合肥工业大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第四篇 振动和波动 4.2 波动学基础——机械波的产生与传播

第十六章 波动学基础 三、物质波 16-1机械波的产生与传播 一、什么是波 一般的说，波是振动（或任何扰动）在空间或媒质中的传播过程 二、机械波的产生 通过分析知：机械波是机械振动在弹性媒质中的传播 产生的条件：振源（波源）和弹性媒质 波是指煤 专整体所表现的 动状态 其特点是相邻质元的振动相位依次落后 3、波的传播过程是质点振动状态的传播过程，亦即是振动相位的传播过程，而所有的质 点都仍在各自的平衡位置附近振动。 三、介绍几个概念 1、描波与众波 按振动方向与传播方向的关系来分 2、波面、波前、波（射）线 (关于波的运动状态的几何描述) 在波的传播过程中，媒质中振动相位相同的点组成的面称为波（阵）面，最前面的波面称为波 前 与波阵面垂直，且指向波的传播方向的线称为波线 3、平面波、球面波 按波振面的形态来划分 图示 图示 16-2波动方程 平面简谐波 一、波动方程 图示 设此脉冲向右移动的速度为山，以绳索为x轴，绳上各点离开平衡位置为y建立坐标系s 图示 设0时的波形为y=fx) 口时，若绳子不吸收能量，波形不变，函数如何？ 引入s系，则 y=f6) .x=x +ut.y=y ∴1=时，y=f(-）波动方程

第十六章 波动学基础 一、 机械波：声波、地震波、水波 二、电磁波：光、 x 射线、  射线 三、物质波 16-1 机械波的产生与传播 一、什么是波 一般的说，波是振动（或任何扰动）在空间或媒质中的传播过程 二、机械波的产生 通过分析知：机械波是机械振动在弹性媒质中的传播 1、 产生的条件：振源（波源）和弹性媒质 2、 波是指媒质整体所表现的运动状态，其特点是相邻质元的振动相位依次落后 3、 波的传播过程是质点振动状态的传播过程，亦即是振动相位的传播过程，而所有的质 点都仍在各自的平衡位置附近振动。 三、介绍几个概念 1、 横波与众波 按振动方向与传播方向的关系来分 2、 波面、波前、波（射）线 （关于波的运动状态的几何描述） 在波的传播过程中，媒质中振动相位相同的点组成的面称为波(阵)面,最前面的波面称为波 前 与波阵面垂直，且指向波的传播方向的线称为波线 3、 平面波、球面波 按波振面的形态来划分 图示 图示 16-2 波动方程 平面简谐波 一、波动方程 图示 设此脉冲向右移动的速度为 u，以绳索为 x 轴，绳上各点离开平衡位置为 y 建立坐标系 s 图示 设 t=0 时的波形为 y = f (x) t=t 时，若绳子不吸收能量，波形不变，函数如何？ 引入 ' s 系，则 ( ) ' ' y = f x ' '  x = x + ut, y = y t = t时, y = f (x −ut) 波动方程

将1看成连续变化，则表示一沿x轴正方向传播波形 同理：波沿x轴负向传播 y=fG+m）u>0) 二、间谐波的波动方程 以横波为例讨论 1、若波形是余（正）弦曲线，则媒质中各质元依次作诺振动 设0时，波形函数y=Acos红设④。=0 A称作波的振幅，k称为波速 当kx=0,2π，4π，6π y=A出现波峰 当kx=π，3r,5π，7元. y=A出现波谷 图示 两相邻波峰或波谷之间距离称为波长。（仅对横波） 则k(+)-x=2π 波数k即为2π距离内完整的整波个数 2、若波沿x轴正（或负）方向传播，则由上讨论 波动方程y=Acos(x-) 或y=Acosk(x+1t 三、波的周期频率 1、周期：波传播一个波长所需要的时间 T=2 2、频率：单位时间传播的整波个数 7=7-= 圆频率：2π“秒”内传播的整波个数 0=2y=2x=kk=e2 3、波动方程的几种常见形式：（设=0） y=Acosk(x-i)

