《金属塑性变形理论》课程授课教案（讲稿）力学部分（绪论、第一章 应力状态分析、第二章 应变状态分析）

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第20讲次摘要绪论第一节塑性加工的分类第二节塑性加工技术最新动向及发展授课题目（章、节）第三节塑性加工力学的教与学第一章应力状态分析第一节基本概念本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉塑性加工力学的研究内容及应用领域：掌握应力基本概念及其符号的确定：了解塑性加工的分类、塑性加工技术最新动向及发展。【重点】塑性加工力学及研究方法：应力基本概念。【难点】应力符号的确定，应力莫尔圆的应用。内容【本讲课程的引入】金属塑性加工力学是金属材料工程和材料成型及控制两个专业的主要技术基础课之一，该课程是专业必修课轧制原理的先行课，通过该课程的学习为后续的专业课程学习打基础，也可作为一门技术课程进行单独研究。今天我们来讲金属塑性加工力学的概述及第一章的第一节内容。【本讲课程的内容】绪论第一节塑性加工的分类1.按加工时工件的受力和变形方式：塑性加工可以分为基本加工变形和组合加工变形。靠压力作用使金属产生变形的方式有锻造、轧制和挤压。靠拉力作用使金属产生变形的方式有拉拔、冲压和拉伸成型。靠弯矩和剪切作用使金属产生变形的方式有弯曲和剪切。组合加工主要有锻轧、轧挤、拔轧、辊弯、搓轧等。新型组合加工有液态铸轧、粉末轮制、喷镀轧制等等。2.按加工时工件的温度特征。塑性加工可以分为热加工、冷加工和温加工。各种加工变形方式的适当组合可以开发出能扩大品种、提高产品精度和加工成型效率的新型加工成型过程。加工成型过程与热处理2适当配合可以显著改善产品的组织性能，以便更经济、更有效地使用金属材。新型加工方法如图1-1所示。塑性加工产品是大量的，在国民经图1-1液态铸轧过程济中占据重要地位，因此塑性加工的研1一盛钢桶：2一流钢槽：3一水冷轮辑：4一轮件究和新技术开发所取得的成果在经济效益上也非常之大

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》 第 周，第 20 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 绪论 第一节 塑性加工的分类 第二节 塑性加工技术最新动向及发展 第三节 塑性加工力学的教与学 第一章 应力状态分析 第一节 基本概念 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉塑性加工力学的研究内容及应用领域；掌握应力基本概念及其符 号的确定；了解塑性加工的分类、塑性加工技术最新动向及发展。 【重 点】塑性加工力学及研究方法；应力基本概念。 【难 点】应力符号的确定，应力莫尔圆的应用。 内 容 【本讲课程的引入】金属塑性加工力学是金属材料工程和材料成型及控制两个专业的主要技术基 础课之一，该课程是专业必修课轧制原理的先行课，通过该课程的学习为后续的专业课程学习打 基础，也可作为一门技术课程进行单独研究。今天我们来讲金属塑性加工力学的概述及第一章的 第一节内容。 【本讲课程的内容】 绪论 第一节 塑性加工的分类 1．按加工时工件的受力和变形方式； 塑性加工可以分为基本加工变形和组合加工变形。 靠压力作用使金属产生变形的方式有锻造、轧制和挤压。 靠拉力作用使金属产生变形的方式有拉拔、冲压和拉伸成型。 靠弯矩和剪切作用使金属产生变形的方式有弯曲和剪切。 组合加工主要有锻轧、轧挤、拔轧、辊弯、搓轧等。 新型组合加工有液态铸轧、粉末轧制、喷镀轧制等等。 2．按加工时工件的温度特征。 塑性加工可以分为热加工、冷 加工和温加工。 各种加工变形方式的适当组合 可以开发出能扩大品种、提高产品 精 度 和 加 工 成 型效 率 的 新 型加 工 成型过程。加工成型过程与热处理 适 当 配 合 可 以 显著 改 善 产 品的 组 织性能，以便更经济、更有效地使 用金属材。新型加工方法如图 1-1 所示。 塑性加工产品是大量的，在国民经 济中占据重要地位，因此塑性加工的研 究和新技术开发所取得的成果在经济效 益上也非常之大。 1 2 3 3 4 图 1-1 液态铸轧过程 1—盛钢桶；2—流钢槽；3—水冷轧辊；4—轧件

