西安电子科技大学：《通信网络基础》课程教学资源（讲义）第一章 通信网络概论 1.3 通信网络中的数学基础

Xidian University 1.3通信网络中的数学基础 口1.3.1随机过程的基本概念 口1.3.2 Poiss0n过程 口1.3.3马尔可夫链

1.3 通信网络中的数学基础  1.3.1 随机过程的基本概念  1.3.2 Poisson过程  1.3.3 马尔可夫链

Xidian University 1.3通信网络中的数学基础 2a(t) 为了定量地描述通信网络的运行过程、设计 通信网络的体系结构和评估通信网络容量、 时延和服务质量等，我们需要了解网络中每 Ac(t) Ag(t) 个链路、节点、交换机/路由器，用户终端等 B Ap(t) 设备的输入输出业务流的行为特征和处理过 程。 描述这些行为特征和处理过程的基本数学基 础是随机过程和排队论，描述网络结构的基 E 本方法是图论。本节主要讨论常用的随机过 程和图论基础，在第三章中将详细讨论排队 论的基本内容

1.3 通信网络中的数学基础 为了定量地描述通信网络的运行过程、设计 通信网络的体系结构和评估通信网络容量、 时延和服务质量等，我们需要了解网络中每 个链路、节点、交换机/路由器，用户终端等 设备的输入输出业务流的行为特征和处理过 程。 A E F D B C A(t) C (t) D(t) B(t) 描述这些行为特征和处理过程的基本数学基 础是随机过程和排队论，描述网络结构的基 本方法是图论。本节主要讨论常用的随机过 程和图论基础，在第三章中将详细讨论排队 论的基本内容

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念(1) 随机过程是用来描述在一个观察区间内某一实体 (壶口瀑布水的流量、食堂中的人数)的随机行为。 例如：在通信系统中的噪声就是一个典型的随机过程。 (n台性能完全相同的通信接收机的输出如下图。) X(t) AAvAAaAwmt X(t) (2) X()

1.3.1 随机过程的基本概念（1） 随机过程是用来描述在一个观察区间内某一实体 （壶口瀑布水的流量、食堂中的人数）的随机行为。 t t t X(t) X(t) X(t) (1) (2) (n) ••• 例如:在通信系统中的噪声就是一个典型的随机过程。 ( n台性能完全相同的通信接收机的输出如下图。)

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念（2) 随机过程是随机变量概念在时间域上的延伸。直观地讲， 随机过程是时间的函数的集合，在任一个观察时刻， 随机过程的取值是一个随机变量。或者说，依赖于时间 参数的随机变量所构成的总体称为随机过程。 X(t,) X(t2) 1 X(t) (2) X() (n)

1.3.1 随机过程的基本概念（2） 随机过程是随机变量概念在时间域上的延伸。直观地讲， 随机过程是时间t的函数的集合，在任一个观察时刻， 随机过程的取值是一个随机变量。或者说，依赖于时间 参数t的随机变量所构成的总体称为随机过程。 t t t X(t) X(t) X(t) (1) (2) (n) ••• t1 X(t1 ) t2 X(t2 ) 

Xidian University 什么是随机变量？ 随机变量：某一变量以一定的概率取一确定的值， 通常将这种变量称为随机变量。 随机变量：定义在样本空间上的一个实值函数， 或者说是样本空间到实数的一个映射。 1 if w=heads Y(w)= 0 ifw=tails】

什么是随机变量？ 随机变量：某一变量以一定的概率取一确定的值， 通常将这种变量称为随机变量。 随机变量：定义在样本空间上的一个实值函数， 或者说是样本空间到实数的一个映射

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念(2) 随机过程具有二重性： (1)随机性：对任何单个样本值而言，它是一 随机变量。 (2)函数特性：在整个时域空间上，是一随机 函数。 随机过程的数学定义：设(2.F.P)是一概 率空间，其中2是一个集合，F是由2的 某些子集所组成的一个代数，P是在可测 空间(2.F)上定义的一个概率测度。T是 一个指标集，若对每一个t∈T,(t,w) 是一随机变量，则称5(t,w)=,(w为该概率 空间上的随机过程。为方便起见，通常记 为5(t)

