《大学物理》课程PPT教学课件：第七章 机械振动（7.5）两个自由度系统自由振动简介

§7.5两个自由度系统自由振动简介 多自由度振动系统 C m2 b 0000000000000 k 自由度振动系统) 两自由度振动系统 两摆的运动微分方程为 A B ml0,=-mgl0-ka(0-0 61 IC D m12=-mgl02+ka(61-2) 其特解为B=A(-0)(1)如· 02=A2(cos(ot-0)(2)(=自由度振动系的

§7.5 两个自由度系统自由振动简介 一. 多自由度振动系统 (三自由度振动系统) 二. 两自由度振动系统 两摆的运动微分方程为 ( ) 1 2 2 1 1 2 ml   = −mgl − ka  − cos( ) 1 = A1 t − ( ) 1 2 2 2 2 2 ml   = −mgl + ka  − cos( )  2 = A2 t − 其特解为 （1） （2） (二自由度振动系统)

由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率o作 简谐振动的情况,振幅分别为41、A2 将特解代入微分方程,可求出振幅比和频率: (ml4+mgl+ ka)A=ha'A (om/4+mgl+ ka )A,=kaA 02 ml2+mgl+ka2 0 ml+mgl+kc ↓ ka=+(aml+mgl+ha)Ly 2ka O1O2分别为第一和第二简正频率

由(1)、(2)两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作 简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2。 将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率： 2 2 1 2 2 2 (− ml + mgl + ka )A = ka A 1 2 2 2 2 2 (− ml + mgl + ka )A = ka A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ka ml mgl ka ml mgl ka ka A A − + + = − + + =   ( ) 2 2 2 2 ka =  − ml + mgl + ka 2 2 2 2 ml ka l g  = +  1 、 2分别为第一和第二简正频率 l g 1 =

结论: )当两摆以相同的频率o1振动时,振 A B 幅相等、相位相同,如图所示。 2 C D O, ml +mgl +k2+I (2)当两摆以相同的频率o2振动时,振 A B 幅相等、相位相反,如图际示。 000 A D A-0, ml2+mgl+ka2 (3)一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加,即 B=A coS(O,t-1)+A, cos(a,t-2) 62=A1cos(01t-01)-A2cos(21-92)

1 2 2 2 1 2 2 1 = + − + + = ml mgl ka ka A A  1 2 2 2 2 2 2 1 = − − + + = ml mgl ka ka A A  cos( ) cos( ) 1 = 1 1 −1 + 2 2 −2 A t A t 结论： (1) 当两摆以相同的频率 1振动时，振 幅相等、相位相同，如图所示。 (2) 当两摆以相同的频率 2 振动时，振 幅相等、相位相反，如图所示。 cos( ) cos( )  2 = 1 1 −1 − 2 2 −2 A t A t (3) 一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即