第二节塑性加工技术最新动向及发展1.塑性加工技术最新动向：（1）节约资源用尽量少的原材料生产出要求的形状、尺寸、强度、塑性以及其它物理性能的产品。为此，合理利用资源选择最佳材质或通过变形与热处理相配合以改善材质、研究轻型薄壁断面和周期断面以及复合材料等高效制品的成型成为今后节约资源的重要课题。（2）节约能源金属材料热加工所需的热能比加工所需的机械能大许多倍，所以必须节约热能。缩短工艺流程、降低加工温度、热加工变为冷加工、减少或省去中间退火、降低材料的变形抗力、提高塑性等方面的技术开发成为今后节约能源的重要课题。塑性加工力学就是运用塑性力学基础来求解塑性加工成型问题。它的任务是在对加工工件进行应力和应变分析的基础上建立求解塑性加工成型问题的变形力学方程和解析方法，从而确定塑性加工成型的力能参数和工艺变形参数以及影响这些参数的主要因素。（3）实现最佳的加工条件研究创造最佳的工艺条件和使工艺内容定量化以及把能实现这种条件的新技术用于新加工机械设计和老设备的挖潜改造上，并进行最优控制。2.塑性加工力学的发展塑性加工本身就是典型的力学应用。轧制、挤压、拉拔、锻造及其它各种加工方法，都是在力的作用下实现金属变形的。加工设备、工具、模具的设计与选择，材料本身变形过程的整个工艺制订等都必须考虑力学问题。二十世纪20年代初，塑性理论的研究在德国有了很大发展。H.Hencky、L.Prandil、B.Saint-Veant等将塑性理论有效地应用于工程技术问题中，然而，真正研究塑性加工力学问题还是从30年代开始的。T.Karman、A.N.Uelbkol、M.D.Stone、E.Orowan、R.B.Sims等人以满足力平衡方程，屈服条件和应力边界条件为前提的工程法计算，对较复杂的轧制力的计算取得了成功。它只能对平面变形及轴对称问题进行解析，由于对问题做了大量的简化和假定处理，计算结果比较粗糙。为了提高计算精度，到了40年代，H.Hencky、H.Geringer、Cauchy、Rieman等人根据金属的物理变形过程，完成了滑移线法解析塑性加工问题。它不但可以计算平面变形问题的变形力，而且能够计算变形体内各点的应力状态。从而可以依靠解析来分析变形体内的应力分布，成型过程中产生的裂纹原因等。50年代初，A.A.Mapkob、R.Hill、W.Pragar等人把极值分析方法（又称上、下界法）应用到塑性加工问题。60年代日本人工藤提出上界元法。由于计算机的发展，给功率函数的积分、多变量的优化提供了方便条件，使得上界法及上界元法的应用取得了优势。这种方法可以解析非对称变形的各种加工问题，可以解析加工界限，孔型模腔的充满过程，可以进行变形行为的预测和复合材料加工过程的计算。有限元法从60年代才开始应用于金属塑性加工问题。这时人们的研究目的从单纯的力能研究转向高精度、高效率、节能、节材为中心的新型加工技术的开发，加速了有限元法的研究与发展。70年代，小林史郎，C.H.Lee等应用刚一塑性变分原理建立了刚一塑性有限元解析法，以后又建立了弹一塑性、弹一粘塑性有限元等方法。80年代以后，由于大型计算机及微型计算机的迅速发展，解析方法的不断完善，对塑性加工的工艺制订、设备的设计、质量的分析、变形行为的预测等进行了更加接近实际的三维数值模拟

