《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第22讲 应力状态分析（求和约定和应力张量）

Lesson228第十章应力状态分析主要内容Main Content·应力状态基本概念·斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力·球应力及偏差应力130±5/8124大学2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 2 第十章 应力状态分析 主要内容 Main Content • 应力状态基本概念 • 斜面上任一点应力状态分析 • 求和约定和应力张量 • 主应力及主切应力 • 球应力及偏差应力

Lesson2210.3求和约定和应力张量·10.3.1求和约定·为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：Cixlrl+tul,+txT7Xi=x,y,z1ZoylXTayl,+ol,+tylz1三xyzyi=x,y,zTxl,+Tyl,+o,zxzZ0i,i=x,y,z120±5/8124大学3MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 3 10.3 求和约定和应力张量 • 10.3.1 求和约定 • 为了简化公式和书写的方便，我们常采用求 和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一 矩阵与向量的乘法：            xz yz z xy y zy x yx zx          =           z y x l l l           + + + + + + x z x yz y z z xy x y y z y z x x yx y z x z l l l l l l l l l                          =    = = = i x y z iz i i x y z iy i i x y z ix i l l l , , , , , ,   

Lesson226·其中等式右边各项可以写为或去掉求Zoli,j=x,y,z和符号而直接写为o,li·其中有一特征：同一项中 i为重复下标，逢重复下标就相加，该下标称为哑标。非重复下标i称为自由标自由标b+0O,a;Tmjm哑标哑标2025/8124大学4MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 4 • 其中等式右边各项可以写为 或去掉求 和符号而直接写为 。 • 其中有一特征：同一项中 i 为重复下标， 逢重复下标就相加，该下标称为哑标。非 重复下标 j 称为自由标。  i j=x y z ij i l , , ,  ij i  l  ijai + mjbm 哑标 哑标 自由标

Lesson226·求和约定的注意要点：·哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无关紧要。如+a.+o333Ai、j、k=x，y，z 或 1、2、3130#5/8124大学5MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 5 • 求和约定的注意要点： • 哑标是说明求和的记号，用什么字母表示 无关紧要。如  n  ii 3 1 = i、j、k = x，y，z 或 1、 2、 3 ( ) 3 1  jj =  x + y + z 3 1 =  kk 3 1 =

Lesson228·方程式左右两边的自由标必须相同。例如P; =,njrik = PijqjkQa.11immnnji、j、k、m、n、=x，y， z,..130#5/8124大？6MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 6 • 方程式左右两边的自由标必须相同。例如： pi =  ijn j ik pijq jk r =  i j = ai m mnbnj  i、j、k、m、n、= x，y，z， 

Lesson22：-5练习：把如下公式展开，以为例。0', = aim0mmbm(i、j、m、n、=1, 2, 3)mnnji2 =a10,b12 +a12021b12 +a13031b12+ai012b22 + a12022b2 + a130 32b22022+a1013b32 +a12023b32+a13033b32023 = ?Ou其中 Uij =aj22012-4-10-2.2012-4-11-3L5”表示求导数130±5/8124大学7MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 7 ij im mn nj  = a  b 练习：把如下公式展开，以 12  为例。 (i、j、m、n、=1， 2， 3) 12 = a1111b12  + a12 21b12 + a13 31b12 + a1112b22 + a12 22b22+ a13 32b22 + a1113b32 + a12 23b32+ a13 33b32 ?  23  = ( ) ij ui, j u j,i 2 1  = + “ ， ”表示求导数 j u u i i j   其中 , = 2012-4-10-2, 2012-4-11-3

Lesson226应力张量10.3.2·在斜面上的应力分析中，我们得到S=o,l+twm+tnZXS.,=tx,l+o,m+tz,n1S..=txl+tm+o,nM用矩阵表示为SKnxXZXSmyXmT.T0xyzys2012-11-1-2TTyz0xznz130±5/8124大学8MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 8 10.3.2 应力张量 • 在斜面上的应力分析中，我们得到      = + + = + + = + + S l m n S l m n S l m n nz x z yz z ny x y y z y nx x yx z x                               =           n m l S S S x z yz z x y y z y x yx z x nz ny nx          用矩阵表示为 2012-11-1-2

Lesson226·变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。00.Tzx=TxzTxy= TyxTy- =tay，根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。130起5/8124大9MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 9 • 变形体内任意点的应力状态可以通过该点且 平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分 量来表示。 • 根据这九个应力分量的特点，我们可以采用 一种新的方法来表示它们，如下表所示。  x  y  z xy yx  =  yz zy  = zx xz  = 

Lesson22+UzLZyIzxTyzxzyIxz面面面TyTyxxyUxx方向9TTxzxjxTaTJ方向CzyxyyTTaz方向NXzyz130±5/8124大10MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 10           x z yz z xy y z y x yx z x          x 面 y 面 z 面 x方向 y方向 z方向

Lesson228·去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。VXXTT0xyZy-TKyOxz7130起5/8124大11MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 22 2025/8/24 11 • 去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个 符号表示该矩阵。           x z yz z xy y z y x yx z x          T = =  ij