《材料力学》第二章 轴向拉伸与压缩（2-5）拉压杆变形（Tensile or Compressive Deformation）

§2.5拉压杆变形(Tensile or Compressive Deformation) 前面从应力方面实现了安全功能 即解决了强度问题(不破坏) 安全功能是否完全保证? 有时候虽然没有破坏,可是变形大,也不行 还要保证不过度变形,即解决刚度问题 于是提出变形计算问题 如何计算?因线应变是单位长度的线变形 思路:线应变线变形 变形不超过限度安全功能的第二个保证

安全功能是否完全保证？ 有时候虽然没有破坏，可是变形大，也不行—— 还要保证 不过度变形, 即解决 刚度问题 于是提出变形计算问题 §2.5 拉压杆变形（Tensile or Compressive Deformation） 前面从应力方面实现了安全功能 如何计算？因线应变是单位长度的线变形 思路：线应变 —— 线变形 变形不超过限度 —— 安全功能的第二个保证 即解决了强度问题（不破坏）

、轴向变形( Axial deformation) △L=L1-L L+△L 待求杆的轴向总变形 伸长( elongation)拉应力为主导 缩短( Compression)压应力为主导 求解出发点 线应变 (1)平均线应变(此路不通) △LL,-E (2)一点线应变(可行)

待求 —— 杆的轴向总变形 伸长（Elongation） 拉应力为主导 缩短（Compression） 压应力为主导 求解出发点 —— 线应变 （1）平均线应变 （此路不通） L L L L ε L 1 − =  = （2）一点线应变 （可行） 一、轴向变形（Axial Deformation） L = L1 − L L = L + L L 1

P P dx+△(dx) L,=L+△L 任意x点处的纵向线应变E △(d dx 另一方面,由本构关系 N(x E EA 于是x点处的微小变形为△(dx)= N(x)dx EA

任意 x 点处的纵向线应变 dx (dx)  = EA N x E ( ) = =  另一方面，由本构关系  于是 x 点处的微小变形为 EA N x dx dx ( ) ( ) = P Q dx + (dx) L1 = L+L P Q

出发点 △(dx) N(x)d EA 把所有点处的变形加起来(积分) 了△(d)=了MCx 得到整个杆的纵向线变形 AL=了M4 EA杆的抗拉压刚度)

得到整个杆的纵向线变形 把所有点处的变形加起来（积分） EA N x dx dx ( ) ( ) =    = L L EA N x dx dx 0 0 ( ) ( )   = L EA N x dx L 0 ( ) （EA — 杆的抗拉压刚度） 出发点

拉压杆的纵向线变形△L=~在 1、等内力等截面N(x)=P 0 AL PL P EA 2、变内力变截面A=4(x) N(x) N(x)da NL=」E 0 A4(x) dx 3、阶段等内力(m段中分别为常量)4又NL i=1 E 批压杆的刚度条件△L≤[d]

  = L EA x N x dx L 0 ( ) ( ) =  = n i i i i i E A N L L 1 3、阶段等内力（n段中分别为常量） N(x) x dx 2、变内力变截面 A = A(x) P P EA PL L = 拉压杆的纵向线变形   = L EA N x dx L 0 ( ) 拉压杆的刚度条件 L  [ ] 1、等内力等截面 N(x) = P

二横向变形( Lateral deformation) 泊松比( Poisson' s Ratio 你观寨到了吗? 伴随杆的纵向伸长—横向收缩 你思考了吗? 纵向伸长—横向收缩,有什么规律性? P 横向变形 △ac=ac-ac 横向线应变 △ac ac

横向线应变 横向变形 ac = ac− ac ac ac  = P a´ P c´ c a 二 横向变形（ Lateral Deformation） 泊松比（ Poisson’s Ratio） 你观察到了吗？ 伴随杆的纵向伸长——横向收缩 你思考了吗？ 纵向伸长——横向收缩，有什么规律性？

横向变形系数(或泊松比) 横向应变( Lateral strain)与 纵向应变( Axial strain)之比 或g 实验表明,对于某种材料,当应力不超过比例极限时 泊松比是个小于1的常数 如果你是19世纪初的善于思考者,该系数会以你的 名字命名,而不是法国的泊松( Simon denis poisson, 1781-1840)现在能想到一主观创造,意义也很大

实验表明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时 泊松比是个小于1的常数 横向变形系数（或泊松比）—— 横向应变（Lateral strain）与 纵向应变（Axial strain）之比     = 或  = − 如果你是19世纪初的善于思考者，该系数会以你的 名字命名，而不是法国的泊松（Simon Denis Poisson， 1781-1840）现在能想到——主观创造，意义也很大

小变形的节点位移——画法与解法 1、怎样画小变形节点位移图? 目的 泶静定桁架节点移 B (1)求各杆的变形量△L (2)严格画法一弧线 P (3)小变形画法一切线

1、怎样画小变形节点位移图？ （2）严格画法 —— 弧线 目的 —— 求静定桁架节点位移 （3）小变形画法 —— 切线 三、 小变形的节点位移 ——画法与解法 A B C L1 L2 P L1 L2 C’’ C’ （1）求各杆的变形量△Li

2、怎样计算小变形节点位移? 目前——几何学 B△L1 以后——计算机程序 例写出图中B点 B 位移与两杆变 形间的关系 解:变形图如图2,B点位移至B点,由图 ln=△L △L B=△ Ctga+ sin a

uB = L1 解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图   sin ctg 2 1 L vB L  =  + A B C L1 L2  L1 L2 uB B v B' 2、怎样计算小变形节点位移？ 目前——几何学 以后——计算机程序 例 写出图中B点 位移与两杆变 形间的关系

例截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的定滑轮 P=20kN,求刚索的应力和C点的垂直位移。 (刚索的E=17GPa,设横梁ABCD为刚梁) 解1)求钢索内力(ABCD为对象) B/60°600D m,=0 PTsn600×0.8-1.2P+16Tsin600=0 800 400,400 T=P/√3=1155kN TT B D2)钢索的应力和伸长分别为 T11.55 ×10=151MPa P A76.36

sin 60 0.8 1.2 1.6 sin 60 0 0  − + =  = o o A T P T m T = P / 3 = 11.55kN 10 151MPa 76.36 11.55 9 = =  = A T  例 截面积为 76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮 P=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁） 解 1）求钢索内力（ABCD为对象） 2) 钢索的应力和伸长分别为 800 400 400 D C P A B 60°60° P A B C D T T YA XA