第二节 塑性加工技术最新动向及发展 1．.塑性加工技术最新动向： （1）节约资源 用尽量少的原材料生产出要求的形状、尺寸、强度、塑性以及其 它物理性能的产品。为此，合理利用资源选择最佳材质或通过变形与热处理相配合以改 善材质、研究轻型薄壁断面和周期断面以及复合材料等高效制品的成型成为今后节约资 源的重要课题。 （2）节约能源 金属材料热加工所需的热能比加工所需的机械能大许多倍，所以必须 节约热能。缩短工艺流程、降低加工温度、热加工变为冷加工、减少或省去中间退火、 降低材料的变形抗力、提高塑性等方面的技术开发成为今后节约能源的重要课题。 塑性加工力学就是运用塑性力学基础来求解塑性加工成型问题。它的任务是在对加 工工件进行应力和应变分析的基础上建立求解塑性加工成型问题的变形力学方程和解 析方法，从而确定塑性加工成型的力能参数和工艺变形参数以及影响这些参数的主要因 素。 （3）实现最佳的加工条件 研究创造最佳的工艺条件和使工艺内容定量化以及把 能实现这种条件的新技术用于新加工机械设计和老设备的挖潜改造上，并进行最优控 制。 2．塑性加工力学的发展 塑性加工本身就是典型的力学应用。轧制、挤压、拉拔、锻造及其它各种加工方法， 都是在力的作用下实现金属变形的。加工设备、工具、模具的设计与选择，材料本身变 形过程的整个工艺制订等都必须考虑力学问题。 二十世纪 20 年代初，塑性理论的研究在德国有了很大发展。H.Hencky、L.Prandtl、 B.Saint-Veant 等将塑性理论有效地应用于工程技术问题中，然而，真正研究塑性加工力 学问题还是从 30 年代开始的。T.Karman、A.N.Uelbkol、M.D.Stone、E.Orowan、R.B.Sims 等人以满足力平衡方程，屈服条件和应力边界条件为前提的工程法计算，对较复杂的轧 制力的计算取得了成功。它只能对平面变形及轴对称问题进行解析，由于对问题做了大 量的简化和假定处理，计算结果比较粗糙。 为了提高计算精度，到了 40 年代，H.Hencky、H.Geringer、Cauchy、Rieman 等人 根据金属的物理变形过程，完成了滑移线法解析塑性加工问题。它不但可以计算平面变 形问题的变形力，而且能够计算变形体内各点的应力状态。从而可以依靠解析来分析变 形体内的应力分布，成型过程中产生的裂纹原因等。 50 年代初，A.A.Mapkob、R.Hill、W.Pragar 等人把极值分析方法（又称上、下界法） 应用到塑性加工问题。60 年代日本人工藤提出上界元法。由于计算机的发展，给功率函 数的积分、多变量的优化提供了方便条件，使得上界法及上界元法的应用取得了优势。 这种方法可以解析非对称变形的各种加工问题，可以解析加工界限，孔型模腔的充满过 程，可以进行变形行为的预测和复合材料加工过程的计算。 有限元法从 60 年代才开始应用于金属塑性加工问题。这时人们的研究目的从单纯 的力能研究转向高精度、高效率、节能、节材为中心的新型加工技术的开发，加速了有 限元法的研究与发展。70 年代，小林史郎，C.H.Lee 等应用刚—塑性变分原理建立了刚 —塑性有限元解析法，以后又建立了弹—塑性、弹—粘塑性有限元等方法。80 年代以后， 由于大型计算机及微型计算机的迅速发展，解析方法的不断完善，对塑性加工的工艺制 订、设备的设计、质量的分析、变形行为的预测等进行了更加接近实际的三维数值模拟

