西安电子科技大学：《通信网络基础》课程教学资源（讲义）第三章 网络的时延分析（时延模型）3.2 Basic Queue Theory

Basic Queue Theory M/M/-/-Type Queues

Basic Queue Theory M/M/-/- Type Queues

Xidian Univ. Kendall's Notation for Queues *A/B/C/DE Shorthand notation where 4,B,C,D,E describe the queue Applicable to a large number of simple queueing scenarios Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University Kendall’s Notation for Queues  A/B/C/D/E  Shorthand notation where A, B, C, D, E describe the queue  Applicable to a large number of simple queueing scenarios

Xidian Univ Kendall's Notation for Queues AB/C/DE M exponential A Inter-arrival time distribution D deterministic B Service time distribution Erlangian (order k) G general C Number of servers D Maximum number of jobs that can be there in the system(waiting and in service) Default ofor infinite number of waiting positions E Queueing Discipline(FCFS,LCFS,SIRO etc.) Default is FCFS M/M/1orM/M/1/∞ Single server queue with Poisson arrivals, exponentially distributed service times and infinite number of waiting positions Broadband Wireless Communications Laboratory.Xidian University

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Xidian Univ. M/M/m型排队系统 本课程将讨论“M/M/m”排队系统 6第一个字母表示到达过程的特征，M表示是无 记忆的Poisson过程。 6第二个字母表示服务时间的概率分布，M表示 指数分布，G表示一般分布，D表示确定性分布。 6第三个字母表示服务员的个数。有时还有第四 个字母，表示队列的长度。如果没有第四个字 母，则表示队列的长度无限大。 Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University M/M/m型排队系统  本课程将讨论“M/M/m”排队系统 第一个字母表示到达过程的特征，M表示是无 记忆的Poisson过程。 第二个字母表示服务时间的概率分布，M表示 指数分布，G表示一般分布，D表示确定性分布。 第三个字母表示服务员的个数。有时还有第四 个字母，表示队列的长度。如果没有第四个字 母，则表示队列的长度无限大

M/M/1排队系统

M/M/1排队系统

Xidian Univ. M/M/1排队系统 M/M/1排队系统的示意图如图所示。 到达过程为Poisson:过程，到达率为； ÷系统允许排队的队长可以是无限的（系统的缓存容量无限大)； 。服务过程为指数过程，服务速率为山（平均服务时间为 服务员的数目为1，到达过程与服务过程相互独立。 无限容量队列 Poisson 到达过程 负指数 服务过程 Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University M/M/1排队系统 M/M/1排队系统的示意图如图所示。  到达过程为Poisson过程，到达率为λ；  系统允许排队的队长可以是无限的（系统的缓存容量无限大）；  服务过程为指数过程，服务速率为µ（平均服务时间为 ）， 服务员的数目为1，到达过程与服务过程相互独立。 µ 1 S  无限容量队列  Poisson 到达过程 负指数 服务过程

Xidian Univ. M/M/1排队系统 ÷我们将从四个方面对M/M/1排队系统的性能进行描 述： ó到达过程的统计特性 ó服务过程的统计特性 ó系统中的状态转移特性 ó系统的稳态分布 roadband Wireless communications caboratory.xidian university

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University M/M/1排队系统  我们将从四个方面对M/M/1排队系统的性能进行描 述： 到达过程的统计特性 服务过程的统计特性 系统中的状态转移特性 系统的稳态分布

Xidian Univ. 到达过程 。在M/M/1队列中，到达过程为Poiss0n过程 设一个随机过程为{A(),t≥0}的取值为非负整数，如果该 过程满足下列条件，则称该过程为到达率为入的Poisson(泊 松)过程。 6A(t)是一个计数过程，它表示在[0，t)区间内到达的用 户总数，A(0)=0,A(t)的状态空间为{0,1,2，.}。 -0 t-1tnt+1 图1-12 Poisson到达过程示意图 Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University 到达过程  在M/M/1队列中，到达过程为Poisson过程  设一个随机过程为{A(t),t≥0}的取值为非负整数，如果该 过程满足下列条件，则称该过程为到达率为λ的Poisson(泊 松)过程。 A(t)是一个计数过程，它表示在[0, t）区间内到达的用 户总数，A(0)=0,A(t)的状态空间为{0,1,2,…}

Xidian Univ 到达过程 6A(是一个独立增量过程。即在两个不同时间区间（区 间不重叠)内到达的用户数是相互独立的。 6任一个长度为τ的区间内，到达的用户数服从参数为工 的Poisson:分布，即 P(At+)-A0=m）=o”e 其均值和方差均为π。 由于在区间τ内平均到达的用户数为，则为单位时间 平均到达的用户数或称为到达率。 roadband Wireless communications caboratory.xidian university

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University 到达过程 A(t)是一个独立增量过程。即在两个不同时间区间（区 间 不重叠）内到达的用户数是相互独立的。  任一个长度为τ的区间内，到达的用户数服从参数为λτ 的Poisson分布，即 其均值和方差均为λτ 。 由于在区间τ内平均到达的用户数为λτ，则λ为单位时间 平均到达的用户数或称为到达率。 ( ( ( ) () ) n P At At n e n λτ) −λτ +τ − = = !

Xidian Univ. 到达过程 。Poisson:过程的基本特征有： 6到达时间间隔相互独立，且服从指数分布，其概率密度函 数为 Un tn+l -tn p(tn)=入ew 其分布函数为 P(t,0 顾客到达过程为到达率为入的Poisson:过程”与说“顾客 到达间隔相互独立且服从参数为入的指数分布”是等价的。 Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University

Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University 到达过程  Poisson过程的基本特征有： 到达时间间隔相互独立，且服从指数分布，其概率密度函 数为 其分布函数为 顾客到达过程为到达率为λ的Poisson过程”与说“顾客 到达间隔相互独立且服从参数为λ的指数分布”是等价的。 nn n 1 t t + τ= − ( ) n p e n −λτ τ =λ ( )1 0 s P s es n −λ τ