将 t 看成连续变化，则表示一沿 x 轴正方向传播波形 同理：波沿 x 轴负向传播 y = f (x + ut) (u  0) 二、间谐波的波动方程 以横波为例讨论 1、若波形是余（正）弦曲线，则媒质中各质元依次作谐振动 设 t=0 时，波形函数 y = Acos kx,设0 = 0 A 称作波的振幅，k 称为波速 当 kx = 0,2 ,4 ,6. y=A 出现波峰 当 kx =  ,3 ,5 ,7. y=-A 出现波谷 图示 两相邻波峰或波谷之间距离称为波长  。（仅对横波） 则 k(x + )− kx = 2  2 k = 波数 k 即为 2 距离内完整的整波个数 2、若波沿 x 轴正（或负）方向传播，则由上讨论 波动方程 y = Acosk(x −ut), 或 y = Acosk(x +ut), 三、波的周期 频率 1、 周期：波传播一个波长所需要的时间 u T  = 2、 频率：单位时间传播的整波个数    = = u = u T , 1 圆频率：2  “秒”内传播的整波个数         2 = 2 = 2 = , = = u k u k u 3、 波动方程的几种常见形式：（设 =0） y = Acosk(x −ut), cos cos 2 ,       = −      = − u x A s t u x y A  t  

yas2r传-别 y=Acos(ot-kx) 四、波动方程的意义 波动方程中有x和1两个独立变量 设X给定=个-}，未示坐质无的振动方，甲系动自设一 相当于给某个质元的振动情况“拍”的电影 图示 可以证明波的周期也等于每个质元的振动周期 ”o-}- T=2红-2x2 0k 即表明：振动一周，向外发出一个整波 图示 波形曲线，相当于给全体质元在1=。时刻“拍的相片” 4、若xt都在变，则表示沿x轴正（或负）向传播横波 图示 波形曲线以u向右运动，称为“引波” 注意：关于波源的位置与x的取值范围 :的时论：)设有时刻处位相©-岛 相同的位相(，+△M时刻到达x1+△x处 +w 即振动的位相是以u传播的，因此又称u为“相速度 (2)波速u的值（计算） a、理论证明，液体和气体中众波的传播速度

y A ( t kx) x T t y A = −       = −    cos cos 2 四、波动方程的意义 波动方程中有 x 和 t 两个独立变量 设 x 给定，x= , cos , 0 0       = − u x x y A  t ，表示 0 x 处质元的振动方程，即振动曲线- 相当于给某个质元的振动情况“拍”的电影 图示 可以证明波的周期也等于每个质元的振动周期         = = − +      = −     2 cos cos 0 0 u x y A t u x y A t ku u T      = = = 2 2 即表明：振动一周，向外发出一个整波 2、若 给定，         = = − u x t t y A t 0 0 , cos ， 图示 波形曲线，相当于给全体质元在 0 t = t 时刻“拍的相片” 4、 若 x,t 都在变，则表示沿 x 轴正（或负）向传播横波 图示 波形曲线以 u 向右运动，称为“引波” 注意：关于波源的位置与 x 的取值范围 u 的讨论：（1）设 1 t 时刻 1 x 处位相       − u x t 1  1 相同的位相 t + t 1 时刻到达 x + x 1 处 即：         +   = +  −      − u x x t t u x t 1 1  1  t x u    = 即振动的位相是以 u 传播的，因此又称 u 为“相速度” （2）波速 u 的值（计算） a、理论证明，液体和气体中众波的传播速度