第三节塑性加工力学的教与学1.学习的主要目的（1）后续课程及毕业后三五年内解决常规工程技术问题的能力：基本知识、计算和实验（2）较深入、系统、全面地阐明现代塑性理论以及力学分析方法：，（3）使学生掌握有关塑性变形的应力、应变分析和压力加工过程力能参数计算的基本理论和方法。2，教学方法与训练方法要突出培养创新精神（1）实行启发式教学，为学生的独立思维留出足够的时间和空间：(2）提倡研究式的教学方法：(3)改革考试考核方法。3.学习方法(1)上课听讲(2）培养良好的作题习惯：·列出已知和所求·画出示意图·问题的分析，作适当的简化处理·列出数学描述·求解·解的讨论(3）培养工程概念的思想总之，老师在教学过程中要引导思维、不要代替思维、更不要室息思维：同学在学习过程中要积极思维、不要被动思维、更不要拒绝思维。第一章应力状态分析第一节基本概念1外力（表面力）塑性加工中工件表面所受的外力主要有作用力和约束反力。（1）作用力塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的力。又称主动力。（2）约束反力工件在主动力的作用下，其整体运动和质点流动受到工具的约束时所产生的力。可分为正压力和摩擦力。正压力沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。摩擦力沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力，其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动趋势相反。轧件在稳定轧制时，在轧件和轧辊的接触面上只有正压力和摩擦力，见图1-2。正压力和摩擦力的合力是轧辊对轧件的总压力，这个总压力的垂直分力一般称之为载制力。图1-2轮制过程的受力图

第三节 塑性加工力学的教与学 1．学习的主要目的 （1）后续课程及毕业后三五年内解决常规工程技术问题的能力：基本知识、计算和实验； （2）较深入、系统、全面地阐明现代塑性理论以及力学分析方法；， （3）使学生掌握有关塑性变形的应力、应变分析和压力加工过程力能参数计算的基本理论和方 法。 ２．教学方法与训练方法要突出培养创新精神 ⑴ 实行启发式教学，为学生的独立思维留出足够的时间和空间； ⑵ 提倡研究式的教学方法； ⑶ 改革考试考核方法。 3．学习方法 ⑴ 上课听讲 ⑵ 培养良好的作题习惯： ⚫ 列出已知和所求 ⚫ 画出示意图 ⚫ 问题的分析，作适当的简化处理 ⚫ 列出数学描述 ⚫ 求解 ⚫ 解的讨论 ⑶ 培养工程概念的思想 总之，老师在教学过程中要引导思维、不要代替思维、更不要窒息思维；同学在学习过程中 要积极思维、不要被动思维、更不要拒绝思维。 第一章 应力状态分析 第一节 基本概念 1．外力（表面力） 塑性加工中工件表面所受的外力主要有作用力和约束反力。 （1）作用力 塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的力。又称主动力。 （2）约束反力 工件在主动力的作用下，其整体运动和质点流动受到工具的约束 时所产生的力。可分为正压力和摩擦力。 正压力 沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或金属流动的力，其方向垂直 于接触面，并指向工件。 摩擦力 沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力，其方向平行于接触面，并与 金属质点流动方向或流动趋势相反。 轧件在稳定轧制时，在轧件和轧辊的接触面上 只有正压力和摩擦力，见图 1-2。正压力和摩擦力 的合力是轧辊对轧件的总压力，这个总压力的垂直 分力一般称之为轧制力。 H h N N T T 1 2 1 2 2 图 1-2 轧制过程的受力图

2.内力和应力P3P在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形的力称为内力。内力可以用截面法把它表示出来，如图SPP1-3所示。因变形体处于平衡状态，有XYSP=PR=SP，那么SFSNSAPn-2SPdp(1-1)S=lim aF"aFSPAST称S为作用在面素SF上的全应力。Pn-1PnSF全应力的分解有两种方式：一种沿法向切向分图1-3作用在微元面积上的应力aN正应力：o=lm%(1-2)&T切应力：-lm%(1-3)一种可以沿坐标轴分解为Sx、Sy、Sz。应该注意，全应力是一个向量，称为应力向量。一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。随着截面方位的变化，作用在半变形体上外力的合力随之变化，因而与之平衡的截面上的内力也随之变化。如果截面的法向与某坐标轴重合，则该截面上的切应力还可以沿其余两坐标轴分解。这样，对于包含某点的微六面体体素上，每一面素上作用有三个应力分量，其中一个正应力，两个切应力。其符号有如表2的规定：面素法向与坐标轴正向一致者为正面。表1应力分量的符号规定面素符号应力方向应力符号十++++I一十【本讲课程的小结】今天我们主要讲了金属塑性加工力学的一些基本知识，包括塑性加工的方法塑性加工技术的最新动向，塑性加工力学的发展及其学习方法，对其进行了解即可。需要大家掌握应力的基本概念及应力方向的确定。【本讲课程的作业】作业：习题集P2习题1、2、5。预习：第二节斜面上任一点应力状态分析