1.3.1 随机过程的基本概念（2） 随机过程具有二重性： （1）随机性：对任何单个样本值而言，它是一 随机变量。 （2）函数特性：在整个时域空间上，是一随机 函数

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念(3) 设X()是一个随机过程，则可以从两个方面来描述X)的特征： 一是在任意时刻t,随机变量X化)的统计特征，如一维分布函 数，概率密度函数，均值和方差等。 二是同一随机过程在不同时刻t,和t,对应的随机变量Xt)和Xt) 的相关特性，如多维联合分布函数、相关函数、协方差矩阵 等。 X(t,) X(t) X() X(t) (2) X() (n) 00

1.3.1 随机过程的基本概念（3） 设X(t)是一个随机过程，则可以从两个方面来描述X(t)的特征： 一是在任意时刻t 1，随机变量X(t 1 )的统计特征，如一维分布函 数，概率密度函数，均值和方差等。 二是同一随机过程在不同时刻t 1和t 2对应的随机变量X(t 1 )和X(t 2 ) 的相关特性，如多维联合分布函数、相关函数、协方差矩阵 等。 t t t X(t) X(t) X(t) (1) (2) (n) ••• t1 X(t1 ) t2 X(t2 ) 

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念(4) 随机过程X()的一维分布函数，定义为 E,(x)=P{X(t)<x} (1-1) 式中P表示概率。 如果F,x)对x的微分存在，则X()的一维概率密度函 数定义为 F,(x) f(x)= 8x (1-2)

1.3.1 随机过程的基本概念（4） 随机过程X(t)的一维分布函数，定义为 （1-1） 式中P{}表示概率。 Ft (x)  PX(t)  x x F x f x t t    ( ) ( ) 如果Ft (x)对x的微分存在，则X(t)的一维概率密度函 数定义为 （1-2）

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念(5) 通常一维分布函数不能完全描述随机过程的特征， 需要采用n维联合分布函数。对于给定的n个时刻t, t2,…,tn,随机变量Xt),Xt2),,Xtn)的联合 分布函数为： Fh.,2,)=PX4)<,X(5)<x,…,X,)<x} (1-3) 若XdE,(x)<+o,则随机过程X)的均值函数为 mx()=X()=dE,(x) (1-4) 确定性函数

1.3.1 随机过程的基本概念（5） 通常一维分布函数不能完全描述随机过程的特征， 需要采用n维联合分布函数。对于给定的n个时刻t 1， t 2，… ，t n，随机变量X(t 1 )，X(t 2 )，…，X(t n )的联合 分布函数为： （1-3） Ft t t x x xn  PX t x X t x X t n xn  n , ,... 1 , 2 ,...,  ( 1 )  1 , ( 2 )  2 , ..., ( )  1 2 若 则随机过程X(t)的均值函数为 （1-4）    X dF (x)  , t      m (t)  E X(t)  xdF (x) X t 确定性函数

Xidian University 1.3.1随机过程的基本概念（6) 若对任给的时刻t,和t,如下列函数 Cx(,2)=cov[X(t),X(2)】 (1-5) =E(X(t)-mx(t)(X(2)-mx(2)】 存在，则称Cx(t,t)为X)的协方差函数； D,()=D[X(t)】=E(X()-mx()2](1-6) 为X()的方差函数

1.3.1 随机过程的基本概念（6） 若对任给的时刻t 1和t 2，如下列函数 （1-5） 存在，则称CX(t 1 ,t 2 )为X(t)的协方差函数；   ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( , ) cov ( ), ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 E X t m t X t m t C t t X t X t X X X     ( )  ( ) [( ( ) ( )) ] 2 D t D X t E X t m t x    X （1-6） 为X(t)的方差函数