(众波) 为媒质的容变传播模量，是媒质的密度 模味居 y名： 人国联装月 嫩吕 。赠和-后 注意：波的传播速度与质元的振动速度是两回事 =4-周 r波速，相速度 -4omo-副 =j-4 o-月 为振动速度与加速度 例16-1略 例16-3略 己 知 y=12.5kt,Y=1.9×10N1m2,p=7.6×103kg/m3,A=0.lmm=0.1x×10-3m 求：()原点处质点的振动表式 (2)波动方程 (3)x=10cm处的振动方程 (4)x-20cm与x=30两处振动的相位差 (5)=0.0021s时的波形方程

 B u = （众波） 为媒质的容变传播模量， 是媒质的密度 声速公式  P u = 其中 v p c c  = s b、固体：横波  G u = 众波  Y u = c、特别地 柔软绳索  F u = 注意：波的传播速度 与质元的振动速度 是两回事       = − u x y Acos t u: 波速，相速度       = = − −       = = − − u x a y A t u x v y A t     cos sin 2   为振动速度与加速度 例 16-1 略 例16-3 略 已知： kHz Y N m k g m A mm m 11 2 3 3 3 12.5 , 1.9 10 / , 7.6 10 / , 0.1 0.1 10−  = =   =  = =  求：（1）原点处质点的振动表式 （2）波动方程 （3） x=10cm 处的振动方程 （4） x=20cm 与 x=30 两处振动的相位差 （5） t=0.0021s 时的波形方程

A-y-040amT-8x10-: y (1)不妨设D。=0 =Acosot=0.1×103cos2r×12.5×103m =1×10-4c0s25×103mm x (2)取x=10cm=0.1m x 落后子AD= (3)Ax-10cm (4)取0.00215 x sy=1x10-cos25x10'40021-50x10m=y=1x10cos5am 例16.4（学生自己看） 补充例愿：（习题163） 己知：y=Acos10m-4a) 解：（1）与标准方程y=co2y-2a+ 比较，得a=0.05m,y=5,1=-0.5m u=y=25m:s,且00=0T=7=5=02s (2)m=A0=0.05×20×5=0.5mms an=Ao2=0.05×(2r×5}=5x2m-g

解： m T s u ms Y u 5 3 1 8 10 1 0.40 , 5.0 10 − − = = = =  = =      （1） 不妨设 0 = 0 ( ) tm y A t t m    4 3 3 3 0 1 10 cos 25 10 cos 0.1 10 cos 2 12.5 10 =   = =    − − s s （2）         =   −      = − − 3 4 3 5.0 10 cos 1 10 cos 25 10 x t u x y A  t  （2） 取 x=10cm=0.1m m t m x y t        =   −       =   − − − 2 1 10 cos 25 10 5.0 10 1 10 cos 25 10 4 3 3 4 3    落后 2  ， 2   = （3）  4 1 x = 10cm = （4） 取 t=0。0021s s m y x m x y  1 10 cos5 5.0 10 1 10 cos 25 10 0.0021 4 3 −4 3 −  = =        =   − 例 16-4 （学生自己看） 补充例题：（习题 16-3） 已知： y = Acos(10t − 4x) 解 ： （ 1 ）与标准方程       = 2 − 2 + 0 cos      x y A 比较，得 a = 0.05m, = 5Hz, = 0.5m u m s T 0.2s 5 1 1 2.5 , 0 0 1 = =  = = = = −   且 ， （2） 1 0.05 2 5 0.5 − v = A =   = m s m    ( ) 2 2 2 2 0.05 2 5 5 − a = A =   = ms m   

g）0ln=m-2rax5x1-2a*8器-92n 取r=0,0m=9.2x 1=92m=921 2×5092, 图示 (4)先画=1s波形曲线 y=0.05c0s10r-4a)=0.05c0s4a 如图

（3）       9.2 0.5 0.2 2 2 5 1 2 1, 0.2  = − =   −  = = = x t t x t s x t 0.92 2 5 9.2 9.2 0, 9.2 =   = = = =     取   图示 （4）先画 t=1s 波形曲线 y = 0.05cos(10 − 4x) = 0.05cos4x 如图