2．内力和应力 在外力作用下的物体，内部将产生抵抗 变形的力称为内力。 内力可以用截面法把它表示出来，如图 1-3 所 示 。 因 变 形 体 处 于 平 衡 状 态 ， 有 PA PB P     =  =  ，那么 dF dP F P S F   = = →    lim 0 （1-1） 称 S 为作用在面素 F 上的全应力。 全应力的分解有两种方式：一种沿法向 切向分 正应力： F N F      lim →0 = （1-2） 切应力： F T F      lim →0 = （1-3） 一种可以沿坐标轴分解为 Sx、Sy、Sz。 应该注意，全应力是一个向量，称为应力向量。一点的应力向量不仅取决于该点的 位置，还取决于截面的方位。随着截面方位的变化，作用在半变形体上外力的合力随之 变化，因而与之平衡的截面上的内力也随之变化。 如果截面的法向与某坐标轴重合，则该截面上的切应力还可以沿其余两坐标轴分 解。这样，对于包含某点的微六面体体素上，每一面素上作用有三个应力分量，其中一 个正应力，两个切应力。其符号有如表 2 的规定： 面素法向与坐标轴正向一致者为正面。 表 1 应力分量的符号规定 面素符号 应力方向 应力符号 + + + + - - - + - - - + 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了金属塑性加工力学的一些基本知识，包括塑性加工的方法， 塑性加工技术的最新动向，塑性加工力学的发展及其学习方法，对其进行了解即可。需要大家掌 握应力的基本概念及应力方向的确定。 【本讲课程的作业】 作业：习题集 P2 习题 1、2、5。 预习：第二节 斜面上任一点应力状态分析。 A B x y z P1 P2 P3 Pn-2 Pn-1 Pn F  F   P PB A  F    P N T 图 1-3 作用在微元面积上的应力

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第21讲次摘要第一章应力状态分析授课题目（章、节）第二节斜面上任一点应力状态分析本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握斜面上任一点应力状态平衡方程的建立过程以及应力边界条件方程的物理意义，学会求解过任一点斜面上的全应力及其分量，正应力，切应力；应力边界条件方程的物理意义。【重点】斜面上包含某点的六面体素应力分量的表示；求解过任一点斜面上的全应力及其分量，正应力，切应力。【难点】斜面上包含某点的六面体素应力分量的表示；平衡方程的推导过程。内容【本讲课程的引入】上一讲课我们对金属塑性加工力学的绪论部分和应力状态基本概念进行了学习，今天我们来讲斜面上任一点应力状态分析。【本讲课程的内容】第二节斜面上任一点应力状态分析1．应力关系的建立要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素如图1-4所示，VZrS.SnzOnCS..grZYTxyLTx0TzvT"-Axavz图1-4四个截面构成的一个四面体素

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》 第 周，第 21 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第一章 应力状态分析 第二节 斜面上任一点应力状态分析 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握斜面上任一点应力状态平衡方程的建立过程以及应力边界条件方程 的物理意义，学会求解过任一点斜面上的全应力及其分量，正应力，切应力；应力边界条件方 程的物理意义。 【重 点】斜面上包含某点的六面体素应力分量的表示；求解过任一点斜面上的全应力及其分量，正应力， 切应力。 【难 点】斜面上包含某点的六面体素应力分量的表示；平衡方程的推导过程。 内 容 【本讲课程的引入】上一讲课我们对金属塑性加工力学的绪论部分和应力状态基本概念进行了 学习，今天我们来讲斜面上任一点应力状态分析。 【本讲课程的内容】 第二节 斜面上任一点应力状态分析 1．应力关系的建立 要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的 截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。 通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度 的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素如图 1-4 所示。 图 1-4 四个截面构成的一个四面体素 z x y o x  y z xy yz yx xz zy zx Sn n Snx Sny Snz n  n B A C

