《大学物理》玻耳兹曼分布率

指出下列各式的物理意义: /(dv,Nr(v)av,S /()dy,SNf(v)dv ()n,2mm)h,厂2 ()=△:速率在r~+h之间的分子数 占总分子数的比率 N()h=N:速率在v~v+h之间的分子数 pdN△N f(v)dv 速率在0~v之间的分子数占总分子数的比率 ∫"M(m)h=:dN=△N:速率在~n2之间的分子数 N()h=CN=N:分子总数 2m28-C2mN,分子 的平均平动动能 rN2m/(n)h=厂miNt速率在n-之间 的分子的平动动能之和 第6节玻耳兹曼分布律 、重力场中粒子按高度的分布 大气,平衡态,温度T PI=vRT不成立 P=mkT成立 hkzzdPtde, n+dn htd n h+dh, P+dP n+dn dP=-pgdh (1) P 空气质量密度 p=m,m:空气分子质量 dP=kTan (2) tDn h h mg dh gh n=n0e=n2eR:粒子数密度按高度的变化规律 h个,n↓ P=nkT=n0kre*=Pe=PeR:等温气压公式 h个,P↓高度计

1 指出下列各式的物理意义： f (v)dv ， Nf (v)dv，  P v f v dv 0 ( ) ，  2 1 ( ) v v Nf v dv   0 Nf (v)dv ，   0 2 ( ) 2 1 mv f v dv ，  2 1 ( ) 2 1 2 v v N mv f v dv f (v)dv = N dN ：速率在 v ~ v + dv 之间的分子数 占总分子数的比率 Nf (v)dv= dN ：速率在 v ~ v + dv 之间的分子数  P v f v dv 0 ( ) =  P v N dN 0 = N N ： 速率在 P 0 ~ v 之间的分子数占总分子数的比率  2 1 ( ) v v Nf v dv =  =  2 1 v v dN N ：速率在 1 ~ 2 v v 之间的分子数   0 Nf (v)dv =  dN = N  0 ：分子总数   0 2 ( ) 2 1 mv f v dv =   0 2 2 1 N dN mv =   0 2 2 1 1 mv dN N ：分子 的平均平动动能  2 1 ( ) 2 1 2 v v N mv f v dv = mv dN v v 2 1 2 2 1 ：速率在 1 ~ 2 v v 之间 的分子的平动动能之和 第6节 玻耳兹曼分布律 一、重力场中粒子按高度的分布 大气，平衡态，温度 T PV=  RT 不成立 h + dh P + dP ， n + dn P = nkT 成立 h P，n h， P n h + dh， P + dP n + dn dP = −gdh （1） P0 ， 0 n  ：空气质量密度  = nm ，m: 空气分子质量 dP = kTdn （2） kTdn = −gdh = −nmgdh dh kT mg n n dn h n  = − 0 0 ， kT mgh n n = − 0 lnRT gh kT mgh n n e n e  − − = 0 = 0 ：粒子数密度按高度的变化规律 h  ， n  RT gh kT mgh kT mgh P nkT n kTe P e P e  − − − = = 0 = 0 = 0 ：等温气压公式 h  ， P  高度计

例:求大气中n相差一倍的两处的高度差 已知,空气摩尔质量=2897×103kg,T=300K 解,:b处,m=c2需,处,n2=n2需 (h2-h) 4g(h2-h)__In RT h2-内 RTh28.31×300×h2 6.10×103m 2897×10-3×98 玻耳兹曼分布率 n=nee n= nee T→ (适用于任意的保守力场) T>T Ep:分子势能 n:势能零点处的分子数密度 ? E↑,n;r↑,n↑;T→>a,n→n 分子热运动有使分子趋向均匀分布的趋势 外力场有使分子聚集在势能较低处的趋势 两者的共同作用使气体分子形成了一种平衡的非均匀分布 dN= ndv =noe k dxdydz 玻耳兹曼分布律:气体分子按空间位置的分布规律 第7节分子碰撞和平均自由程 1 O2分子,u=32×10-kg T=300K,v≈445m/s 平均自由程 一个分子接连两次和 其它分子碰撞之间自由 运动的路程:自由程 其平均值:平均自由程 二 平均碰撞频率 个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数Z:碰撞频率 其平均值z:平均碰撞频率 个分子在单位时间内走过的平均路程:v 2=v/Z 三、z、的计算

