《大学物理》课程PPT教学课件：第六章 刚体动力学（6.3）动量矩和动量矩守恒定律

863动量矩和动量矩守恒定律 质点动量矩(角动量)定理和动量矩守恒定律 1.质点的动量矩(对O点) L=F×P=F×m元 其大小 1o= rosin= musing惯性参照系 特例:质点作圆周运动=m=mrU + 说明 (1)质点的动量矩与质点的动量及位矢取决于固定点的选 择有关

一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律 1. 质点的动量矩(对O点) v      LO = r  P = r m 其大小 LO = rpsin = mrvsin (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选 择)有关 特例：质点作圆周运动 L = rp = mrv §6.3 动量矩和动量矩守恒定律 说明 LO   O r  P  S 惯性参照系

(2)质点对某点的动量矩在通过 该点的任意轴上的投影就等 于质点对该轴的动量矩 例一质点m,速度为U,如图 所示,A、B、C分别为 个参考点,此时m相对三个 点的距离分别为d1、2、l3 求此时刻质点对三个参考点的动量矩 解LA=d1mULa=d1mULn=0 B

LO'  O (2) 质点对某点的动量矩,在通过 该点的任意轴上的投影就等 于质点对该轴的动量矩 例 一质点m，速度为v，如图 所示，A、B、C 分别为三 个参考点,此时m 相对三个 点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 LA = d1mv LB = d1mv = 0 LC d1 m d2 d3 A B C v  解 LO   O r  P  S

2质点的动量矩定理F×F=M01×mb=0 dd d(mi) di F×m)=F dt dt dt dt XU M dl Mdt=dL(质点动量矩定理的微分形式) dt M·dt=L2-L1(质点动量矩定理的积分形式) 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量 + 说明 (1)冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果

( v )    r m t t L =  d d d d v v     m t r t m = r  +  d d d d( ) v  v = 0   r F M m     = t L M d d   = M t L   d = d 2 1 d 2 1 M t L L t t     = −  (质点动量矩定理的积分形式) (质点动量矩定理的微分形式) 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量 2. 质点的动量矩定理 说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果

3.质点动量矩守恒定律 若M=0,则L=常矢量一质点动量矩守恒定律 讨论 (1)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于 宏观体系,也适用于微观体系,且在高速低速范围均适用 (2)通常对有心力:F过O点,M=0,动量矩守恒 例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 L= murrina=m--rsina ds en.ldrlrsina dr C 2m

3. 质点动量矩守恒定律 若M = ，则 L = 常矢量   0 ──质点动量矩守恒定律 (2) 通常对有心力： 例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 (1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于 宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用 1 sin 2 2 2 dr r dS m m dt dt  = = sin sin dr L m r m r dt = = v   讨论 S  d m • r  r  d  行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积 F  过O点,M=0,动量矩守恒

例发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星 当飞船静止于空间距行星中心4R时,以速度v0发射 质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求0角及着陆滑行的初速度多大? U 解引力场(有心力) R 系统的机械能守恒 OM 质点的动量矩守恒 GMm GMm mU nmv ursine= muR voronin 4u Sin e R 3GM sin e 1+ BGM U=U01+ 4(2RU rUO

当飞船静止于空间距行星中心4 R 时，以速度v 0发射一 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？  m R O M v0 0 r v 解 引力场（有心力） 质点的动量矩守恒 系统的机械能守恒 mv0 r0 sin = mvR R GMm m r GMm m − = − 2 0 2 0 2 1 2 1 v v   4 sin sin 0 0 0 v v v = = R r 1 2 2 0 0 2 3 1 / R GM         = + v v v 1 2 2 2 0 3 1 4 1 sin / R GM         = + v  例 发射一宇宙飞船去考察一质量为 M 、半径为 R 的行星， 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面

质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律 质点系的动量矩 质点系对参考点O的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和 L=∑L1=∑(×m)=∑(×p) 2.质点系的动量矩定理 ∑xP+∑ ∑7xP+∑石×(F+f) ∑7xP=0 dL ∑xF1+∑行 ∑× 内力矩∑7×=0 ∑对F--合外力矩∑xF=M外

二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律 质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和 ( ) ( ) i i i i i i i L L r m r p = =  =     i i v 1. 质点系的动量矩 =   +  dt dP P r dt dr dt dL i i i i      =  + ( + ) i i i i i V P r F f        = 0 Vi Pi   =  i  i + i  i r F r f dt dL       i  i r f    i  i r f   i Fi r     i i M外 r F     -----合内力矩 =0 -----合外力矩 = 2. 质点系的动量矩定理

ML My dt=dl 微分形式 dt M外dt=dL=2-L 积分形式 质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量 4说明质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩 3.质点系动量矩守恒定律 对质点系M外=0△=0L=常矢量 如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动 量矩守恒,如M=0Lz 常量

M外 t L   = d d M t L   外d = d M t L L L L L L t t       =  = − =    2 1 2 1 2 1 外 d d 微分形式 积分形式 质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量 说明 质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩 3. 质点系动量矩守恒定律 对质点系 M外 = 0  L = 0  L = 常矢量  如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动 量矩守恒,如 = 0 Mz LZ = 常量

三.刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 1.刚体定轴转动的动量矩 刚体上任一质点对Z轴的动量矩 都具有相同的方向 L2=∑Mm=∑Mmo=l20 Lz=J2O(所有质元的动量矩之和 △m

三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 1. 刚体定轴转动的动量矩 刚体上任一质点对Z 轴的动量矩 都具有相同的方向 =  i   2 i i m r = JZ • mi i r  vi  O (所有质元的动量矩之和) Z LZ = JZ =  i Z ivi i L m r

2.刚体定轴转动的动量矩定理 由转动定律M d M dt=Jdo=d(Jo) 动量矩定理 dt 微分形式 rMd=d(o)=n2-Jo1(动量矩定理积分形式) 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量 3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体 M.=0△L=0J0=常量 说明 (1)变形体绕某轴转动时,若其上各点(质元)转动的角速度相 同,则变形体对该轴的动量矩 ∑ mko=J

2. 刚体定轴转动的动量矩定理 t M J z d d 由转动定律 = M t J  (J) zd = d = d ( ) 2 1 2 1 2 1 d d      M t J J J t t z = = −   （动量矩定理积分形式） 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量 Mz = 0 L = 0 Jω = 常量 (1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相 同，则变形体对该轴的动量矩 mk rk = J (t) 2 说明 3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律 对定轴转动刚体 动量矩定理 微分形式

当变形体所受合外力矩为零时,变形体的动量矩也守恒 J()=常量國→J/()/o、J()、o 如:花样滑冰跳水芭蕾舞等

当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 J (t)ω = 常量 J (t) ω J (t) ω 如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等