下面我们分析微分斜面上的应力。该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦为：cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,2)=n则三个垂直面的面积可以表示为：SoBC = SABc cos(n, x)= ds - ISoac = SABc cos(n, y)= ds- mSoBA = S ABc Cos(n,z)= ds -n由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即X=0、ZY-0、 ZZ=0。在x方向：Smds-o,.ds.l-Twds·m-txds·n=0在y方向：Smds-Tyds.l-,ds·m-Ty*ds·n=C在=方向：Sm.ds-t,.ds.l-t,.dsm-o..dsn=0整理后得：Sm=o,I+tum+tan(1-6)Sm=T,l+o,m+t,nSm-=t,/+t,m+o.n用矩阵表示为：(Smx)0Tyx(1-7)Snyatn(Sm)nTxTr0.把微分斜面上的合应力S，向法线N方向投影，便可求出微分斜面上的正应力α，，或将Snx、Say、Sm=分别投影到法线N上，也同样得到微分斜面上的正应力n，即O,=Sm/+Smm+S.n将式1-6代入上式，则j?+o,m+o.n+2t,lm+2t,mn+2tnl(1-8)O,=O1l微分面上的剪应力为t, =S, -o,(1-9)

下面我们分析微分斜面上的应力。该微分斜面面积为 ds，外法线方向的方向余弦 为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n 则三个垂直面的面积可以表示为： S S (n x) ds l OBC ABC = cos , =  SOAC = S ABC cos(n, y) = dsm SOBA = S ABC cos(n,z) = ds n 由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即 X = 0、 Y = 0、 Z = 0。 在 x 方向： Snx  ds − x  dsl − yx  ds m − zx  ds n = 0 在 y 方向： Snx  ds − xy  dsl − y  ds m − zy  ds n = 0 在 z 方向： Snx  ds − xz  dsl − yz  ds m − z  ds n = 0 整理后得：      = + + = + + = + + S l m n S l m n S l m n nz xz yz z ny xy y zy nx x yx zx          （1-6） 用矩阵表示为：                      =           n m l S S S xz yx z xy y zy x yx zx nz ny nx          （1-7） 把微分斜面上的合应力 Sn，向法线 N 方向投影，便可求出微分斜面上的正应力  n ， 或将 Sn x、Sn y、Snz 分别投影到法线 N 上，也同样得到微分斜面上的正应力  n ，即  n = Snxl + Snym + Snzn 将式 1-6 代入上式，则 l m n lm mn nl n x y z xy yz zx     2 2 2 2 2 2 = + + + + + （1-8） 微分面上的剪应力为 2 2 2 n Sn  n  = − （1-9） x z   n

综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点具平行于坐标面的三个微分面上的丸介应力分量、、、、xa、a来表示或者说通过变形体内任意点垂真于坐标轴所截取的三个相互垂真的微分面上各应力，己知时，便可确定该点的应力状态。2.主坐标系下应力关系的建立若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由O,=o,?+o,m+o.n+2t,m+2t,mn+2tgnl可得0, =0,? +02m? +0,n?S,=o1+o,m?+on?而T =(o, -0,)1m +(0, -0,)mn? +(0, -0,)n212所以综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。Ox,Ty=txTy=tyT=t或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力，已知时，便可确定该点的应力状态。3.应力边界条件方程如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，则Px=o,/+tym+tnP,=t,l+o,m+t,nP.=t./+tm+o,n应力边界条件方程的物理意义：建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。课堂练习：已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线1=m=n=1//3方向与三个坐标轴夹角余弦时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上的分量Sxr、Sy、S-及斜1面上的法线应力sn和切应力tn。解：首先确定各应力分量sr=10、Sy=10、sz=0、txy=tyx=5、txz=tzx=5、Tyz=tzy=0（单位MPa)。由.1_20方+5·云+5.S,=o/+tum+tn=10.万V3V3115126+10..+o,m+t.,n=5.+0.S,=tV3V33V335111+0+0S,=t,.l+t,m+o,n=5.3-73V3V3