2 例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差 已知，空气摩尔质量 kg 3 28.97 10−  =  ，T=300K 解： 1 h 处， RT gh n n e 1 1 0  − = ， 2 h 处， RT gh n n e 2 2 0  − = 2 h > 1 h ， RT g h h e n n ( ) 1 2 2 − 1 − =  = 2 1 ， ln 2 ( ) 2 1 = − − − RT g h h m g RT h h 3 2 1 3 6.10 10 28.97 10 9.8 ln 2 8.31 300 ln 2 =      − = = −  二、 玻耳兹曼分布率 n kT mgh n n e − = 0 ， kT P n n e  − = 0 0 n T → （适用于任意的保守力场） T  T P  ：分子势能 T 0 n ：势能零点处的分子数密度 P   P ， n  ； T ， n  ； T →，n → n0 分子热运动有使分子趋向均匀分布的趋势 外力场有使分子聚集在势能较低处的趋势 两者的共同作用使气体分子形成了一种平衡的非均匀分布 dN ndV n e dxdydz kT P  − = = 0 玻耳兹曼分布律：气体分子按空间位置的分布规律 第7节 分子碰撞和平均自由程   RT m kT v 8 8 = = O2 分子， kg 3 32 10−  =  T = 300K ， v  445m/s 一、平均自由程 一个分子接连两次和 v 其它分子碰撞之间自由  运动的路程  ：自由程 其平均值  ：平均自由程 二、 平均碰撞频率 一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率 其平均值 Z ：平均碰撞频率 一个分子在单位时间内走过的平均路程： v  =v / Z 三、 Z 、  的计算

d:分子直径 md2:分子碰撞截面 27d-yn √2m2n 注意:与v无关 kT P=nkT, n kT 定,∝T(∵P一定,T↑,n↓,元↑) 定,元∝(T一定,P↑,n↑,才↓ 例:计算标准状态(0°C、1atm)下氢气分子的z、元 已知:氢气分子的有效直径d=2×10-10m 解:z=2mW=√2m2,8C (T=t+?) kT (latm=1013×105Pa) √2×(2×100y2、8×831×273.15 1013×10 1.38×10-×273.15 81.19亿次秒 1.38×10-23×273.15 =2.09×10m d2P√2x(2×10-0)2×1.013×1l 热力学基础 第1节几个基本概念 系统与外界 确定为研究对象的宏观体系:系统或体系 系统以外的物体:外界或环境 二、准静态过程 系统状态随时间的变化:热力学过程 准静态过程:如果一个过程进行的无限缓慢,体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态 沙粒堆

3 d ：分子直径 Z d vn 2 =  v 2 d ：分子碰撞截面 Z d vn 2 = 2  = v / Z = d n 2 2 1   2 1 d  ，  n 1  注意：  与 v 无关 P = nkT， kT P n = ，  = d P kT 2 2 P 一定，   T （  P 一定， T ，n  ，  ） T 一定，  P 1  （  T 一定， P  ，n  ，  ），p109 例：计算标准状态（ C  0 、1atm）下氢气分子的 Z 、 已知：氢气分子的有效直径 d m 10 2 10− =  解： Z d vn 2 = 2 = kT RT P d    8 2 2 = 1.38 10 273.15 1.013 10 2 10 8 8.31 273.15 2 (2 10 ) 23 5 3 10 2            − − −   =81.19 亿次/秒  = d P kT 2 2 = 10 2 5 23 2 (2 10 ) 1.013 10 1.38 10 273.15      − −  = m 7 2.09 10−  热力学基础 第1节 几个基本概念 一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境 二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态 沙粒堆 d （ T = t + ? ） (1atm=1.013 5 10 Pa)

非静态膨胀过程 准静态膨胀过程 功 改变系统状态的方式:(1)作功(2)热交换 1、无摩擦准静态过程中的功 dv= sdl, F= Ps dA= Fdl= psal= pdy dv=sd hiid dI 体积功 对气体、液体和固体的准 PVT 静态膨胀和压缩过程都成立 讨论 (1)体系体积膨胀d>0,aA4>0,体系对外界作正功 (2)体系体积被压缩d<0,A<0,体系对外界作负功 (3)有限准静态过程,V1→V A=JGA= Pdv, P=P(T, V), A=5F.dr 2、非静态过程中的功 dA=Pd,A=「Pd 气体向真空作自由膨胀,P=0,A=0 功A是过程量,不是状态量,与P、VT、E不同 元功dA,dP、d、dT、dE 四、平衡态、准静态过程、功的几何表示 理想气体,PV=RT (P,V) P 点(平衡态 有向曲线<→准静态过程 面积A=[2Pd 面积准静态过程的功 只有P图上的面积表示功

4 非静态膨胀过程 准静态膨胀过程 三、功 改变系统状态的方式：（1）作功（2）热交换 1、无摩擦准静态过程中的功 dV = Sdl， F = PS dA= Fdl = PSdl = PdV dV = Sdl dl 体积功 F S 对气体、液体和固体的准 P V T 静态膨胀和压缩过程都成立 讨论： （1）体系体积膨胀 dV  0，dA  0 ，体系对外界作正功 （2）体系体积被压缩 dV  0，dA  0 ，体系对外界作负功 （3）有限准静态过程， V1 →V2   = = 2 1 V V A dA PdV ， P = P(T,V) ，  =  b a L A F dr ( )   2、非静态过程中的功 dA = P环dV ， A P dV  = 环 气体向真空作自由膨胀， P环 = 0， A = 0 功 A 是过程量，不是状态量，与 P 、V、T、E 不同 元功 dA， dP、dV 、dT 、dE 四、平衡态、准静态过程、功的几何表示 理想气体， PV =RT P P  P （ P ，V ）  V V V1 V2 V P 点  平衡态 有向曲线  准静态过程  面积 A PdV V V = 2 1  面积  准静态过程的功 只有 PV 图上的面积表示功 V