + + =    Sn Sn Sn 椭球面方程 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 2 2 2 x + y = a

Lesson240·该椭球面主半径长度分别等于主应力03Qi、O2、,的值。此椭球面称为应力椭球面。由椭球面2上任意点向原点连线，此线段长度表示任意斜面上的全应力Sn。应力椭球面130#5/8124大学8MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 8 • 该椭球面主半径长 度分别等于主应力 1、2、3的值。 此椭球面称为应力 椭球面。由椭球面 上任意点向原点连 线，此线段长度表 示任意斜面上的全 应力Sn。 应力椭球面

Lesson246如果9,=O2=,=m=-P,则椭球面变成球面。此时，变形体中一点的应力状态为三个主应力相同，并等于㎡，此点应力状态可用如下矩阵表示00006m-p0000或 T=T0m-p0000Om-p由于这一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩阵便是球形应力张量，简称球应力张量。20起5/8124大号9EBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 9 • 如果 ，则椭球面变成球面。此 时，变形体中一点的应力状态为三个主应力 相同，并等于 ，此点应力状态可用如下矩 阵表示 1 = 2 = 3 = m = −p  m           = m m m s T     0 0 0 0 0 0 由于这一点的三个主应力相同，通过该点的所有微分 斜面上的应力相同，此时应力曲面为球形。因此，上述矩 阵便是球形应力张量，简称球应力张量。           − − − = p p p T s 0 0 0 0 0 0 或 

Lesson246·球应力分量仅能使Om物体引起体积胀缩S的弹性体积变化，S2Om这部分应力分量对S2物体的塑性变形是Om无贡献的。130起5/8124大10MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 10 • 球应力分量仅能使 物体引起体积胀缩 的弹性体积变化， 这部分应力分量对 物体的塑性变形是 无贡献的

Lesson246偏差应力10.5.2·取任意应力张量ZXTzyX0TXZVz从其中去掉球应力张量，即00Ty0mzX00ra=T.-TsOm三TxyT2100TTm0Xz1Z130±5/8124大11MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 24 2025/8/24 11 10.5.2 偏差应力 • 取任意应力张量           = xz yz z xy y zy x yx zx T           从其中去掉球应力张量，即           −           = − = m m m xz yz z xy y z y x yx z x d s T T T                0 0 0 0 0 0