综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分 面上的九个应力分量  x 、  y 、  z 、 xy yx  =  、 yz zy  =  、 zx xz  =  来表示。或者说， 通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力  ij 已知 时，便可确定该点的应力状态。 2. 主坐标系下应力关系的建立 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由 可得 而 所以 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九 个应力分量来表示。 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的 三个相互垂直的微分面上各应力 已知时，便可确定该 点的应力状态。 3.应力边界条件方程 如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的 微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向 的分力分别为 px、py、pz，则 应力边界条件方程的物理意义： 建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。 课堂练习： 已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线 方向与三个坐标轴夹角余弦 时，求该斜面上的全应力 S，全应力 在坐标轴上的分量 Sx、Sy、Sz 及斜 面上的法线应力 sn 和切应力 tn。 解：首先确定各应力分量 sx=10、sy=10、sz=0、txy=tyx= 5、txz=tzx=5、 tyz=tzy=0（单位 MPa）。由  x  y  z xy yx   = yz zy  = zx xz   =  ij      = + + = + + = + + p l m n p l m n p l m n z xz yz z y xy y zy x x yx zx          l m n = = =1 3 2 2 2 26 5 3 x y z S S S S = + + = 2 2 2 2 2 2 n x y z xy yz zx        = + + + + + l m n lm mn nl 2 3 2 2 2  n =1 l + m + n 2 2 3 2 2 2 2 2 Sn =1 l + m + n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 l m m n n l  n =  − +  − +  −          = + + =  +  +  = = + + =  +  +  = = + + =  +  +  = 3 5 3 1 0 3 1 0 3 1 5 3 15 3 1 0 3 1 10 3 1 5 3 20 3 1 5 3 1 5 3 1 10 S l m n S l m n S l m n z xz yz z y xy y z y x x yx z x         

,=o,?+0m?+n?+2t,lm+2t,mn+2tn1_ 40=(10+10+2·5+2·5)333(40)2350650.J14T,=/53-03933人7应力坐标变换公式1212GrmTyxTyxT:OxTax12Txyo,T.ymm2n2m2aymTxy=yngn八9.)(n)n2a(3mTxTya'Tye其中li、mi、ni为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦xJZ11x'mln1J'12m2n2Z13m3n3ylyUy0UxUx'+【本讲课程的小结】今天我们主要讲了应力之间的关系，包括任意状态和主坐标系两种状态，应力边界条件方程及其物理意义，通过例题对所学应力之间的关系进行了具体的练习【本讲课程的作业】作业：习题集P2习题8。；预习：第一章第三节应力张量和求和约定

应力坐标变换公式 其中 li、mi、ni 为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦。 x y z x' l1 m1 n1 y' l2 m2 n2 z' l3 m3 n3 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了应力之间的关系，包括任意状态和主坐标系两种状态， 应力边界条件方程及其物理意义，通过例题对所学应力之间的关系进行了具体的练习。 【本讲课程的作业】 作业：习题集 P2 习题 8。； 预习：第一章第三节应力张量和求和约定。 3 40 3 1 (10 10 2 5 2 5) 2 2 2 2 2 2 = + +  +   = = l + m + n + lm + mn + nl n x y z xy yz z x        14 3 5 9 350 3 40 3 650 2 2 2  = =       n = S − n = − 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 x y x z x x yx zx x y y z y xy y zy x z y z z xz yz z l m n l l l l m n m m m l m n n n n                                                  =                         y x' y' u ux uy ux' uy' o

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》第周，第22讲次摘要第一章应力状态分析授课题目（章、节）第三节应力张量和求和约定本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉应力张量、零阶应力张量、一阶应力张量和二阶对称应力张量的基本概念，掌握求和约定的应用。【重点】应力张量的概念，求和约定的应用。【难点1二阶对称应力张量的理解。内容【本讲课程的引入】上讲课我们学习了应力之间的关系以及应力边界条件方程，今天我们来学习应力张量和求和约定。【本讲课程的内容】第三节应力张量和求和约定1：应力张量在斜面上的应力分析中，我们得到S=o,I+tm+tnSm=txyl+o,m+t,nSm=Txl+tym+o,n用矩阵表示为S.orTrS.QyTtSmTxzTyO由图1-4可以看到，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示OrTyTexTyO,Tay图1-4应力张量分量Tx Tyo.O2根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。---1*4J面面面rTE-防向向-方向

课程名称：《金属塑性变形理论-力学部分》 第 周，第 22 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第一章 应力状态分析 第三节 应力张量和求和约定 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，应熟悉应力张量、零阶应力张量、一阶应力张量和二阶对称应力张量的 基本概念，掌握求和约定的应用。 【重 点】应力张量的概念，求和约定的应用。 【难 点】二阶对称应力张量的理解。 内 容 【本讲课程的引入】上讲课我们学习了应力之间的关系以及应力边界条件方程，今天我们来学习 应力张量和求和约定。 【本讲课程的内容】 第三节 应力张量和求和约定 1．应力张量 在斜面上的应力分析中，我们得到 用矩阵表示为 由图 1-4 可以看到，变形体内任意点的应力状 态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上 的九个应力分量来表示 x yx zx    xy y zy    xz yz  z   根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新 的方法来表示它们，如下表所示。 x y z 图 1-4 应力张量分量      = + + = + + = + + S l m n S l m n S l m n nz xz yz z ny xy y zy nx x yx zx                               =           n m l S S S xz yz z xy y zy x yx zx nz ny nx                    xz yz z xy y zy x yx zx          x 面 y 面 z 面 z方向 y方向 x方向

去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。oTxT, =TxyO,Ty1=i(1-10)TxzTyo.该矩阵的特点：由材料力学剪切应力互等定律，有t=tr、=y=，则以上九个分量中，六个是独立的。这些应力分量排列为一对称矩阵：这个对称矩阵所表示的量称为二阶对称应力张量，矩阵中的元素称为应力张最分量。张量在力学中是一个十分重要的概念。标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。失量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。u=au,u,=aua为正交矩阵，有[a,]’ =[a,} =aj矢量可以称之为一阶张量。而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一失量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。uixU2xU3xT=(u, iz, is)=uly u2y UsyOs2U.O',=aimOmanjC,=amiOmmajin具有如此坐标变换的张量称为二阶张量。直角坐标系下的应力张量：oxyTxT=Txya,Ty=Q(TxT0.柱坐标系下的应力张量：o.TrToOT.=TrO,Tor=i(T0TreCe

去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。 （1-10） 该矩阵的特点： 由材料力学剪切应力互等定律，有 xy yx  =  、 yz zy  =  、 zx xz  =  ，则以上九个分量 中，六个是独立的。这些应力分量排列为一对称矩阵： 这个对称矩阵所表示的量称为二阶 对称应力张量 ，矩阵中的元素称为应力张量分 量 。 张量在力学中是一个十分重要的概念。 标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。 矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。 张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。 标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。 矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标 变换。 为正交矩阵，有 矢量可以称之为一阶张量。 而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的 相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。 具有如此坐标变换的张量称为二阶张量。 直角坐标系下的应力张量： 柱坐标系下的应力张量： ui = aiju j  i ji j u = a u  ij a ji T aij = aij = a − [ ] [ ] 1 { , , } T u1 u2 u3    =           = z z z y y y x x x u u u u u u u u u 1 2 3 1 2 3 1 2 3  ij = aim mnanj   ij ami mnajn =  ij xz yz z xy y zy x yx zx           =           T =  T = =  ij           xz yz z xy y zy x yx zx          T = ij z r zr r r z rz z                =          